Sb97952

Для того чтобы получить траекторию движения заряженной частицы в электрическом поле, необходимо решить (4.5) относительно радиуса-вектора. Чтобы решить ОДУ второго порядка, воспользуемся функцией rkfixed. Функция rkfixed используется для поиска решения методом Рунге–Кутты четвертого порядка. Функция rkfixed имеет следующие аргументы:

rkfixed (k, t1, t2, npoints, D),

где k – вектор начальных значений; t1, t2 – граничные точки интервала, на котором ищется решение; npoints – число точек, в которых ищется приближенное решение; D – функция, возвращающая значение в виде вектора из npoints элементов, которые в случае ОДУ второго порядка представляют собой первые и вторые производные функции.

Зададим начальные условия для вектора k (задается в виде столбца): k (x0 ,vx , y0 ,vy ,z0 ,vz ) ,

где vx , vy , vz – это первые производные по соответствующим координатам.

Функция D(t, k) является вектором с шестью элементами (из которых три (k1, k3, k5) – это первые производные от координат, определенные ранее, а оставшиеся – вторые производные от координат, которые получаются исходя из второго закона Ньютона, записанного для магнитной силы):

21

При записи вектора D(t, k) необходимо следить за тем, чтобы неравенство v c не нарушалось ни в один момент рассматриваемого времени.

Вычисление решения в 4000 промежуточных точках на отрезке времени

[0, 0.00000001 с]: RK = rkfixed (r, 0, 0.000000001, 4000, Z).

Матрица, полученная в результате решения, содержит семь столбцов: первый содержит значения t, при которых ищется решение; второй – x(t); третий – x'(t); четвертый – y(t); пятый – y'(t); шестой – z(t); седьмой – z'(t).

Таблица 4.1

Результаты моделирования движения заряженной частицы в магнитном поле

Согласно условию, частица движется вдоль оси 0x, магнитное поле направлено вдоль оси 0z. Поэтому z-я составляющая скорости будет равна нулю.

Траектория движения электрона представляет собой зависимость координаты x от y. Для этого построим график зависимости x f ( y) для всего временного интервала моделирования (рис. 4.1).

x,, м

0.09006

RK<1>

0.09

Рис.4.1

22

При этом для получения доступа к столбцу, задающему координаты, в массиве [RK] необходимо использовать треугольные скобки , в которые вписывается номер столбца (для x – 1, для y – 3).

4.5. Содержание отчета

1.Основные теоретические сведения по моделированию движения заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

2.Привести таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

3.Привести график зависимости z f (x) для всего временного интер-

вала моделирования.

4.Привести листинг кода программы, моделирующей движение заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

5.Сформулировать выводы по результатам моделирования движения заряженной частицы в магнитном поле для заданных условий.

4.6.Вопросы для самоконтроля

1.По какой траектории в общем случае движется точечный электрический заряд в постоянном (не меняется с течением времени) однородном (одинаковом в любой точке геометрического пространства) магнитном поле?

2.Меняется ли кинетическая энергия (энергия движения) заряженной частицы, движущейся в постоянном и однородном магнитном поле?

5.МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ

ВЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Цель работы: ознакомление с методикой моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле.

5.1. Основные теоретические положения

На точечный заряд, помещенный в электромагнитное поле, действует

По второму закону Ньютона, если на тело действуют силы (действие системы сил на точечное тело всегда можно свести к действию одной силы – результирующей), то тело меняет свой импульс:

23

Импульс заряженной частицы в общем случае определяется по формуле p = γmv, (5.3)

где p – вектор импульса заряженной частицы; γ – релятивистский фактор (гамма-фактор, Лоренц-фактор); m – масса заряженной частицы; v – вектор скорости заряженной частицы.

Гамма-фактор для заряженной частицы определяется соотношением

где v скалярная проекция вектора скорости заряженной частицы на рассматриваемое направление движения; с скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.

Для того чтобы получить уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле (5.5), можно подставить (5.1), (5.3), (5.4) в уравне-

ние (5.2):

фактора ( ).

Решив (5.5) относительно радиуса-вектора, получим траекторию движения заряженной частицы в электромагнитном поле.

В случае если скорость движения заряженной частицы много меньше скорости распространения электромагнитной волны в вакууме (v << c), то релятивистский фактор принимается равным единице (γ = 1). При этом необходимо следить за тем, чтобы неравенство v << c не нарушалось ни в один последующий момент рассматриваемого времени.

5.2.Указания к выполнению работы

1.Смоделировать (любым методом, описание выбранного метода привести в основных теоретических положениях) движение заряженной частицы в электромагнитном поле для заданных условий.

2.Получить таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле для заданных условий.

3.Построить график зависимости z f (x) для всего временного интер-

вала моделирования.

24

5.3. Пример типового задания

Электрон влетает в скрещенные электрическое и магнитное поля со скоростью v = –1 м/с. Индукция магнитного поля B = 7 Тл (поле направлено вдоль оси 0x), напряженность электрического поля E = 600 В/м (поле направлено вдоль оси 0y). Смоделировать движение электрона, если известно, что он движется вдоль оси 0x. Координаты электрона в начальный момент вре-

мени ( t0 ): x0 1.2 · 10–2 м; y0 –3 · 10–2 м; z0 –6 · 10–2 м.

5.4. Пример решения задания

Компоненты напряженности электрического поля:

Ex 0; E y 600 В/м; Ez 0.

Компоненты индукции магнитного поля:

Bx 0; By 0; Bz –3 Тл.

Компоненты скорости электрона: vx –1 м/с ; v y 0; vz 0.

Координаты электрона в начальный момент времени: x0 12 · 10–2 м; y0 –3 · 10–2 м; z0 –6 · 10–2 м.

1.Для решения ОДУ второго порядка воспользуемся функцией rkfixed. Данная функция используется для поиска решения методом Рунге–Кутты четвертого порядка.

2.Задается вектор начальных условий:

x0vxy0

k ,vyz0vz

где vx , vy ,vz первые производные по соответствующим координатам.

3. Функция D(t, k) является вектором с шестью элементами (из которых три (k1, k3, k5) – это первые производные от координат, определенные ранее, а оставшиеся – вторые производные от координат, которые получаются исходя из второго закона Ньютона, записанного для силы магнитной силы):

25

При записи вектора D(t, k) нужно следить за тем, чтобы неравенство v c не нарушалось ни в один момент рассматриваемого времени.

4. Для вычислений используйте функцию rkfixed.

Вычисление решения в 1000 промежуточных точках на отрезке времени

[0, 1·10–13 с]: RK = rkfixed (k, 0, 10–13, 1000, Z).

5. Выведите таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле. Матрица, получаемая в результате решения (табл. 5.1), должна содержать семь столбцов: первый – t, второй – x(t), третий – vx, четвертый – y(t), пятый – vy, шестой – z(t), седьмой – vz.

Таблица 5.1

Результаты моделирования движения заряженной частицы в магнитном поле

26

Траектория частицы изменяется в очень узком пределе, что является следствием малого значения магнитной индукции. Действие электрической составляющей можно наблюдать по изменению составляющих скоростей vy и vz, вследствие чего частица движется по винтовой траектории.

6. Постройте график зависимости z f (x) для всего временного интервала моделирования (рис. 5.1).

z, м

0..0604

RK<5>

00..0602

Рис. 5.1

Для получения доступа к столбцу, задающему координаты, в массиве [RK] необходимо использовать треугольные скобки , в которые вписывается номер столбца.

5.5.Содержание отчета

1.Основные теоретические сведения по моделированию движения заряженной частицы в электромагнитном поле для заданных условий.

2.Привести таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле для заданных условий.

3.Привести график зависимости z f (x) для всего временного интер-

вала моделирования.

4.Привести листинг кода программы, моделирующей движение заряженной частицы в электромагнитном поле для заданных условий.

5.Сформулировать выводы по результатам моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле для заданных условий.

5.6. Вопросы для самоконтроля

1. По какой траектории в общем случае движется точечный электрический заряд в постоянном (не меняется с течением времени) однородном

27

(одинаковом в любой точке геометрического пространства) электромагнитном поле?

2. Меняется ли кинетическая энергия (энергия движения) заряженной частицы, движущейся в постоянном или однородном электромагнитном поле?

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАССЕЯНИЯ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ

Цель работы: ознакомление с методикой моделирования рассеяния движущихся зарядов друг на друге.

6.1. Основные теоретические положения

Движущийся электрический заряд создает вокруг себя электрическое и магнитное поля, зависящие от скорости его движения:

B μ0 q v r , 4π r3

где v/с – безразмерная скорость электрического заряда; – угол между направлением вектора скорости движения заряженной частицы и ее радиу- сом-вектором.

Уравнение движения одной заряженной частицы в электромагнитном поле другой заряженной частицы:

Решив (6.2) относительно радиуса-вектора, можно получить траекторию движения заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы.

В случае если скорость движения заряженной частицы много меньше скорости распространения электромагнитной волны в вакууме ( v c ), то релятивистский фактор принимается равным единице ( 1, 0 ). При этом необходимо следить за тем, чтобы неравенство v c не нарушалось ни в один последующий момент рассматриваемого времени.

6.2.Указания к выполнению работы

1.Смоделировать (любым методом, описание выбранного метода привести в основных теоретических положениях) движение заряженной частицы в

28

электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.

2.Получить таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.

3.Построить график зависимости z f (x) для всего временного интер-

вала моделирования.

6.3. Пример типового задания

Смоделировать рассеяние двух движущихся электрических зарядов, изначально находящихся в состоянии покоя. Заряды: q1 = N пКл, q2 = (6 – N) пКл, где N – номер студента в списке группы. Массы зарядов:

y01 = (8 – N) м; z01 = 0; x02 = (13 – N) м; y01 = (–8 + N) м; z02 = 0.

6.4. Пример решения задания

Решение можно выполнить в ПО MS Excel. Время разбивается на отрезки ( dt 2E10 c), в течение которых скорость и ускорение считались постоянными. Исходные координаты заряженных частиц:

x01 = –11 · 10–6 м; y01 = 4 · 10–6 м; z01 = 0; x02 = 11 · 10–6 м; y02 = –4 · 10–6 м; z02 = 0.

Заряды заряженных частиц:

q1 = 2 · 10–31 Кл, q2 = 4 · 10–31 Кл.

Массы заряженных частиц:

m1 = 1.1 · 10–11 кг, m2 = 2· 10–12 кг.

Начальные скорости равны нулю: vx = 0; vy = 0; vz = 0.

Начальные координаты по оси z равны нулю, частицы не перемещаются по данной оси, поэтому задача псевдотрехмерная. Кроме того, при рассеивании частицы не успевают достичь скоростей, при которых необходимо учитывать магнитное поле и релятивистский эффект, поэтому ими можно пренебречь. Тогда для каждой частицы можно записать уравнения:

29

Для получения рассеяния пришлось предположить, что частицы имеют начальные скорости. Сначала вычисляется ускорение первой частицы с учетом скоростей и координат двух частиц в предыдущий отрезок времени (6.7), затем ускорение второй частицы:

v r (v x1 v x2 )2 (x1 x2 ) (v y1 v y2 )2 ( y1 y2 ) , v (v x1 v x2 )2 (v y1 v y2 )2 ,

r (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ,

Далее последовательно вычисляют скорости (6.5) и координаты (6.4) (табл. 6.1). После этого данные выводятся на график в виде двух зависимостей y f (x) .

30