Sb97952
.pdf6.5. Содержание отчета
1.Основные теоретические сведения по моделированию движения заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.
2.Привести таблицу с результатами моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.
3.Привести график зависимости z f (x) для всего временного интер-
вала моделирования.
4.Привести листинг кода программы, моделирующей движение заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.
5.Сформулировать выводы по результатам моделирования движения заряженной частицы в электромагнитном поле другой движущейся заряженной частицы для заданных условий.
6.6. Вопросы для самоконтроля
1.В чем состоит основное отличие задачи рассеяния движущихся зарядов друг на друге от задачи движения электрического заряда в переменном электромагнитном поле?
2.В чем состоит различие картины линий напряженности электрического поля точечного неподвижного заряда от картины линий напряженности электрического поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью?
7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ ЧАСТИЦЫ
Цель работы: ознакомление с методикой моделирования процесса случайного блуждания частицы.
7.1. Основные теоретические положения
Для моделирования механического движения частицы при действии на нее различных сил решается уравнение движения
F |
|
|
|
|
|
m |
aγ vγ . |
(7.1) |
получаемое из второго закона Ньютона:
31
F |
dp |
, |
(7.2) |
|
dt |
||||
|
|
|
||
где F – векторная сумма сил, действующая на частицу; |
– релятивистский |
|||
фактор (гамма-фактор, Лоренц-фактор); m – масса заряженной частицы; v – вектор скорости заряженной частицы; p – вектор импульса заряженной частицы.
Гамма-фактор для заряженной частицы определяется соотношением
|
1 |
, |
(7.3) |
1 (v2 / c2 ) |
где v – скалярная проекция вектора скорости заряженной частицы на рассматриваемое направление движения; с – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.
При попытке смоделировать реальное движение частицы возникают проблемы при описании всех факторов, влияющих на это движение. Для таких случаев часто используют подход, заключающийся в том, что некоторые величины (значения которых трудно или невозможно оценить) заменяют на величины, меняющиеся квазислучайно.
Классическим примером подобной задачи считается броуновское движение (движение макрочастицы в жидкости или газе под действием теплового движения частиц жидкости или газа). В этом случае учесть влияние всех столкновений почти невозможно, но смоделировать (на качественном уровне) ее движение вполне возможно. Для моделирования движения броуновской частицы в качестве простой математической модели часто используется модель случайных блужданий.
В рамках модели случайных блужданий частица на каждом расчетном шаге (итерации) смещается на случайное расстояние (в выбранном диапазоне) в случайном направлении. Математическое ожидание (среднее значение) положения частицы через N расчетных шагов оценивается по формуле
M [r] |
iN1ri |
, |
(7.4) |
|
N |
||||
|
|
|
||
где ri – модуль радиуса-вектора положения частицы через i |
шагов. |
|||
Для оценки дисперсии (среднего отклонения от математического ожи- |
||||
дания) применяется расчетное выражение |
|
|
||
D [r] M[r 2 ] M 2[r] . |
(7.5) |
|||
32
7.2.Указания к выполнению работы
1.Смоделировать (любым методом, описание выбранного метода привести в основных теоретических положениях) процесс случайных блужданий частицы для заданных условий.
2.Получить таблицу с результатами моделирования процесса случайных блужданий частицы для заданных условий.
3.Построить графики зависимостей M f (N) и D f (N) .
7.3. Пример типового задания
Смоделировать процесс случайных блужданий частицы. Начальные координаты частицы: x0 (N 13) мкм; y0 (6 N) мкм; z0 0. Максимальное смещение вдоль выбранной координаты d 1 (все геометрические раз-
меры выражаются в микрометрах). Число итераций n 103 N , где N – номер студента в списке группы.
7.4. Пример решения задания
1. Смоделировать (любым методом, описание выбранного метода привести в основных теоретических положениях) процесс случайных блужданий
частицы для заданных условий: |
|
|
|
N = 0.1…104 |
– число итераций; |
|
||
|
xN = rnd(0.5) – 3 – rnd(0.5) |
– задание компоненты x; |
|
yN = rnd(0.5) – 4 – rnd(0.5) |
– задание компоненты y; |
|
zN = rnd(0.5) – 3 – rnd(0.5) |
– задание компоненты z. |
|
|
|
В нашем случае: в компоненте х – 3, в компоненте y – 4, что является определением начального положения частицы, относительно которого она блуждает. Поскольку вдоль каждой из координат частица может двигаться в пределах 1 мкм в произвольном направлении (вдоль оси или в противоположную сторону), случайное блуждание представляется как разность двух функций rnd(0.5).
2. Получить таблицу с результатами моделирования процесса случайных блужданий частицы для заданных условий.
Для этого используем известный цикл по созданию таблицы:
33
for N 0,1…104
EN,0 xN E := EN,1 yN
EN,2 zN E
Цикл состоит из N итераций (в данном случае 10 000), в каждой из которых записывается значение каждого компонента в соответствующие столбцы табл. 7.1: x-компонента в столбец «0», y-компонента в столбец «1», z-компонента в столбец «2».
Таблица 7.1
Результаты моделирования процесса случайных блужданий частицы для заданных условий для первых 15 итераций
i |
x, мкм |
y, мкм |
|
z, мкм |
|
|
|
|
|
0 |
–3.09603 |
–3.66515 |
|
–0.2945 |
|
|
|
|
|
1 |
–2.88265 |
–4.1056 |
|
0.095644 |
|
|
|
|
|
2 |
–2.67565 |
–4.30092 |
|
–0.2406 |
|
|
|
|
|
3 |
–2.79675 |
–3.80119 |
|
–0.05095 |
|
|
|
|
|
4 |
–3.02795 |
–4.01582 |
|
–0.38055 |
|
|
|
|
|
5 |
–2.56529 |
–4.08112 |
|
0.021705 |
|
|
|
|
|
6 |
–3.26137 |
–4.14214 |
|
–0.24313 |
|
|
|
|
|
7 |
–2.78224 |
–3.67343 |
|
0.166459 |
|
|
|
|
|
8 |
–2.80314 |
–3.96387 |
|
–0.06667 |
|
|
|
|
|
9 |
–2.86828 |
–3.89063 |
|
–0.23123 |
|
|
|
|
|
10 |
–3.03997 |
–4.1072 |
|
0.06042 |
|
|
|
|
|
11 |
–2.96137 |
–3.77038 |
|
–0.14379 |
|
|
|
|
|
12 |
–2.95872 |
–3.93133 |
|
0.059064 |
|
|
|
|
|
13 |
–2.80735 |
–4.21593 |
|
0.207808 |
|
|
|
|
|
14 |
–3.28695 |
–3.91886 |
|
–0.28121 |
|
|
|
|
|
15 |
–3.15066 |
–4.13699 |
|
–0.03655 |
|
|
|
|
|
3. Построить графики зависимостей M f (N) и |
D f (N) . |
|||
Следующим шагом будет задание математического ожидания и дисперсии как функции от числа итераций:
34
|
|
|
N |
(xi ) |
2 |
( yi ) |
2 |
(xi ) |
2 |
|
|
|
||
|
|
M (N ) |
i1 |
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
2 |
|||||
|
(xi )2 (yi )2 (xi )2 |
|
|
(xi )2 (yi )2 (xi )2 |
||||||||||
M (N ) |
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с теоретическими сведениями радиус-вектор представлен через компоненты. В результате получаются графики зависимости математического ожидания M(N) и дисперсии D(N) от числа итераций N (рис. 7.1 и 7.2 соответственно).
MM(N)
5.1
5.1
5.0
4.9
4.9
2000 |
6000 |
8000 |
N N |
|
Рис. 7.1 |
|
|
D(N)
M(N)
0.04
0.04
0.02
0.02
0
2000 |
600000 |
NN |
Рис. 7.2
35
7.6.Содержание отчета
1.Основные теоретические сведения по моделированию процесса случайных блужданий частицы для заданных условий.
2.Привести таблицу с результатами моделирования процесса случайных блужданий частицы для заданных условий.
3.Привести графики зависимостей M f (N) и D f (N).
4.Привести листинг кода программы, моделирующей процесс случайных блужданий частицы для заданных условий.
5.Сформулировать выводы по результатам моделирования процесса случайных блужданий частицы для заданных условий.
7.7.Вопросы для самоконтроля
1.По какой причине возникает потребность в методах моделирования, использующих квазислучайные величины?
2.В чем заключается смысл понятий «математическое ожидание» и «дисперсия»?
36
Список рекомендуемой литературы
Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. М.: Высш. шк., 1986. 263 с.
Дресвин С. В., Иванов Д. В. Физика плазмы. СПб.: Изд-во Политехн. ун-
та, 2013. 544 с.
Райзер Ю. П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987. 592 с.
Татур Т. А. Основы теории электромагнитного поля. М.: Высш. шк., 1989. 271 с.
Шимони К. Физическая электроника. М.: Энергия, 1977. 608 с.
37
Список физических констант
№ |
Наименование |
Значение |
||
п/п |
||||
|
|
|
||
|
|
|
||
1 |
Число Лошмидта – число молекул в 1 м3 при |
2.66 · 1020 м–3 |
||
температуре t = 0 ºС и давлении p = 1 Па (NL) |
||||
|
|
|||
2 |
Постоянная Больцмана (k) |
|
1.38 · 10–23 Дж ∙ К–1 |
|
3 |
Постоянная Стефана–Больцмана (σ) |
5.67 · 10–8 Вт ∙ м–2∙К–4 |
||
4 |
Постоянная Авогадро (NA) |
|
6.02 · 1023 моль–1 |
|
5 |
Заряд электрона (e) |
|
1.6 · 10–19 Кл |
|
6 |
Отношение постоянной Больцмана |
0.86 · 10–4 |
||
к заряду электрона ( k / e ) |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
7 |
Масса покоящегося электрона (me) |
9.1 · 10–31 кг |
||
8 |
Масса протона, (Mр) |
|
1.67 · 10–27 кг |
|
9 |
Отношение массы протона к массе электрона |
1.836 · 103 |
||
( M p / me ) |
|
|||
|
|
|
||
10 |
Удельный заряд электрона ( e / m ) |
1.76 · 1011 Кл/кг |
||
11 |
Постоянная Планка (h) |
|
6.62 · 10–34 Дж ∙ с |
|
12 |
Редуцированная постоянная Планка, |
1.04 · 10–34 Дж ∙ с |
||
или постоянная Дирака ( |
= h / (2π)) |
|||
|
|
|||
|
|
|
||
13 |
Скорость света в вакууме (c) |
3 · 108 м/с |
||
14 |
Электрон-вольт ( eU ), Дж |
|
1.6 · 10–19 Дж |
|
15 |
Диэлектрическая проницаемость вакуума ( 0 ) |
8.85 · 10–12 Ф/м |
||
16 |
Магнитная проницаемость вакуума ( 0 ) |
1.26 · 10–6 Гн/м |
||
17 |
Переводной коэффициент |
мм рт. ст. в Па |
133.3 Па / мм рт. ст. |
|
(единицы давления в СИ) |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
38
Содержание
Введение…………………………………………………………………… 3
1.Моделирование электростатического поля системы точечных зарядов ………………………………………………..…. 5
2.Решение уравнения Пуассона ………………………………….….. 10
3.Моделирование движения заряженной частицы в электрическом поле ………………………………………………. 14
4.Моделирование движения заряженной частицы
в магнитном поле …………………………………………………… 19
5.Моделирование движения заряженной частицы
|
в электромагнитном поле ………………………………………….. |
23 |
6. |
Моделирование процесса рассеяния движущихся зарядов ……… |
28 |
7. |
Моделирование процесса случайных блужданий частицы ……… |
31 |
|
Список рекомендуемой литературы ………………………………. |
37 |
|
Список физических констант ..……………………………………. |
38 |
|
|
|
|
|
|
39
Лисенков Александр Аркадьевич
Лесив Никита Андреевич
Моделирование процессов в вакууме и плазме
Учебно-методическое пособие
Редактор И. Г. Скачек
Подписано в печать 28.12.2018. Формат 60×84 1/16. |
|
Бумага офсетная. Печать цифровая. Печ. л. 2.5 |
|
Гарнитура «Times New Roman». Тираж 46 экз. Заказ |
. |
|
|
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» |
|
197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5 |
|
40