Sb98341

Любое другое температурное состояние на поверхностях цилиндра можно получить путем наложения на это состояние равномерного нагревания или охлаждения, что не вызывает каких-либо напряжений.

При помощи выражения (5.17) для T формулы (5.15) и (5.16) получаются в следующем виде:

Наибольшего значения σr достигает на внутренней или внешней поверхностях цилиндра. Подставляя в последнее уравнение r = a и r = b, получаем

Если толщина стенки мала по сравнению с наружным радиусом цилиндра, то можно упростить формулы (5.18) и (5.19), полагая

и рассматривая m как малую величину. Тогда

Вслучае очень тонких стенок вторым членом в скобках этих уравнений можно пренебречь, и формулы совпадают с выведенными для неравномерно нагретой пластинки.

Впредыдущем изложении рассмотрены только σr и σt и показано, что

эти величины не зависят от удлинения εz в направлении оси цилиндра.

31

Напряжения σz могут быть определены из первой формулы (5.10). Под-

ставляя εr = dudr и εt =ur и пользуясь выражениями (5.12) для u и (5.20)

для произвольных постоянных, есть возможность найти общее выражение для σz. Это выражение содержит постоянное удлинение в направлении оси цилиндра. Если допустить, что цилиндр может свободно удлиняться, то получим величину εz из условия, что сумма нормальных усилий по поперечному сечению цилиндра, перпендикулярному к оси z, равняется нулю. В результате этих вычислений получим следующее окончательное выражение для σz:

Можно видеть, что на внутренней и наружной поверхностях цилиндра напряжения σr и σt равны между собой.

В случае диска без отверстия в центре и имеющего постоянную толщину, которую можно считать малой по сравнению с радиусом b диска, радиальное и окружное напряжения определяются следующими выражениями:

В каждом частном случае, когда температура T известна как некоторая функция r, интегралы в этих выражениях можно легко раскрыть и получить температурные напряжения.

5.4.Задачи

5.4.1.Температурное поле в прямоугольной пластине (рис. 5.4, а) задано формулой

32

Определить температурные напряжения в пластине и построить эпюру напряжений, аналогичную рис. 5.4, б.

Рис. 5.4

5.4.2. Распределение температуры симметрично относительно оси цилиндра и постоянное вдоль этой оси. В таком случае деформации цилиндра будут симметричны относительно оси.

Уравнение равновесия элемента цилиндра (см. рис. 5.3) следующее:

σrrdφ σtdrdφ σr dσr dr r dr dφ 0 .

dr

а) пренебрегая малыми величинами высшего порядка, привести его к виду (5.11);

б) подстановкой уравнений (5.10) и (5.7) в уравнение (5.11) получить уравнение, определяющее перемещение u для какого-либо частного распределения температуры.

33

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Казанцев Е. И. Промышленные печи. Справочное руководство для расчета и проектирования. 2-е изд., доп. и перераб. М.: Металлургия, 1975.

Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи / пер. с англ. М.: Мир, 1983. Нейман Л. Р. Теория электромагнитного поля. М.–Л.: ГЭИ, 1959. Слухоцкий А. Е., Рыскин С. Е. Индукторы для индукционного нагрева.

Л.: Энергия, 1974.

Установки индукционного нагрева / А. Е. Слухоцкий, В. С. Немков, Н. А. Павлов, А. В. Бамунэр; под ред. А. Е. Слухоцкого. Л.: Энергоиздат, 1981.

Электротехнологические промышленные установки: учеб. для вузов / И. П. Евтюкова, Л. С. Кацевич, Н. М. Некрасова, А. Д. Свенчанский; под ред. А. Д. Свенчанского. М.: Энергоиздат, 1982.

34

35

Царевский Виктор Васильевич Галунин Сергей Александрович Ишин Владимир Валентинович Козулина Татьяна Павловна

Практикум по физическим основам электронагрева

Учебно-методическое пособие

Редактор Е. А. Ушакова

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Подписано в печать 10.10.19. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Печ. л. 2,25.

Гарнитура «Times New Roman». Тираж 46 экз. Заказ 108.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

36