Sb98341

Рис. 4.1

Здесь обозначения прежние. Индексом 1 обозначены характеристики нагревателя, а индексом 2 – загрузки.

Если загрузка занимает большую часть пространства печи ( A1 A2 ), то F12 = 1 и плотность результирующего теплового потока и потока теплообмена между нагревателем и изделием будет равна

q01 q02 1 1 1 2 2 c12 T1 273 4 T2 273 4 ,

где c12 1 1 1 2 2 – приведенная излучательная способность системы.

Если нагреваемое изделие маленькое, т. е. A2 A1 0 , то в этом случае

1.Найти температуру спирали и оболочки.

2.Какова будет температура спирали и оболочки, если ТЭН окажется на

воздухе (αc = 15 Вт/(м2К))?

21

4.3.Индивидуальное домашнее задание

Впечи (рис. 4.2) нагревают стальные слитки. Верх печи (свод) занят радиационными нагревателями общей мощностью P = 50, 60, …, 100 кВт. Из-

б) температуру боковых поверхностей печи Tс;

в) результирующие тепловые потоки для слитков (Фс)р; г) результирующий поток теплообмена излучением между нагревателем и

слитками Ф(н,с).

Исходные данные для вариантов задания приведены в табл. 4.1.

22

ющего прохождение тепла в изделии, к тепловому сопротивлению (тоже отнесенному к единице поверхности) r = 1/ , отражающему процесс тепло-

где c r – суммарный коэффициент теплоотдачи конвекцией и излу-

чением; L – характерный размер изделия: половина толщины плоского изделия при двустороннем нагреве, радиус цилиндра или шара, определяющий форму изделия.

Если значение критерия Bi ≥ 0.5, то тела в процессе нагрева ведут себя как «массивные» изделия, для которых нельзя пренебрегать перепадом температур по сечению тела. Теплотехнически «тонкое» тело при невысоких температурах может оказаться «массивным» при высоких температурах вследствие роста коэффициента теплоотдачи. Соотношение (5.2) определяет также граничное условие на поверхности. При Bi = 0 – процесс адиабатический.

25

где E – модуль упругости первого рода или модуль Юнга, характеризующий упругие свойства материала.

Чтобы получить температурные напряжения в пластинке, свободной от внешних усилий, необходимо наложить на напряжения (5.4) такие напряжения, которые вызываются в пластинке растягивающими усилиями интенсивностью ET , распределенными по концам. Эти силы имеют результирую-

c

щую TEdy и на достаточном расстоянии от концов вызывают приблизи-

c

тельно равномерное распределение растягивающих напряжений интенсив-

ностью 1 c TEdy .

2c c

При этом температурные напряжения в пластинке толщиной 2с (рис. 5.2) со свободными концами на достаточном удалении от последних определяются формулой

Если распределение температуры Т несимметрично относительно оси х, то следует вновь исходить из сжимающего напряжения (5.4), устраняющего деформацию εx. В несимметричных случаях это напряжение вызывает не только

26

При этом предполагается, что пластинка является тонкой в направлении оси z.

5.3. Температурные напряжения в длинном полом цилиндре

Когда стенки цилиндра неравномерно нагреваются, то их элементы расширяются неодинаково, вследствие чего возникают температурные напряжения. В последующем изложении распределение температуры получается симметричным относительно оси цилиндра и постоянным вдоль этой оси. В таком случае деформации цилиндра будут симметричны относительно оси.

Вырежем из цилиндра кольцо с двумя поперечными сечениями, перпендикулярными оси и находящимися одно от другого на расстоянии, равном единице. Из условия симметрии следует, что по граням элемента mnn1m1

(рис. 5.3), выделенного из этого кольца двумя осевыми плоскостями и двумя кольцевыми цилиндрическими поверхностями, не будут действовать касательные напряжения.

Пусть σt означает окружное напряжение, действующее по нормали к граням mm1 и nn1 элемента, и σr – радиальное напряжение, нормальное к грани mn. Это напряжение изменяется с изменением радиуса r, и величина этого изменения на расстоянии dr равняется (dσr/dr)dr. Нормальное радиаль-

ное напряжение по грани m1n1, следовательно, будет σr + ddrσr dr .

Можно допустить, что при деформации эти поперечные сечения остаются плоскими, если взять их на достаточном расстоянии от концов цилиндра (на концах в направлении оси цилиндра напряжения равны нулю); следовательно, относительные удлинения в осевом направлении будут постоянными. Пусть z будет осью цилиндра, w – осевое перемещение по z, остальные обозначения будут теми же, что и на рис. 5.3.

Деформация цилиндра симметрична относительно его оси и состоит из радиального перемещения всех точек стенки цилиндра. Это перемещение посто-

27

янно в окружном направлении, но меняется по радиусу, т. е. является только функцией радиуса. Если u – радиальное перемещение цилиндрической поверхности радиуса r, то перемещение на поверхности радиуса r + dr равняет-

ся u dudr dr . Следовательно, элемент mnn1m1 претерпевает полное удлинение в радиальном направлении, равное (du/dr)dr, а относительное удлинение в

этом же направлении будет r du .

dr

Тогда относительные удлинения в трех перпендикулярных направлениях будут

Рис. 5.3

Эти удлинения могут быть выражены в зависимости oт напряжений σz, σr, σt и температурного расширения. Пусть α – коэффициент линейного расширения, а T – прирост температуры сверх равномерной начальной. Температурный прирост меняется только с изменением радиального расстояния r. Удлинения определяются так:

t t r z T .

E E

28

Обозначая через относительное объемное расширение, получаем

Уравнения равновесия элемента mnn1m1 (рис. 5.3) получим, проектируя усилия, приходящиеся на элемент, на направление биссектрисы угла dφ. Находим следующее уравнение равновесия:

или, пренебрегая малыми величинами высшего порядка

t r r ddrr 0 ,

находим

Подстановкой уравнений (5.10) и (5.7) в (5.11) получаем

Это уравнение определяет перемещение u для какого-либо частного распределения температуры. Оно может быть переписано в следующем виде:

Интегрирование по r дает

drd ru 11 Tr 2C1r .

Второе интегрирование приводит к решению

29

где C1 и C2 – постоянные интегрирования, которые должны быть определены

таким образом, чтобы удовлетворить условиям на внутренней и наружной поверхностях цилиндра. Если эти поверхности считать свободными от внешних сил, то условия для определения C1 и C2 выразятся так:

Общее выражение для σr получится, если подставить во второе из уравнений

(5.10) εr = dudr и εt =ur , а затем взять вместо u его значение (5.12), что дает

Если закон распределения температуры по толщине стенки известен, то можно раскрыть интегралы выражений (5.15) и (5.16) и получить σr и σt для каждого частного случая.

Когда стенки цилиндра имеют температуру Tb на внутренней поверхности и температуру, равную нулю, на наружной, то закон распространения температуры можно представить следующей функцией:

30