Sb98341

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОНАГРЕВА

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2019

УДК 621.365.69

ББК З 292я7

Ц18

Авторы: Царевский В. В., Галунин С. А., Ишин В. В., Козулина Т.П.

Ц18 Практикум по физическим основам электронагрева: учеб.-метод. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2019. 36 с.

ISBN 978-5-7629-2507-5

Приведены задачи по курсу «Физические основы электронагрева» (ФОЭ), характеризующие электромагнитные и тепловые процессы электронагрева.

Предназначено для проведения практических занятий и индивидуальных заданий по курсу при подготовке студентов бакалавриата, специалитета и магистратуры, обучающихся на факультете электротехники и автоматики, а также может быть полезно инженерно-техническим работникам и студентам других специальностей.

УДК 621.365.69

ББК З 292я7

Рецензент канд. техн. наук В. С. Федорова (ПГУПС).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

ВВЕДЕНИЕ

Задачи к курсу ФОЭ предлагается использовать для аудиторных занятий. Физика электронагрева изучается и исследуется в основном на моделях. Моделирование процесса электронагрева базируется на законах электротехники и теплопередачи. Это в первую очередь законы Ома, Джоуля–Ленца, электромагнитной индукции Фарадея, закон полного тока, теорема Гаусса, закон теплопроводности Фурье, закон теплоотдачи Ньютона–Рихмана и законы теплового излучения.

Условия задач предполагаются для стационарных процессов и для интервалов температур, при которых с известной степенью точности решения допускается считать уравнения с постоянными коэффициентами. Решения дают наглядное представление о качественной стороне физики процесса электронагрева. Более точную оценку процесса для конкретного сочетания значений коэффициентов уравнения можно получить численными методами решения задачи. Для общей оценки процесса приходится вычислять массив конкретных значений и разрабатывать процедуру обработки массива. Однако самым надежным способом исследования процесса электронагрева остается эксперимент, несмотря на его большую трудоемкость и затратность.

Задачи подобраны ко всем частям дисциплины.

3

1. ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ ЭЛЕКТРОНАГРЕВА

1.1. Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U):

где R – электрическое сопротивление проводника.

Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника, его материала и температуры, а также (чего не следует забывать) от конфигурации (распределения) тока в проводнике. В случае провода смысл сопротивления не вызывает сомнений. В более общем случае объемного распределения тока уже нельзя говорить о сопротивлении, пока не указаны или расположение подводящих к интересующему проводнику проводов, или конфигурация тока.

В простейшем случае однородного цилиндрического проводника сопротивление

где l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения; – удельное электрическое сопротивление. Последнее зависит от материала проводника и его температуры.

Найдем связь между плотностью тока j и полем Е в той же точке проводящей среды. Ограничимся случаем изотропного проводника, в котором направления векторов j и Е совпадают.

Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору j, а значит, и вектору Е. Если поперечное сечение цилиндра равно dS, а его длина – dl, то на основании (1.1) и (1.2) можно записать для такого элементарного цилиндра

и после соответствующих сокращений получим уже в векторном виде

где 1 – удельная электропроводимость среды.

4

Соотношение (1.3) и выражает закон Ома в дифференциальной форме. Оно не содержит дифференциалов (производных), а свое название получило, потому что в нем устанавливается связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Иначе говоря, это соотношение выражает локальный закон Ома.

1.2. Закон Джоуля–Ленца

Если сила тока в проводнике равна I, то за время dt через каждое сечение проводников 1 и 2 пройдет заряд q = Idt. Поскольку распределение зарядов в проводнике остается при этом неизменным (ток постоянный), то весь процесс эквивалентен непосредственному переносу заряда q между сечениями 1 и 2, имеющими потенциалы φ1 и φ2 соответственно. Поэтому совершаемая

Данная формула выражает известный закон Джоуля–Ленца.

Выделим в данной среде элементарный объем в виде цилиндрика с образующими, параллельными вектору j – плотности тока в данном месте. Пусть

поперечное сечение цилиндрика равно dS, а его длина – dl. Тогда на основании (1.4) в данном объеме за время dt выделяется количество теплоты

Q RI 2dt dSdl jdS 2 dt j2dVdt,

где dV dSdl – объем цилиндрика. Разделив последнее уравнение на dVdt, получим формулу, которая определяет количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема проводящей среды, – удельную тепловую мощность тока

(1.5)

Эта формула выражает закон Джоуля–Ленца в локальной форме: удельная тепловая мощность тока w пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.

5

1.3.Задачи

1.3.1.Определить электрические сопротивления стержня R0 и усеченного конуса Rc, если они одинакового объема и длина стержня равна высоте

конуса. Проводники изготовлены из одинакового материала. Направление постоянного тока – вдоль осей (штриховых линий). Построить кривую зави-

симости Rc f d2 d , d2 ≤ d и пояснить ее характер.

R0

Рис. 1.1

Примечание: объем усеченного конуса равен

1.3.2. Определить и сравнить между собой электрические сопротивления стержня R0 и шарового слоя Rs одинакового объема. Проводники изготовлены из одинакового материала. Направление постоянного тока – вдоль осей

пояснить ее характер. Круг слева лежит в диаметральной плоскости.

6

2. ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ ЭЛЕКТРОНАГРЕВА

2.1. Теплопроводность

Скорость переноса тепла вследствие теплопроводности (кондуктивный тепловой поток ) пропорциональна изменению температуры dT/dx и площади поверхности А, через которую идет поток тепла

A dT dx ,

где х – направление теплового потока.

Действительная скорость переноса тепла зависит от теплофизической характеристики среды . Следовательно, скорость переноса тепла можно выразить количественно соотношением

A dT dx .

Закон теплопроводности Фурье в одномерном представлении:

q dT dx .

Плотность потока теплопроводности:

q A.

Предел отношения изменения температуры T между изотермами, характеризующими температурное поле, к расстоянию между изотермами n по нормали определяет вектор, который называют градиентом температуры. Он направлен в сторону возрастания температуры. Таким образом,

где n / |n| = 1n – единичный вектор, направленный по нормали к изотермиче-

ской поверхности в сторону возрастания температуры.

Вектор плотности теплового потока определяется соотношением

где – коэффициент пропорциональности, именуемый теплопроводностью или коэффициентом теплопроводности. Если площадь выражена в квадратных метрах, температура – в кельвинах, а тепловой поток – в ваттах, то измеряется в Вт/(м·К).

8

В табл. 2.1 указаны типичные значения коэффициента теплопроводности для некоторых металлов, неметаллических твердых веществ, жидкостей и газов, чтобы проиллюстрировать порядок величин , ожидаемых на практике.

Составляющие градиента температуры по осям прямоугольной системы координат равны соответствующим частным производным:

grad T i Tx j Ty k Tz ,

где i, j, k – единичные векторы (орты), направленные по осям прямоугольной системы координат.

2.2. Конвекция

Согласно закону Ньютона–Рихмана количество тепла, переходящего от поверхности твердого тела к жидкости (или наоборот), пропорционально площади контакта поверхности с жидкостью A, разности температур между поверхностью тела (стенкой) Ts и жидкостью Tg и длительности t процесса:

Q ac A Ts Tg t ,

где ac – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом

конвективной теплоотдачи. В отличие от коэффициентов теплопроводности коэффициент теплоотдачи не относится к теплофизическим характеристикам вещества. Плотность конвективного теплового потока определяется как

qc Q At ac A Ts Tg .

Коэффициент теплоотдачи зависит от многих параметров процесса и характеристик жидкости. В табл. 2.2 указаны некоторые приближенные значения коэффициента конвективной теплоотдачи, включая случаи кипения и конденсации, которые здесь отнесены к области конвекции.

9

2.3. Излучение тепла

При изучении теплового излучения кроме уже известных понятий (количество теплоты Q, тепловой поток энергии , плотность теплового потока q) вводятся понятия спектральной плотности излучения (светимости, излучательности) или освещенности (облученности):

r q , Вт/м3 , r q , Дж/м 2 .

Плотность потока q0 интегрального теплового излучения с поверхности черного тела, нагретой до температуры T, определяется с помощью закона Стефана–Больцмана:

q0 T 4,

где σ = 5.67 10–8 Вт/(м2 К4) – постоянная Стефана–Больцмана.

Закон Планка: зависимость плотности потока монохроматического, или спектрального, теплового излучения с поверхности черного тела от температуры T и длины волны λ:

ратуры, может быть определена путем исследования на экстремум закона Планка:

10