Sb98341

Максимальное значение r0 можно получить подстановкой (2.2) в (2.1):

r0 max 1.287 10 5 T 5 Вт/м3.

Другое важное интегральное свойство – излучательная способность тела (степень черноты) ε. Она определяется как отношение потока собственного излучения q, испущенного телом, к потоку излучения, испущенного черным телом при той же температуре:

Поскольку черное тело испускает максимальное количество излучения при данной температуре, коэффициент черноты всегда 1.

Между коэффициентами поглощения из (2.2) и черноты (2.3) существует связь, которая устанавливается законом Кирхгофа, согласно которому при тепловом равновесии поглощательная способность тела равна его излуча-

Если в (2.5) индексы поменять местами, предположив, что поверхность 2 излучает, а поверхность 1 принимает, то получим выражение

A1F12 A2 F21 ,

которое называют соотношением взаимности. Его можно распространить на любое количество поверхностей

Ai Fij A j F ji .

Результирующий поток теплообмена излучением между поверхностями 1 и 2 определяется разностью

12 12 21 A1F12 q01 A2 F21q02 .

11

Если применить свойство взаимности к последнему уравнению, то получим

Уравнение (2.6) можно записать в форме закона Ома для участка цепи как разность потенциалов, деленную на тепловое сопротивление:

ij q0i q0 j .

1 (Ai Fij )

Используя приведенные выражения, можно построить тепловую цепь для рассмотренной системы из трех поверхностей (рис. 2.1).

Тепловая цепь – удобное и компактное средство расчета потоков излучения. В каждом узле цепи результирующая сумма потоков (Φi)рез равна ну-

лю (эквивалент закона Кирхгофа для тока). Например:

1 рез 12 13 ,2 рез 21 23 ,3 рез 31 32 .

Рис. 2.1

Кроме того, анализируя цепь на рис. 2.1, можно установить, что

поскольку 12 21 , 13 31 , 23 32 .

Методику анализа теплообмена излучением с помощью тепловых цепей можно распространить на произвольное число черных поверхностей, образующих замкнутую систему. В общем случае применение законов Кирхгофа и Ома из электротехники к тепловым цепям дает

12

где Rgij – геометрическое сопротивление.

2.4.Задачи

2.4.1.В безветренный день коэффициент конвективной теплоотдачи

крыши здания c равен 6 Вт/(м2ºС). Крыша из стального листа

(λ = 50 Вт/(м С)) толщиной 1.5 мм. Найти конвективный тепловой поток от крыши, если температура ее внутренней поверхности 15 ºС, а температура окружающего воздуха –5 ºС. Площадь поверхности крыши 400 м2. Рассчи-

2 =0.48 Вт/(мºС)). Сравнить тепловые потоки через эту стену без учета контактного сопротивления между кирпичом и штукатуркой и с его учетом.

Rконт = 0.1 м2ºС/Вт.

2.4.3. Транзистор выделяет мощность 0.25 Вт. Его охлаждают с помощью алюминиевого радиатора общей площадью 10 см2. Температура воздуха, окружающего радиатор, 25 ºС. Коэффициент конвективной теплоотдачи на поверхности ребер радиатора 12 Вт/(м2ºС). Ребра можно считать изотермическими по всей их поверхности. Контактное термическое сопротивление между корпусом транзистора и радиатором равно 60 ºС/Вт. Найти рабочую температуру транзистора.

2.4.4. В плоской пластине поддерживается температура 500 ºС. Поверхность покрыта слоем теплоизоляции толщиной 4 см с коэффициентом теплопроводности 0.5 Вт/(мºС). Внешняя поверхность теплоизоляции омывается жидкостью с температурой 20 ºС. Рассчитать коэффициент теплоотдачи с этой поверхности, если ее температура 50 ºС. Определить плотность теплового потока через изоляцию.

13

2.4.5.Электрический нагреватель мощностью 100 Вт находится в воздухе с температурой 20 ºС, = 50 Вт/(м2ºС). Какова должна быть минимальная площадь поверхности нагревателя, чтобы температура его поверхности не превышала 60 ºС?

2.4.6.Рассчитать конвективный тепловой поток от пластины с температурой 200 ºС к окружающему воздуху с температурой 30 ºС. Коэффициент

конвективной теплоотдачи от пластины к воздуху 30 Вт/(м2ºС), а площадь поверхности пластины 10 м2.

2.4.7. Тонкий плоский нагреватель диаметром 0.2 м с температурой 200 °С помещен между двумя слоями теплоизоляции с коэффициентом теплопроводности = 0.35 Вт/(м·К). Мощность нагревателя 1000 Вт. Рассчитать толщину теплоизоляции, при которой температура ее внешней поверхности не превышает 70 ºС.

2.4.8. Найти плотность теплового потока через плоскую стенку, коэффициент теплопроводности которой изменяется по квадратичному закону= 0(1 + BT + CT2). Выразить полученный результат через 0, B, C, температуры обеих поверхностей стенки T1 и Т2 и толщину стенки L. Рассчитать плотность теплового потока через стенку при T1 = 200 ºС, Т2 = 500 ºС,

L= 15 см, 0 = 15 Вт/(м·К), В = 10–4 К–1, С = 10–8 К–2.

2.4.9.Определить величину углового коэффициента F12 для геометрии,

показанной на рис. 2.2, а.

2.4.10. Замкнутая система состоит из трех диффузных бесконечно длинных плоскостей, поперечное сечение которых представляет собой прямо-

14

угольный треугольник, как показано на рис. 2.2, б. Определить угловые коэффициенты.

2.4.11. Изменение коэффициента теплопроводности материала в зависимости от температуры описывается выражением = 2.2 + 4 10–4Т, где измеряется в Вт/(м·К), а Т – в Кельвинах. Найти тепловой поток, если две пластины, разделенные слоем этого материала толщиной 40 см, имеют температуры 100 и 200 ºС. Площадь поперечного сечения материала 1.8 м2.

2.4.12.Кондуктивный тепловой поток через пластину из плексигласа

= 0.195 Вт/(м·К) толщиной 1 см равен 300 Вт. Площадь поверхности пластины 2 м2. Температура одной поверхности поддерживается равной 30 ºС. Найти температуру другой поверхности пластины и ее среднего сечения.

2.4.13. Распределение температуры по толщине плоской стенки с= 2 Вт/(м·К) имеет вид T(х) = 100 + 150х, где температура T указывается в градусах Цельсия, а координата х – в метрах от левой стенки. Найти плотность и направление теплового потока через стенку.

2.4.14. Два параллельных черных прямоугольника 1 и 2 размером 5 10 м расположены точно друг напротив друга на расстоянии 5 м. Положим окружающее пространство черным с температурой 0 К. Температуры поверхностей: Т1 = 100 К и Т2 = 2000 К. Построить тепловую цепь описанной системы,

обозначив все потенциалы, сопротивления и потоки. (Угловые коэффициенты ищем по прилагаемым графикам и с помощью соотношений.) Определить:

а) результирующий теплообмен излучением между поверхностями 1 и 2; б) результирующий поток энергии к поверхности 1; в) результирующий поток энергии к поверхности 2;

г) результирующий теплообмен излучением между поверхностью 1 и окружающим пространством;

д) результирующий теплообмен излучением между поверхностью 2 и окружающим пространством.

2.4.15. Черный солнечный коллектор площадью 50 м2 расположен на крыше дома. Падающее от Солнца излучение создает на поверхности коллектора плотность потока излучения 800 Вт/м2. Окружающее пространство считать черным при эффективной температуре 30 ºС. Кондуктивным и конвективным потоками от коллектора можно пренебречь. Рассчитать:

а) равновесную температуру коллектора; б) результирующий теплообмен излучением между коллектором и

окружающим пространством.

15

2.4.16.Два параллельных черных диска диаметром 30 см расположены на расстоянии 20 см. Один диск имеет температуру 800 К, другой 400 К. Диски помещены в вакуум и тыльные стороны их теплоизолированы. Окружающее пространство – черное, при температуре 300 К. Построить тепловую цепь для этой задачи, обозначив все потенциалы, сопротивления и потоки. (Угловые коэффициенты ищем по прилагаемым графикам и с помощью соотношений.) Рассчитать:

а) результирующий теплообмен излучением между двумя дисками; б) результирующие тепловые потоки для двух дисков и окружающего про-

странства. Убедиться, что сумма трех результирующих потоков равна нулю.

2.4.17.Две большие серые пластины расположены параллельно друг другу и разделены узким зазором. Одна пластина имеет излучательную способность 0.8 и температуру 500 К, а другая – излучательную способность 0.2

итемпературу 400 К. Пространство между пластинами вакуумировано, а тыльные поверхности обеих пластин теплоизолированы.

Построить тепловую цепь для этой задачи, обозначив все потенциалы, сопротивления и потоки. Рассчитать:

а) плотность результирующих тепловых потоков для обеих поверхностей; б) плотность результирующего потока теплообмена излучением между

ними.

2.4.18.Длинная труба наполовину закопана в землю. Труба серая, с излучательной способностью 0.5. Диаметр трубы 1 м. Температура трубы, воздуха и грунта 285 К. Рассчитать результирующий поток обмена энергией излучения на единицу длины трубы между трубой и небом в ясную ночь, когда температура неба 150 К.

2.5. Индивидуальное домашнее задание

Замкнутая система состоит из трех плоских бесконечно длинных серых поверхностей, которые в поперечном сечении образуют треугольник со сторонами L1, L2 = L1, L3 = aL1. Известна излучательная способность каждой поверхности ε1 = 0.6, ε2 = 0.7, ε3 = 0.8 (варианты 1–16) и ε1 = 0.5, ε2 = 0.6,

ε3 = 0.7 (варианты 17–27). На каждой поверхности задана либо температура (T1, T2, T3)°К, либо плотность результирующего теплового потока к поверх-

ности ((q1)р, (q2)р, (q2)р) кВт/м2.

Рассчитать недостающие значения температуры или плотности результирующего теплового потока к поверхности. Оценить баланс результирующих тепловых потоков к поверхностям (на единицу длины системы).

16

Варианты задачи приведены в табл. 2.3.

Задачу можно решать матричным методом в MathCad. Номер варианта соответствует номеру фамилии в списке с оценками за предыдущие контрольные точки. Недостающие (qi)р в таблицу заносить в киловаттах на метр квадратный, а температуры в Кельвинах.

3. НАГРЕВ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА

3.1. Нагрев в электромагнитном поле. Индукционный нагрев

Плотность потока энергии, передаваемой индуктором в заготовку, которую в индукционном нагреве называют удельной мощностью, определяется выражением

p0 10 3 Hme2 f ,

17

где p0 – удельная мощность, Вт/м2; Hme – амплитуда напряженности магнитного поля на поверхности заготовки; ρ – удельное сопротивление материала заготовки; μ – относительная магнитная проницаемость материала заготовки; f – частота тока в индукторе.

Величина слоя (м), называемого глубиной проникновения, равна

угла потерь в диэлектрике; E – напряженность поля.

Глубина проникновения поля в диэлектрик, обладающий электропроводностью, определяется так же, как и в проводник. Из выражения для мгновенного значения напряженности электрического поля в диэлектрике

E(x,t) Eme x cos( t x),

где и – действительная и мнимая части коэффициента распространения электромагнитной волны в диэлектрике, следует, что 1/ = – глубина проникновения поля в диэлектрик, так как при x = амплитуда напряженности поля уменьшается в е раз.

Вещественная часть называется коэффициентом затухания, а мнимая часть – коэффициентом фазы или волновым числом:

3.3. Контактный нагрев (прямой нагрев сопротивлением)

Как следует из закона Джоуля–Ленца, в проводнике выделяется тепловая мощность, пропорциональная квадрату протекающего тока I, т. е. P rI 2 ,

18

Нагрев производится контактным способом (прямой нагрев) в цехе на открытом воздухе. Определить:

а) мощность, которую необходимо подвести к заготовке, для поддержания заданной температуры прутка в стационарном режиме. Степень черноты поверхности прутка при 950 °С равна 0.8. Температура воздуха в цехе 20 °С;

б) как изменится мощность, которую необходимо подвести к заготовке, если пруток поместить эксцентрично в кожух с зеркальной внутренней поверхностью диаметром 150 мм, степень черноты которой 0.05. Снаружи кожух теплоизолирован;

в) как изменится мощность, которую необходимо подвести к заготовке, если снаружикожухапроисходитконвективныйтеплообменсac = 20 Вт/(м2°С).

Оценить времена нагрева заготовки при постоянной мощности источника нагрева, полученной по пп. 1–3. Теплоемкость усреднить, используя данные табл. 3.1

3.4.3.Длина волны, распространяющейся в теле при диэлектрическом нагреве, может быть определена из соотношения α"λ = 2π. Из-за отражения электромагнитных волн от границ нагреваемого тела внутри него устанавливаются стоячие волны. Оценить отношение длины стоячих волн λ к глубине проникновения = 1⁄α' при tg δ = 0.33 и 0.1.

3.4.4.Считается, что при диэлектрическом нагреве снижение напряженности поля на 5 % за счет волнового процесса существенно не влияет на равномерность температурного поля в теле. Это условие можно записать в виде cosα"a < 0.95, где a – расстояние от места подключения электрода конденсатора до края диэлектрика. Как должны соотноситься в этом случае λ и a?

4.НАГРЕВ ВНЕШНИМИ ПОТОКАМИ ТЕПЛА

4.1.Косвенный нагрев сопротивлением (резистивный нагрев). Печи сопротивления

Впростейшем случае теплообмен между нагревателем и нагреваемой заготовкой можно представить с помощью замкнутой системы двух поверхностей с соответствующими тепловыми свойствами.

Дляэтойтепловойцепи(рис. 4.1) должнывыполнятьсяследующиеусловия:

20