Sb95734

На основе свойства непрерывности НДЦ решение (вектор h ) задачи (2.6) является решением более общей задачи аппроксимации

x(n) X .

Согласно (2.8) необходимо построить такой функциональный полином, чтобы процессы yo (n) и y(n) оказались близкими по какому-либо критерию. В качестве такого критерия выберем минимум среднеквадратичного от-

математического ожидания.

Для нахождения параметров полинома Вольтерры (2.7) используем описанное ранее подмножество испытательных сигналов и выполним следующую последовательность операций:

При некоррелированности векторов xqt n и h последнее равенство преобра-

зуем к виду

E xq n yqo n E xq n xqt n h ,

Таким образом, параметры модели Вольтерры определяются из выраже-

ния (2.9).

21

Применим рассмотренный метод идентификации полинома Вольтерры для синтеза демодулятора частотно-модулированных сигналов.

Пример 2.1. Построим нелинейный оператор демодулятора, выделяющий узкополосный центрированный гауссовский сигнал

yo (n) o (n) 6 Ak cos 2 kf1nT k , k 1

клонением 0.32 из частотно-модулированного колебания x(n) cos 2 nT (n) ,

в котором начальная фаза (n) 200; 200 связана с мгновенной частотой

o (n) оператором интегрирования.

Подмножество X испытательных сигналов образовано из 40 000 реализаций (длины N 5) входного случайного сигнала x(n) при движении вдоль частотно-модулированного колебания с шагом в один такт. Подмножество Y o сформировано из соответствующих 40 000 реализаций (длины N 5) вы-

ходного (модулирующего) случайного сигнала o (n) демодулятора при

движении вдоль данного сигнала с шагом в один такт.

Параметры модели получены из выражения (2.9) (в результате решения задачи аппроксимации (2.6) в среднеквадратичной метрике на классе указанных испытательных сигналов).

В итоге, математическая модель демодулятора имеет вид полинома Вольтерры 2-й степени

Результат демодуляции показан на рис. 2.1.

22

На рис. 2.1, а представлена огибающая последовательности реализаций нормированного модулирующего колебания (кривая 1)

и соответствующая огибающая последовательности реализаций нормированного выходного сигнала (кривая 2)

математической модели демодулятора. На рис. 2.1, б изображен график абсолютной погрешности демодуляции

(n) oн(n) н(n) .

Анализ кривых показывает, что синтезированный демодулятор дает высокую точность восстановления модулирующего сигнала.

2.3. Идентификация полинома Вольтерры в частотной области. Синтез фильтра импульсных помех

Сформулируем задачу аппроксимации нелинейного оператора НДЦ в частотной области.

Пусть известны 2 подмножества, полученные дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) [2], [4] реализаций сигналов цепи:

23

X X q (i), i M 1 , M qQ 1 подмножество дискретных спектров

реализаций длины N (например, N – четное, M N / 2 ) случайного стационарного входного сигнала x(n) НДЦ (подмножество испытательных сигна-

лов). X X , где X множество дискретных спектров реализаций входного сигнала x(n) НДЦ;

Y o Yqo (i), i M 1 , M qQ 1 подмножество дискретных спектров

реализаций длины N случайного стационарного выходного сигнала yo (n) НДЦ. Y o Y o , где Y o множество дискретных спектров реализаций вы-

ходного сигнала yo (n) НДЦ.

Для построения нелинейного оператора НДЦ на каждой частоте i необходимо решить задачу аппроксимации

где Yq (i) i-я спектральная составляющая выходного сигнала модели НДЦ вида

ные составляющие входного испытательного сигнала и их произведения; t – знак транспонирования; H i вектор-столбец с многомерными частотными характеристиками НДЦ (Фурье-изображениями ядер Вольтерры).

Всилу непрерывности системы для каждой спектральной составляющей

i, i M 1 , M решение аппроксимационной задачи (2.10) является ре-

шением более общей задачи аппроксимации

24

где Y o (i) , Y (i) – i-е спектральные составляющие реакций соответственно НДЦ и модели (2.11) при воздействии X (i), i M 1 , M .

Действующие в НДЦ сигналы вещественные, следовательно, их дискретные спектры обладают свойством симметрии [4], например, Y ( i) Y *(i) для i 1, M 1 , где знак комплексного сопряжения. На основе указанно-

го свойства количество решаемых задач аппроксимации (2.12) сокращается, т. е. вместо N (i M 1 , M ) задач можно решать M 1 (i 0, M ) за-

дачу. При этом остальные параметры H i для i 1, M 1 определяются из соотношения H i H * i .

Задача аппроксимации (2.12), рассматриваемая в среднеквадратичной метрике для каждой составляющей спектра выходного сигнала НДЦ, записы-

математического ожидания.

Решение задачи (2.13), полученное на множестве испытательных сигналов с помощью преобразований, аналогичных описанным ранее во временной области, имеет вид

H i E X q* i X qt i 1E X q* i Yqo (i) , i 0, M ,

где E X q* i X qt i эрмитова матрица, состоящая из спектральных моментов различных порядков [4].

Многомерные частотные характеристики НДЦ для i 1, M 1 форми-

руются из равенства H i H * i .

Спектр реакции модели НДЦ вычисляется по формуле (2.11) с учетом известных многомерных частотных характеристик H (i) , i M 1 , M ,

далее выполняется его обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) [2], [4].

25

Блок-схема обработки сигнала полиномиальной моделью НДЦ показана на рис. 2.2. Здесь БКС блок комплексного сопряжения.

Используем частотный метод идентификации полинома Вольтерры для синтеза фильтра импульсных помех.

Пример 2.2. Построим нелинейный оператор фильтра импульсных помех, выделяющий центрированный гауссовский сигнал yo (n) со среднеквадратичным отклонением 10 и спектром, расположенным в диапазоне

1/ 30; 6/30 Гц, из смеси

x n yo n n ,

26

где n – импульсная помеха. Для сигнала yo (n) период дискретизации

T 1 с, максимальное значение равно 30. Моменты появления и значения импульсной помехи сформированы как случайные числа, распределенные равномерно в интервалах 0; 6 и 60; 60 соответственно.

Подмножество X испытательных сигналов образовано из 20 000 спектров реализаций (длины N 6 ) входного сигнала x(n) . Каждая реализация содержит либо узкополосный гауссовский сигнал, либо аддитивную смесь сигнала с импульсной помехой. Подмножество Y o сформировано из соответ-

ствующих 20 000 спектров реализаций (длины N 6 ) сигнала yo (n) .

При построении нелинейного оператора каждая спектральная составляющая выходного сигнала описывалась полиномом (2.11) пятой степени

( L 5).

Результат фильтрации представлен рис. 2.3. Для наглядности изображения показаны огибающие дискретных сигналов.

На рис. 2.3, а изображена последовательность реализаций смеси сигнала с импульсными помехами, показанными стрелками. На рис. 2.3, б представ-

лены последовательности реализаций сигнала yo (n) (кривая 1) и соответствующей реакции y(n) модели (кривая 2).

Из рис. 2.3 видно, что синтезированный нелинейный фильтр обеспечивает высокое качество подавления импульсных помех.

27

3. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНОГО КОМПЕНСАТОРА МЕТОДОМ РАСЩЕПЛЕНИЯ

Типовым способом подключения нелинейного компенсатора (НК) является его каскадное соединение с исходной НДЦ. В зависимости от решаемой задачи компенсатор может быть установлен либо на входе НДЦ, либо на ее выходе (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Метод расщепления, используемый для синтеза компенсатора, инвариантен к схеме подключения НК, поэтому выберем, например, соединение на рис. 3.1, а и сформулируем задачу синтеза пост-компенсатора.

Пусть НДЦ описана операторным уравнением (1.4). Необходимо построить нелинейный оператор V компенсатора, действующий на операторное уравнение (1.4) так, чтобы выполнялось соотношение

~x n V y n V F x n R1 x n ,

где R1 линейный оператор результирующей цепи (каскадного соединения НДЦ и НК). Для простоты преобразований можно принять R1 1.

Следовательно, цель компенсации ввести нелинейный оператор V таким образом, чтобы создать результирующую цепь с линейным оператором

R1 (рис. 3.1, а).

Синтез НК рассмотрим на примере компенсации нелинейных искажений сигналов в цифровом КС. Модель КС имеет вид усеченного ряда Вольтерры. Для понимания процессов преобразования сигналов в КС опишем последовательность формирования нелинейной низкочастотной дискретной модели КС.

28

3.1. Математическая модель КС в виде усеченного ряда Вольтерры

Входным сигналом КС является амплитудно-фазомодулированное коле-

где x t – низкочастотная комплексная составляющая воздействия; – знак комплексного сопряжения.

При воздействии (3.1) выходной сигнал модели КС в виде отрезка ряда Вольтерры

e j 0 1e j 0 2 ... e j 0 k e j 0 k 1 ... e j 0 2k 1 .

29

r 1

Для упрощения математических преобразований при моделировании КС используются лишь низкочастотные составляющие модулированных сигналов, тем самым из рассмотрения исключаются процессы модуляции, смещающие спектры сигналов на частоту конкретного КС [5].

При переходе к цифровым КС низкочастотный комплексный входной сигнал x n становится позиционным [5], а низкочастотный комплексный выходной сигнал КС согласно (3.3) описывается выражением

где n – нормированное дискретное время.

Выражение (3.4) является дискретной низкочастотной моделью Вольтерры цифрового КС.

3.2. Синтез НК на основе многочлена расщепленных сигналов

В рамках теории расщепления синтез НК, блок-схема которого изображена на рис. 3.2, состоит в построении оператора Fp расщепителя и опера-

тора PL нелинейного безынерционного преобразователя (блок НБП на рис. 3.2).

Расщепитель реализуем в виде показанной на рис. 3.3 линии задержки, число элементов которой равно числу параметров линейной составляющей модели КС [5].

30