Sb95734

Пример 3.1. Параметры низкочастотной модели Вольтерры (3.5) цифрового спутникового КС [5] представлены в табл. 3.1.

Согласно линейной составляющей модели КС из табл. 3.1 расщепитель НК содержит 3 элемента задержки, а моделью НК является многочлен (3.5) при I1 3.

Модель НК построена в результате решения задачи аппроксимации (3.6) в среднеквадратичной метрике на подмножестве испытательных сигналов, содержащем 5000 отсчетов низкочастотного сигнала с 64-позиционной квадратурной амплитудной модуляцией, формируемых из выражения

x n in _ re j in _ im ,

где in _ re 2 in 9 d ; in _ im 2 i 9 d , in , i 1, 2, ..., 8 , d 0.1.

Для оценки качества компенсации вычислены следующие погрешности:

– абсолютная

– среднеквадратичная

при D 5000.

32

Результаты компенсации представлены на рис. 3.4, а, б, в, где изображены точечные (1192 значения) выходные сигналы КС, линейного компенсатора и НК 5-го порядка соответственно. Жирными точками на рис. 3.4, а обозначен низкочастотный входной сигнал x n КС.

Анализ табл. 3.2 и рис. 3.4 показывает, что с увеличением порядка НК погрешность компенсации уменьшается (достигает наименьшего значения при НК 5-го порядка), а модель компенсатора усложняется. Отметим, что на сложность модели НК влияет степень ее нелинейности и размер вектора расщепленных сигналов.

4.АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАКЕТА MATLAB

4.1.Исходные данные для компьютерного расчета пунктов задания

курсовой работы

Типовая схема анализируемой в курсовой работе [10] электрической цепи представлена на рис. 4.1, а, воздействие i1 t – на рис. 4.1, б. Параметры

ляется ток нагрузки i2 t .

Студенты самостоятельно формируют исходные данные для анализа электрической цепи с помощью пакета MATLAB на основе известных законов и математических методов расчета линейных цепей [11] – [13].

34

В рассматриваемом примере исходными данными для компьютерного анализа цепи, изображенной на рис. 4.1, а, являются следующие полученные выражения и значения:

система уравнений состояния цепи в матричной форме

уравнение связи реакции цепи с переменными состояния и входным сигналом

реакция цепи на входной одиночный импульс, вычисленная операторным методом с помощью теоремы разложения:

i2 t 0.17e 6.88t 0.11e 2.81tcos 5.33t 0.26

0.07 cos 0t 0.47 1 t

0.17e 6.88(t и) 0.11e 2.81(t и)cos 5.33(t и) 0.26

35

где 0 / и;

спектральная плотность изображенного на рис. 4.1, б импульсного воздействия

I1 j I1 s s j Im j 2 0 02 1 e j и

рактеристика цепи; I2 , 2 – амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала соответственно;

амплитуды Ik1, k 0,1, ..., N и начальные фазы k1, k 0,1, ..., N

гармоник отрезка ряда Фурье, аппроксимирующего периодический входной сигнал (последовательность изображенных на рис. 4.1, б импульсов с периодом T 4 ):

I01 2 , I11 12 , I21 32 , I31 0, I41 152 , I51 0 , I61 352 , 01 0 ,

отрезок ряда Фурье, описывающий периодическое воздействие:

формулы нахождения амплитуд и начальных фаз гармоник выходного сигнала цепи

36

отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий реакцию цепи:

(4.11), (4.12).

Работа с файлами. Программа (последовательность операторов MATLAB), реализующая расчет линейной электрической цепи во временной и частотной областях, хранится в файле с расширением m.

Начальными операторами программы являются: clc; clear; echo on;

Указанные операторы выполняют соответственно очистку окна командного режима, удаление всех переменных из рабочей области памяти, вывод текста программы на экран командного окна [14].

Рассмотрим операторы системы MATLAB [14], используемые для выполнения отдельных пунктов задания курсовой работы.

4.2. Расчет переходной характеристики цепи по уравнениям состояния

plot(t, y), xlabel(‘t’), ylabel(‘h1’), grid, pause;

комментарии:

символ «’» в (4.14) означает транспонирование заданного векторастроки;

a, b – матрица A и вектор-столбец (столбцевая матрица) B из системы уравнений состояния (4.1) соответственно;

37

c, d – вектор-строка (строчная матрица) C и константа (одноэлементная матрица) D из уравнения связи (4.2) соответственно;

t – вектор дискретных временных отсчетов, заданных в интервале от 0 до практического времени затухания переходного процесса (в рассматривае-

мом примере до 3 с) с шагом 0.01 с. Шаг расчета выбирается с учетом отображения на графике характерных точек сигнала h1 t .

Характеристика h1 t рассчитывается с помощью функции step, обраще-

ние к которой задается оператором (4.16), содержащим входные переменные: a, b, c, d, 1 (1 – признак единственного воздействия в цепи), t и выходную переменную y – вектор значений переходной характеристики цепи.

Длины векторов y и t одинаковы;

оператор plot(t, y) выполняет графический вывод результатов расчета. Входные параметры оператора: t, y – аргумент и функция y f t соответ-

ственно. Выбор масштаба построения графика и изображение осей производятся автоматически;

операторы xlabel(‘text’), ylabel(‘text’) устанавливают надписи по осям абсцисс и ординат соответственно;

оператор grid строит координатную сетку;

оператор pause приостанавливает работу системы MATLAB до нажатия любой клавиши клавиатуры.

4.3. Расчет переходной характеристики по аналитическому выражению, полученному операторным методом

Расчет переходной характеристики: s = 0.786 exp(–6.88 t)…

–1 exp(–2.81 t). (0.286 cos(5.33 t)+0.284 sin(5.33 t)); h1 = s. stepfun(t, 0);

графический вывод результатов:

plot(t, y, t, h1), xlabel(‘t’), ylabel(’h1’), grid, pause;

комментарии:

символ «...» обозначает продолжение текущего оператора на следующей строке;

символ «. » определяет операцию поэлементного умножения векто-

ров;

38

s – вектор значений множителя в квадратных скобках из выражения

(4.4);

h1 – вектор значений переходной характеристики цепи из (4.4). Длины векторов s и h1 равны длине вектора t, заданного в (4.15);

функция stepfun(t, t0 ) (в примере t0 0 ) формирует вектор, элементы

которого равны 1 при t t0 и равны 0 при t t0 ;

оператор plot(t, y, t, h1) строит две кривые y t и h1 t на одном графике.

4.4. Расчет реакции цепи при импульсном воздействии по выражению, полученному операторным методом

Входные переменные:

tau = 2;

w0 = pi/tau;

расчет реакции цепи при импульсном воздействии:

y1 = –0.17 exp(–6.88 t)+0.11 exp(–2.81 t). cos(5.33 t+0.26) ...

+0.07 cos(w0 t–0.47);

y2 = –0.17 exp(–6.88 (t–tau))… +0.11 exp(–2.81 (t–tau)). cos(5.33 (t–tau)+0.26)… +0.07 cos(w0 (t–tau)–0.47);

y = y1. stepfun(t, 0)+y2. stepfun(t, tau);

графический вывод результатов:

plot(t, y), xlabel(‘t’), ylabel(‘y-output’), grid, pause;

комментарии:

tau, w0 – константы из задания к курсовой работе;

pi – системная константа ;

t – вектор дискретных отсчетов времени, заданных в интервале от 0 до 2 и с шагом 0.01 с. Шаг расчета выбирается с учетом изображения на

графике характерных точек выходного сигнала цепи;

y1, y2 – векторы значений составляющих выражения (4.5);

y – вектор значений реакции цепи на импульсное воздействие согласно выражению (4.5).

Длины векторов y1, y2, y равны длине вектора t, заданного в (4.17).

39

4.5. Определение частотных характеристик цепи

Входные переменные:

num = [0.5 0 12.5 0]; den = [1 12.5 75 250]’; w = 0:0.05:20;

расчет частотных характеристик:

[mag, phase] = bode(num, den, w); (4.18)

графический вывод результатов:

plot(w, mag), xlabel(‘w’), ylabel(‘mod(H(jw))’), grid, pause; plot(w, phase), xlabel(‘w’), ylabel(‘arg(H(jw))’), grid, pause;

комментарии:

num – вектор коэффициентов числителя передаточной функции (4.3), записанных в порядке убывания степеней s ;

den – вектор коэффициентов знаменателя передаточной функции (4.3), записанных в порядке убывания степеней s ;

w – вектор значений угловой частоты, заданных в интервале от 0 до 20 рад/с c шагом 0.05 рад/с. Конечное значение диапазона частот и шаг расчета выбираются таким образом, чтобы на графике амплитудно-частотной характеристики были отражены полоса пропускания цепи и характерные точки кривой.

Расчет частотных характеристик выполняется с помощью функции bode, обращение к которой задается оператором (4.18), содержащим входные переменные num, den, w и выходные переменные mag, phase – векторы значений амплитудно-частотной и фазочастотной (в градусах) характеристик соответственно.

Длины векторов mag, phase равны длине вектора w.

4.6. Расчет спектральных характеристик импульсного воздействия

Входные переменные:

j = sqrt(–1); im = 1;

40