Sb95726
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ И АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Электронное учебное пособие
Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2017
УДК 62.506.1:62.83 (07)
ББК 3965.5я7+3965.093я7 И87
И87 Исследование нелинейных и адаптивных систем управления: электрон. учеб.-метод. пособие к лабораторным работам по дисциплине «Нелинейные, адаптивные и интеллектуальные системы управления» / сост.: Н. Д. Поляхов [и др.]. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ
«ЛЭТИ», 2017. 28 с.
ISBN 978-5-7629-2138-1
Содержат программы и методики выполнения лабораторных работ по анализу математических моделей систем управления в системе Matlab.
Предназначено магистрам направления 220400.68 «Управление в технических системах».
УДК 62.506.1:62.83 (07) ББК 3965.5я7+3965.093я7
Рецензент: д-р техн. наук, профессор Дмитриев Б. Ф. (СПбГМТУ).
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве электронного учебно-методического пособия
ISBN 978-5-7629-2138-1 |
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2017 |
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено студентам, выполняющим лабораторные практикумы при изучении дисциплины "Нелинейные, адаптивные и интеллектуальные системы управления" учебных планов подготовки магистров направления 220400.68 "Управление в технических системах".
В данном издании содержатся краткие теоретические сведения, программы и методики выполнения лабораторных работ по анализу и синтезу: нелинейных оптимальных по быстродействию систем управления; нелинейных корректирующих устройств; адаптивных систем с эталонной моделью и комбинированной настройкой; адаптивных систем с настраиваемой моделью и параметрической адаптацией.
Методические указания ориентированы на использование высокоэффективного пакета программ Matlab и, в частности, приложения динамического моделирования Simulink [5].
Лабораторная работа 1 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ,
ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ
Цель работы − исследование нелинейного закона для реализации оптимального по быстродействию управления динамическим объектом и ознакомление с основами его синтеза.
1.1Основные сведения
Задача определения оптимального по быстродействию управления линейным объектом заключается в нахождении управления u U , при ко-
тором объект |
x = Ax + Bu , |
|
u |
|
< u* переводится из состояния x (t0) = x(0) |
в |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
состояние x (t |
) = x(1) , где |
x(0) , x(1) и t |
0 |
заданы, t |
− неизвестно; |
x Rn |
− |
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
вектор состояния, A − n × n − матрица состояния, u Rm − вектор входов,
t1 |
− t0 |
B − n × m − матрица управления. При этом функционал J = ∫dt =t1 |
|
t0 |
|
принимает наименьшее значение. |
|
3
Условие оптимальности определяется на основе принципа максимума Л. С. Понтрягина [2,3]. Введем функцию Гамильтона
|
|
H |
= Ψ т(Ax + Bu), |
(1.1) |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
где Ψт = [Ψ (t), ..., Ψ (t)] , |
Ψ |
(t) (i = |
|
) − вспомогательные |
переменные |
||
0,n |
|||||||
1 |
n |
i |
|
|
|
|
|
(множители Лагранжа), которые определяются как решения сопряженной системы уравнений Ψ= −∂H1 / ∂x т= −AтΨ. В соответствии с принципом
максимума для оптимальности управления необходимо и достаточно, чтобы функция H1 (1.1) принимала наибольшее значение по u при ограниченном u. Функция достигает максимума, если
ΨтBu = max ΨтBu |
(1.2) |
u U |
|
При u R1, u(t) ≤ u* условие (1.2) примет вид |
Ψ тbu = ubт Ψ= maxubтΨ, |
|
u U |
где b −матрица-столбец. В этом случае функция H1 = ubтΨ, являясь гладкой функцией и линейной относительно u (t) , достигает экстремума по u (t) , если на u (t) наложены ограничения на границах интервала [−u*, u*]. Точками максимума и минимума функции H1 на рассматриваемом интервале [−u*,
u*] |
будут, соответственно, значения ± ∂H / ∂u при |
|
u |
|
= u* . Отсюда нели- |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
нейное управление, обеспечивающее максимум H1, имеет вид |
||||||
|
|
u(t) = u*sgn∂H1 / ∂u =u * sgn(b тΨ). |
(1.3) |
|||
В общем случае (при m >1) выражение (1.3) имеет вид |
|
u(t) = u*sgn (Bт Ψ), |
||||
где |
u* = [u* |
, ..., u* ]. Каждая компонента вектора u (t) |
представляет собой |
|||
|
1 |
m |
|
|
||
кусочно-постоянную функцию с точками разрыва или точками переключения
при BтΨ= 0 . Согласно теореме об n-интервалах [2]: если корни характеристического уравнения действительны, то число переключений каждой компоненты u (t) не превышает n−1.
4
В лабораторной работе рассматривается нелинейная оптимальная система с объектом [3]
x1 |
= x2; |
(1.4) |
|
x2 = ku, |
|||
|
|||
при u (t) ≤ Um. Функция H1 и сопряженная система имеют вид |
|||
H1 = Ψ1x2 + Ψ2ku; |
|||
|
|
= −Ψ1. |
|
Ψ1 |
= 0, Ψ2 |
||
Максимум функции H1 достигается при u (t) = Um sgn k Ψ2(t) . Два корня характеристического уравнения объекта (1.4) действительные и различные, что предполагает согласно теореме об n−интервалах не более одного переключения управляющего устройства.
Используя для построения поверхностей переключения метод фазовых траекторий (поскольку объект второго порядка), разделим первое уравнение (1.4) на второе: dx1 / dx2 = x2 / ku. Интегрируя это уравнение при
u = const, получим семейство парабол
x |
= 0.5 k−1 x22 + c, |
u = Um; |
1 |
|
|
x |
= −0.5 k−1 x22 + c, |
u = −Um, |
1 |
|
|
где c = const, зависящая от начальных условий. При c = 0 параболы описываются уравнениями
x |
= 0.5k−1 x22; |
x |
= − 0.5 k−1 x22 |
(1.5) |
1 |
|
1 |
|
|
и проходят через начало координат. Таким образом, на последнем интервале оптимального процесса изображающая точка попадет в начало координат по кривой. Уравнение линии переключения, составленное из уравнений
(1.5), будет иметь вид σ = x1 + 0.5k-1x2 x2 = 0 .
Оптимальное нелинейное управление будет представлено выражени-
ем
u = −Um sgn σ = −Um sgn ( x1 + 0.5k-1x2 x2 ).
5
r |
|
sgn |
u |
x2 |
x1 |
- |
- |
k / p |
|
1/ p |
|
|
|
|
|
1/ k |
0.5 |
Рис. 1.1
Блок-схема нелинейной оптимальной системы управления представлена на рис. 1.1, где r − задающее воздействие.
1.2Программа работы
Вструктурной схеме, представленной на рис. 1.2, вместо блока sgn (sign в пакете Matlab) для упрощения реализации использован блок saturation с коэффициентом усиления Ks.
Рис. 1.2
6
1. Исследовать переходные процессы в системе (σ − линия переключения, u − закон управления, x1 − выходная переменная, x2 = x1) при ступенчатом входном воздействии r = 1, Um = 1, варьируя коэффициент k =
0.1…10 (в прямом канале и в обратной связи), k1=0.
2. При постоянном k (задается преподавателем), k1 = 0 и нулевом входном воздействии (r = 0 ), изменяя начальные условия, построить семейство фазовых траекторий во всех четырех квадрантах и линию переключения. Для задания начальных условий использовать в качестве интегрирующего звена блок Integrator из раздела Linear (Линейные элементы) биб-
лиотеки блоков Toolbox Simulink.
3.Повторить п. 1 для объекта управления в виде консервативного звена, охватив два интегратора отрицательной обратной связью (k1 = 1).
4.Исследовать нелинейную субоптимальную систему управления. Включить в объект управления апериодическое звено с постоянной времени 0 <T ≤ 0.1с, k1 = 0. Проанализировать изменения переходных процессов и фазовых траекторий.
1.3.Содержание отчета
1.Структурная схема, значения параметров объекта управления.
2.Перечисленные в программе результаты: графики переходных процессов (п. п.1, 3, 4) и фазовые портреты (п. п. 2, 4); выводы по работе.
1.4.Контрольные вопросы
1.Является ли оптимальная система с нелинейным законом грубой?
2.В чем заключается принцип максимума?
3.Теорема об n−интервалах.
Лабораторная работа 2 СИНТЕЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ
УСТРОЙСТВ В САУ
Цель работы − исследование нелинейных корректирующих устройств разрывного типа (НКУ) и ознакомление с основами их синтеза.
7
2.1. Основные сведения
Использование НКУ в системе управления позволяет обеспечить требуемый запас по фазе независимо от амплитудной характеристики системы. В исследуемой схеме НКУ (рис. 2.1, где Wо − передаточная функция объек-
та управления) включает 4 звена:
1) звено с релейной характеристикой, описываемое уравнением
ξ = ξmsgn σ, |
(2.1) |
где ξm = 1;
2)линейное звено с передаточной функцией W (p) = Tp + 1;
3)нелинейное звено, определяющее модуль ошибки;
4)блок произведения.
|
|
НКУ |
|
|
r |
e |
u |
Wо(p) |
y |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tp+1 |
σ |
|
|
Рис. 2.1
В общем случае для системы n-го порядка порядок линейного звена должен равняться n−1 [4]. Сигнал управления u на выходе НКУ зависит от знака σ на выходе линейного звена
|
+e, при |
|
|
e |
|
|
|
σ>0, |
|
|
|
|
|
||||||
u = |
-e, при |
|
|
|
|
|
|
σ<0. |
(2.2) |
|
|
e |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
В формировании сигнала u участвуют два канала. Модуль u определяется верхним каналом, коэффициент которого при гармонической линеаризации
8
приблизительно равен единице. Фазовое опережение, вносимое НКУ, arg J (jω) ≈ argW (jω),
где J (jω) − эквивалентная частотная характеристика НКУ.
Из соотношения (2.2) следует, что коэффициент передачи НКУ равен k = +1 при e σ> 0 и k = −1 при e σ<0 .
При исследовании систем с НКУ обычно используют метод фазового пространства [4]. Полагают, что состояние системы характеризуется положением изображающей точки в пространстве, которая при изменении времени t (рассматриваемого как параметр) описывает фазовую траекторию. Совокупность фазовых траекторий, запущенных из начальных условий, образует фазовую картину (фазовый портрет). При k = +1 и k = −1 движение системы происходит по фазовым траекториям, которые определяются корнями соответствующих характеристических уравнений передаточных функ-
|
|
Wо(p) |
|
Wо(p) |
|
|
|
ций замкнутой системы |
Φ(p) = |
|
, |
Φ(p) = |
|
|
. |
W (p) +1 |
W (p) - |
1 |
|||||
|
|
о |
|
о |
|
|
|
На рис. 2.2, а, b приведены типичные фазовые траектории для систе- |
|||||||
мы второго порядка при |
k = +1 и |
k = −1. В процессе движения переход от |
|||||
одного вида фазовых траекторий к другому происходит при изменении знака σ, т. е. при пересечении фазовыми траекториями линии σ = 0 , которая называется линией переключения (рис. 2.2, c, d). Линия переключения разбивает фазовую плоскость на области, в которых e σ<0 (область 1) и
e σ> 0 (область 2). Линия переключения, а в более общем случае − по-
верхность в фазовом пространстве, поскольку на ней функция (2.1) претерпевает разрыв, также носит название поверхности разрыва. Вблизи поверхности разрыва фазовые траектории ведут себя по-разному: на рис. 2.2, c они "прошивают" ее насквозь, режим движения по траекториям различных типов называется режимом переключения; на рис.2.2, d траектории стыкуются, поэтому изображающая точка, попав на эту поверхность, не может сойти с нее и должна далее двигаться ("скользить") по поверхности разрыва. Такое поведение системы называется скользящим режимом.
Поскольку (рис. 2.2) σ = T e + e , то линия переключения σ = 0 в координатах e, e фазовой плоскости представляет прямую, проходящую через начало координат. Считая, что начальное условие для e в момент попадания на линию переключения t0 есть e( t0) = e0 , получим решение этого
9
уравнения в виде e(t) = e0 e- (t-t0 )/T . Движение в скользящем режиме в
данном случае не зависит от свойств управляемого объекта, а определяется только параметрами НКУ. В общем случае возникновение скользящего режима зависит как от свойств объекта, так и от параметров уравнения поверхности разрыва, желаемые значения которых могут быть заданы при синтезе системы.
Изменение параметра T линии переключения позволяет перейти от режима переключения к скользящему режиму и наоборот.
Рис. 2.2
2.2 Программа работы
Структурная схема исследуемой электромеханической системы третьего порядка с двигателем постоянного тока представлена на рис. 2.3. Для получения идеального скользящего режима линейное звено должно формировать две производные ошибки. В случае использования линейного звена
10