LS-Sb89548

2.2.Потенциалы ионно-атомного взаимодействия

Вкачестве реальных межатомных потенциалов взаимодействия используют целый ряд пробных потенциалов, применимых к атомам различных элементов и содержащих подгоночные параметры. Как правило, это потенциалы, которые зависят только от расстояния между центрами взаимодействующих частиц (поля центральных сил) и, таким образом, не зависят как от относительной угловой ориентации частиц, так и от их относительной скорости.

Столкновение ускоренного иона с атомом мишени приводит к глубокому взаимному проникновению электронных оболочек сталкивающихся атомных частиц, при этом межатомный потенциал определяется в основном взаимодействием ядер и электронов внутренних оболочек атомов. В этом случае возбуждение и ионизация электронов внешних оболочек атомов слабо влияют на потенциал их взаимодействия и различием между ионно-атомным и атомно-атомным взаимодействиями можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем под потенциалом ионно-атомного взаимодействия будем понимать межатомный потенциал взаимодействия.

Потенциал жестких непроницаемых сфер. В рамках этого потенциала взаимодействия система сталкивающихся атомных частиц представляется в виде двух жестких непроницаемых сфер, сумма радиусов которых (R1 и R2)

равна d:

Точечные центры притяжения или отталки-

вания. Этот потенциал взаимодействия (рис. 2.3) Рис. 2.3 описывает систему сталкивающихся частиц, представленную в виде двух точечных центров:

11

где с − положительная константа; п − показатель степени притяжения или отталкивания.

При п = 1 потенциальная функция соответствует кулоновскому взаимодействию. Частицы, о которых предполагается, что они отталкивают друг друга в соответствии с потенциалом вида U(r) ~ с/r4, называют «максвелловскими». Потенциалы притяжения при п = 4 играют особенно важную роль в исследовании ионизованных газов и плазмы, так как индуцированное точечными зарядами дипольное взаимодействие между ионом или электроном и нейтральной молекулой является взаимодействием именно такого типа. Взаимодействие между молекулами часто описываются потенциалом отталкивания при значении п, лежащем в интервале от 9 до 15. Математические трудности, связанные с использованием потенциала взаимодействия U(r) ~ rn, зависят в значительной степени от выбора значения п.

При достаточно больших скоростях относительного движения сталкивающихся атомных частиц возможно их сближение на малые расстояния с образованием кратковременного комплекса – квазимолекулы. В этом случае можно пренебречь экранированием ядер сталкивающихся атомных частиц электронными оболочками и описывать их взаимодействие в рамках кулоновского. Однако область применимости кулоновского потенциала взаимодействия ограничена значением межатомного расстояния r < a0 (a0 – боровский радиус). При больших межатомных расстояниях он убывает существенно медленнее, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия.

Из-за плохой сходимости потенциалов кулоновского взаимодействия U(r) ~ 1/r часто вводят различные функции экранирования f (ra) , которые должны удовлетворять следующему условию:

1 при r → 0;

f (r a) =

0 при r → ∞,

где a − параметр экранирования.

При описании взаимодействия атомных частиц часто применяют потенциалы взаимодействия, в которых используются известные функции экранирования.

12

Экранированный кулоновский потенциал. В первом приближении функция экранирования имеет наиболее простой вид: f(r/a) = 1/(r/a). В этом случае кулоновский потенциал, умноженный на f(r/a) = 1/(r/a), сходится ~1/r2 при больших r, но существенно искажает потенциал при r → 0 . В большей степени требованию введения функции экранирования удовлетворяет функция вида f(r/a) = exp(– r/a), и кулоновский потенциал с этой функцией экранирования носит название экранированного кулоновского потенциала взаимодействия и имеет вид

U (r) = e2ZиZa exp(− r a), r

где е – заряд электрона; Zи, Za – порядковые (атомные) номера сталкивающихся иона и атома мишени.

Боровский потенциал. Такое название носит экранированный кулоновский потенциал взаимодействия с параметром экранирования по Бору:

U (r) = e2ZиZa exp (−r aB ) , r

где aB = 0.885a0Za−2/3 – боровский параметр экранирования; a0 = 0.529 Å = = 0.0529 нм – боровский радиус.

Боровский потенциал плохо работает при больших межатомных расстояниях и при r > aB убывает значительно быстрее, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия.

Потенциал Фирсова. При расчетах распределения выделенной энергии бомбардирующей частицей в среде часто применяют функцию экранирования Томаса– Ферми, которая не имеет аналитического решения, поэтому используют ее табулированные значения и различные аппроксимации.

Межатомный экранированный потенциал взаимодействия с функцией экранирования Томаса– Ферми и параметром экранирования по Фирсову имеет вид

13

Область применимости этого межатомного потенциала взаимодействия ограничена значением межатомного расстояния a0 ≤ 1 Å; при больших межатомных расстояниях он убывает медленнее, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия.

Модифицированный потенциал Фирсова. Этот вид межатомного по-

тенциала взаимодействия получен из потенциала Фирсова (2.5) заменой табулированной функции экранирования Томаса– Ферми на ее аппроксимационное выражение, полученное Никулиным:

Функция экранирования Никулина, полученная приближенным методом решения уравнения Томаса– Ферми с применением вариационного принципа, имеет следующий вид:

fН(raФ) = [a exp (−braФ) + c exp (−draФ)]2 ,

где a = 0.7111, b = 0.175, c = 0.2889, d = 1.6625.

Межатомный модифицированный потенциал взаимодействия Фирсова дает правильный асимптотический спад электронной плотности атомных частиц на больших межатомных расстояниях.

Потенциал Линдхарда. Этот межатомный потенциал взаимодействия получен Линдхардом из потенциала Фирсова (2.5):

аппроксимацией функции экранирования Томаса– Ферми следующим выражением:

где ks и s – постоянные, определяемые из экспериментов по исследованию процессов торможения атомных частиц в веществе; aL – параметр экранирования Линдхарда.

Область применимости этого межатомного потенциала взаимодействия также ограничена значением межатомного расстояния r ≤ 1 Å; при больших расстояниях между ядрами атомных частиц он убывает медленнее, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия.

14

Потенциал Мольера. При межатомном расстоянии r ³ 1 Å потенциалы взаимодействия с функцией экранирования Томаса– Ферми убывают медленнее с увеличением r, чем истинный межатомный потенциал взаимодействия, главным образом из-за того, что в статистической теории атома Томаса– Ферми пренебрегается обменным взаимодействием между электронами. Для этого интервала расстояний между ядрами атомных частиц более корректен потенциал Фирсова с приближенной функцией экранирования Томаса– Ферми, предложенный Мольером:

i =1

где С1 = 0.35, С2 = 0.55, С3 = 0.1; b1 = 0.3, b2 = 1.2, b3 = 6.0.

Межатомный потенциал взаимодействия Мольера достаточно хорошо работает при больших значениях зарядовых чисел Z сталкивающихся частиц, т. е. при столкновении тяжелых частиц. Для легких атомов с малыми значениями зарядовых чисел Z теория Томаса– Ферми неприменима при любых расстояниях между сталкивающимися частицами.

Потенциал ВХБ. При проведении расчетов по распределению пробегов бомбардирующих частиц в среде и по пространственному распределению дефектов часто используют метод Линдхарда, основанный на импульсном приближении классической теории рассеяния. Этот метод использует экстраполяцию соотношения между углом рассеяния ϑ и прицельным параметром b , присущим малым углам рассеяния, на весь возможный диапазон углов рассеяния. Однако аналитическое решение этот метод допускает только для степенных потенциалов. Для потенциала с функцией экранирования Томаса– Ферми этот метод имеет численное решение.

Хорошее согласие с экспериментальными результатами по величине пробегов бомбардирующих частиц в среде дает использование в методе Линдхарда межатомного потенциала, полученного квантово-механическим методом свободных электронов Вильсоном, Хаггмарком и Бирзаком. Усредненный по различным сочетаниям партнеров столкновения этот потенциал на основе потенциала Фирсова (2.5) описывается функцией экранирования, представленной в форме Мольера (2.6) и носящей название функции экранирования ВХБ:

3

fВХБ (ra) = ∑ Ci exp (− bi raФ ),

i =1

где С1 = 0.00692, С2 = 0.16693, С3 = 0.82616; b1 = 0.13182, b2 = 0.30785, b3 = = 0.91676.

15

Межатомный потенциал ВХБ достаточно хорошо описывает величины пробегов бомбардирующих частиц в среде в диапазоне энергий, характерных для ионной имплантации.

Потенциал Борна– Майера. Наиболее удобными с точки зрения математического применения являются пробные межатомные потенциалы взаимодействия, применяемые к атомам различных элементов и содержащие ряд подгоночных параметров. Одним из них является чисто экспоненциальный межатомный потенциал взаимодействия Борна– Майера:

UBn−Mr (r) = Aexp (−br),

где A и b – постоянные, определяемые для каждой из пар сталкивающихся атомных частиц. Этот межатомный потенциал взаимодействия подробно исследован для широкого класса нейтральных атомов в основном состоянии.

Межатомный потенциал взаимодействия Борна– Майера достаточно хорошо работает при больших межъядерных расстояниях, для которых существенны взаимодействия между внешними электронными оболочками сталкивающихся атомных частиц. Это фактически позволяет представить аналитически сложные потенциалы межатомного взаимодействия, описываемые в рамках статистической модели атома Томаса– Ферми, в виде чисто экспоненциального межатомного потенциала взаимодействия Борна– Майера. На его основе разработан модифицированный потенциал взаимодействия Борна– Майера, который лучше адаптируется к различным сочетаниям партнеров столкновения, так как содержит параметры, характерные для конкретных пар сталкивающихся атомных частиц:

ляемые индивидуально для каждой из пар сталкивающихся атомных частиц. Однако следует отметить, что статистическая модель атома Томаса– Ферми, лежащая в основе описанных ранее межатомных потенциалов взаимодействия, наиболее справедлива для описания сферически симметричных атомов с заполненными оболочками. Приведенные межатомные потенциалы взаимодействия, для которых можно представить приемлемое аналитическое выражение, не отражают самой характерной черты атомов – их оболочечной структуры. Вследствие различия электронной структуры сталкивающихся

16

атомов реальный межатомный потенциал взаимодействия не является монотонным, и в сечениях упругого рассеяния атомов должны проявляться осцилляции, обусловленные оболочечной структурой сталкивающихся атомов.

Кроме того, предположения при выводе почти всех известных межатомных потенциалов взаимодействия, применяемых при описании процессов рассеяния атомных частиц в твердом теле, получены в рамках статистической теории рассеяния и основаны на принципах бинарности и независимости столкновений, характерных для газовой среды, что некорректно.

Нетрудно заметить, что все рассмотренные ранее межатомные потенциалы взаимодействия являются потенциалами отталкивания. Это характерно для высоких начальных скоростей бомбардирующих ионов. Однако в результате последовательных столкновений с атомами мишени их скорость существенно уменьшается, и в межатомном потенциале взаимодействия должна появляться компонента притяжения, которая также характерна для атомов мишени, смещенных в результате столкновения. Такие потенциалы притяжения характеризуют силы связи атомов в твердом теле и играют существенную роль при дефектообразовании в процессе ионной имплантации.

Полное изложение попыток описания универсальных межатомных потенциалов взаимодействия и их аппроксимаций выходит за рамки настоящего учебного пособия, поэтому остановимся на рассмотрении тех характерных особенностей, которые обладают практической реализацией при оценке параметров технологического процесса ионной имплантации.

2.3.Модель квазижестких сфер

Внастоящее время наиболее эффективным методом расчета пробегов и профилей внедренных ионов в процессе ионной имплантации, безусловно, является численное моделирование методом Монте-Карло. Однако при статистическом моделировании существенное значение имеет скорость численного моделирования, которая определяет репрезентативность статистической выборки и достоверность полученных результатов. Сложность вычислительной процедуры при численном моделировании методом Монте-Карло процессов упругого рассеяния атомных частиц в большей степени определяется выбором межатомного потенциала взаимодействия. При этом должен быть выбран разумный компромисс между реальным физическим описанием процессов взаимодействия и относительной простотой вычислительной процедуры при их математическом моделировании.

17

Как было показано ранее, основной характеристикой при описании процессов упругого взаимодействия атомных частиц является угол рассеяния в системе центра масс Θ, который определяет энергетические потери и последующий характер движения частиц. Определяющую роль при вычислении угла рассеяния Θ (2.3) в приближении парных ионно-атомных столкновений играет выбор межатомного потенциала взаимодействия. Интегрирование (2.3) в аналитическом виде можно провести только для потенциала жестких сфер (2.4):

где R1 и R2 – радиусы сталкивающихся атомных частиц, представленных в виде жестких непроницаемых сфер.

В модели жестких сфер (HS) расстояние наибольшего сближения двух сталкивающихся частиц rmin при любых значениях прицельного параметра b всегда равно сумме радиусов атомных частиц rmin и не зависит от

их энергии относительного движения. Это существенно ограничивает использование модели жестких сфер для описания процессов столкновения атомных частиц. В еще большей степени данное обстоятельство ограничивает в рамках модели жестких сфер возможность статистического моделирования в широком диапазоне энергии сталкивающихся частиц.

При описании взаимодействия атомных частиц в твердом теле существует эмпирическое правило, согласно которому столкновения, приводящие к заметному рассеянию, происходят на расстояниях порядка половины равновесного расстояния между соседними атомами. На таких малых расстояниях можно пренебречь дальнодействующими силами притяжения, определяющими силы связи в твердых телах. Этот диапазон расстояний по порядку величины соответствует размерам сталкивающихся атомных частиц. На этом же принципе основан и метод Полинга для определения, в первом приближении, ионных и атомных радиусов. Таким образом, в достаточно большом диапазоне энергий сталкивающихся атомных частиц, с практической точки зрения, классическое рассеяние жестких сфер является хорошим приближением.

В рамках модели жестких сфер угол рассеяния ϑ в лабораторной системе координат в результате упругого соударения двух атомных частиц с массами M1 и M 2 и радиусами R1 и R2 полностью определяется заданием прицельного параметра b:

18

Прицельный параметр b в области взаимодействия двух атомных частиц лежит в интервале от 0 до (R1 + R2 ) . Микроскопическое сечение рассеяния в рамках модели жестких сфер при этом совпадает с поперечным сечением сферы радиуса (R1 + R2 ) :

σHS = π (R1 + R2 )2 ,

и длина свободного пробега атомной частицы в среде с концентрацией частиц N будет равна:

При этом важно отметить, что определяющим параметром для описания упругого рассеяния атомных частиц в модели жестких сфер является сумма радиусов (R1 + R2 ) сталкивающихся частиц, а не отдельные значения R1 и R2 .

В связи с моделями жестких сфер предпринимались попытки описать процесс упругого рассеяния атомных частиц с помощью процедуры подгонки приближенного потенциала взаимодействия к реальному при некотором расстоянии между атомными частицами, дающем наибольший вклад в рассеяние частиц. Однако практически все полученные приближенные потенциалы взаимодействия плохо работают при больших прицельных параметрах, которые приводят к завышенным значениям передаваемой энергии при упругом столкновении атомных частиц.

Совмещение простоты вычислительной процедуры при использовании потенциала жестких сфер (HS) и корректности физического описания процессов взаимодействия атомных частиц может быть достигнуто применением межатомного потенциала квазижестких сфер (QHS) UQHS(r). В этой модели радиусы сталкивающихся атомных частиц, значения которых зависят от энергии их относительного движения, являются внутренними параметрами модели межатомного потенциала взаимодействия. Процедура описания процессов упругого рассеяния атомных частиц в рамках модели квазижестких сфер ограничивает область больших прицельных параметров при тепловых энергиях атомных частиц их газокинетическими размерами. При больших значениях энергии столкновения атомных частиц область больших прицель-

19

ных параметров соответствует лишь очень малым значениям углов рассеяния и передаваемой энергии и не играет существенной роли.

Рассмотрим более подробно вид и процедуру применения межатомного потенциала взаимодействия UQHS(r). В качестве реальных межатомных потенциалов взаимодействия возможно использование целого ряда пробных потенциалов, применимых к атомам различных элементов и содержащих подгоночные параметры. Наиболее удобным с точки зрения математического применения является межатомный потенциал Борна– Майера (2.7).

Этот чисто экспоненциальный межатомный потенциал взаимодействия позволяет аналитически выразить расстояние наибольшего сближения двух сталкивающихся атомных частиц rmin из уравнения:

Оно при центральном столкновении (b = 0) определяет минимальное расстояние между двумя атомными частицами в точке остановки при инфинитном движении налетающей частицы.

Применение других, более сложных реальных межатомных потенциалов, решение которых относительно rmin не допускает аналитического решения при разных значениях энергии столкновения, возможно, но усложняет описание и вычислительную процедуру моделирования и делает ее менее гибкой в адаптации к изменениям условий реального физического эксперимента.

Если отождествить расстояние максимального сближения атомных частиц с суммой радиусов жестких сфер в точке соприкосновения (см. рис. 2.1), то можно для определения микроскопического сечения упругого рассеяния и

длины свободного пробега воспользоваться моделью жестких сфер. При этом сумма радиусов жестких сфер является переменной величиной rmin и изменяется в зависимости от энергии относительного движения сталкивающихся атомных частиц rmin (Eс), в этом смысле сталкивающиеся атомные частицы можно считать квазижесткими сферами.

Межатомный потенциал взаимодействия квазижестких сфер может быть определен при этом в виде

20