LS-Sb89548

где rmin (Ec ) является решением (2.8) и для межатомного потенциала Борна– Майера (2.7) определяется (2.9).

Критерий применимости межатомного потенциала взаимодействия квазижестких сфер UQHS (r) можно сформулировать следующим образом:

Если обобщить этот критерий на область нецентральных (b ¹ 0) столкновений, то он будет иметь вид

Если применить этот критерий к реальному потенциалу взаимодействия Борна– Майера (2.7), то получим область применимости соответствующего потенциала взаимодействия квазижестких сфер:

r(Ec ) > bBn−Mr ≈ 0.219 Å .

Из этого условия видно, что потенциал взаимодействия квазижестких сфер с межатомным потенциалом Борна– Майера хорошо работает в области больших межатомных расстояний, которым соответствуют как малые значения энергии столкновения, так и большие значения прицельного параметра в широком диапазоне энергии столкновения атомных частиц. Для экспоненци-

21

ального потенциала взаимодействия Борна– Майера (2.7) это связано с тем, что с увеличением межатомного расстояния r (см. рис. 2.1) значение величи-

их соотношение все более удовлетворяет критерию применимости (2.12) потенциала взаимодействия квазижестких сфер.

Для использования межатомного потенциала Борна– Майера в модели квазижестких сфер была произведена его модификация для необходимого класса партнеров столкновения. При этом постоянные ABn−Mr и bBn−Mr в межатомном потенциале Борна– Майера (2.7) были представлены в виде функций и bBn−Mr ( Zи, Za ) и аппроксимированы степенными функциями методом наименьших квадратов. Результаты аппроксимации для широ-

кого класса партнеров столкновения с порядковыми номерами Zи,a

представлены на рис. 2.5. Полученные при этом коэффициенты модифицированного межатомного потенциала Борна– Майера имеют следующий вид:

ABn−Mr aппp ( Zи, Za ) = 95.863(ZиZa )0.7383 эВ; bBn−Mr aппp ( Zи, Za ) = 0.122 (Zи0.0387 + Zа0.0387 ) Å.

При этом максимальная относительная погрешность аппроксимации коэффициентов ABn−Mr aппp (Zи, Za ) и bBn−Mr aппp (Zи, Za ) , соответствующая столкновению наиболее легких атомных частиц, не превышает 8 %, а для тяжелых атомных частиц уменьшается до 3 %.

Модифицированный межатомный потенциал Борна– Майера взаимодействия атомных частиц с порядковыми номерами Zи и Za при этом приобретает вид

22

где UɶBn−Mr и r выражены соответственно в электрон-вольтах и ангстремах. Решение уравнения (2.8) для модифицированного межатомного потен-

циала Борна– Майера имеет вид

Критерий применимости (2.12) потенциала взаимодействия квазижестких сфер с модифицированным потенциалом Борна– Майера (2.13) принимает вид

r(Ec ) > 0.122 (Zи0.0387 + Zа0.0387 ) Å .

При расчете параметров упругого рассеяния в каждом акте ионноатомных столкновений переход от модели жестких к модели квазижестких сфер заключается в замене достаточно недостоверной величины, значение которой равно сумме радиусов сталкивающихся атомов (R1 + R2 ) , на величину минимального расстояния между двумя сталкивающимися атомными частицами rmin (Eс) , значение которой определяется реальным межатомным потенциалом взаимодействия. Выражение для угла рассеяния ϑ в лабораторной системе координат в этом случае может быть выражено аналитически и имеет следующий вид:

На основании законов сохранения энергии и импульса можно показать, что при столкновении движущегося иона с атомом мишени его энергии до столкновения E и после него Ek в рамках модели квазижестких сфер связаны соотношением:

23

В модели квазижестких сфер микроскопическое сечение упругого взаимодействия атомных частиц зависит от энергии их относительного движения Ec :

где N – концентрация атомных частиц в рассеивающей среде.

В рамках модели квазижестких сфер (2.10) с применением модифицированного межатомного потенциала Борна– Майера (2.13) были вычислены значения пробегов внедренных ионов в процессе ионной имплантации при описании смещения атомов в твердом теле и их движении в глубину мишени. Результаты расчетов, полученные для широкого класса партнеров столкновения, показали, что предложенная модель квазижестких сфер с применением модифицированного межатомного потенциала Борна– Майера позволяет достаточно корректно моделировать процессы упругого рассеяния атомных частиц при высоких скоростях статистического моделирования.

Таким образом, вычисление микроскопического сечения упругого взаимодействия атомных частиц σQHS (Ec ) (2.14) позволяет определить тормоз-

ные потери энергии бомбардирующих ионов. Как было показано ранее, тормозные потери энергии бомбардирующим ионом, обусловленные ядерным взаимодействием (2.1), пропорциональны концентрации атомов мишени и энергии иона, передаваемой атомам мишени при столкновении, где энергия Tn , определяемая в виде (2.2), полностью описывается при ионно-атомном столкновении углом рассеяния Θ, который, как указывалось ранее, определяет энергетические потери и последующий характер движения атомов.

3. ЭЛЕКТРОННОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ИОНОВ

При внедрении ионов в вещество, как было показано ранее, в диапазоне относительно малых энергий ионов (см. рисунок в гл. 1), когда становится существенным экранирование их атомных ядер электронами, доминирующими являются потери энергии, обусловленные ядерными столкновениями ионов с атомами мишени (ядерное торможение). С ростом энергии бомбардирующих ионов увеличивается вклад неупругих столкновений как с валент-

24

ными электронами, так и с электронами внутренних оболочек атомов мишени (электронное торможение). При этом возрастают потери энергии, связанные с захватом и потерей электронов непосредственно бомбардирующим ионом. Электронное торможение вносит наибольший вклад в процесс торможения легких ионов. Например, при торможении иона Н+ с энергией 1 кэВ в мишени, состоящей из атомов средней массы, только 16 % энергии тратится на ядерное торможение, а при энергии 10 кэВ ядерное торможение практически отсутствует. Для тяжелых ионов вклад в потери энергии ядерного торможения остается существенным и при более высоких энергиях ионов. Сложность описания процессов неупругого рассеяния ионов в твердом теле проявляется по-разному в различных диапазонах их энергии.

3.1.Приближение непрерывных потерь энергии

Вобласти низких энергий ионов потери их энергии при неупругих столкновениях в основном обусловлены ионизацией и возбуждением слабосвязанных (валентных) или свободных (фермиевских) электронов. Если представить эти электроны в виде вырожденного электронного газа, то такие потери энергии ионов в нем называют нелокальными, или непрерывными. Электронный газ твердого тела воздействует на движущийся ион аналогично вязкой среде. В этом случае энергия иона рассеивается непрерывно вдоль его траектории в твердом теле. Впервые такой непрерывный механизм торможения ионов был рассмотрен Линдхардом и Винтером. Используя упрощенную модель атома Томаса– Ферми и считая, что энергия ионов расходуется на возбуждение плазмонов – квантовых колебаний электронного газа, они показали, что сечение электронного торможения пропорционально скорости ионов:

ное значение коэффициента k′ достаточно плохо согласуется с его экспери-

e

ментальными значениями, поэтому его часто рассматривают в качестве подгоночного параметра.

Эксперименты по исследованию торможения ионов в аморфных и поликристаллических материалах показали, что сечение электронного торможения Se имеет периодический характер, связанный со структурой электрон-

25

ных оболочек атомов мишени ( Zа -осцилляции). Чтобы учесть эти Zа -осцил- ляции, Линдхард и Шарфф ввели в сечение электронного торможения Se дополнительный подгоночный параметр Ck :

где Ck принимает значения от 0.67 до 2.4.

Используя многочисленные экспериментальные результаты и потенциал Томаса– Ферми, они получили следующее выражение для сечения электронного торможения Se , содержащее параметры партнеров ионно-атомного столкновения:

скорость электрона в атоме водорода). Этот диапазон энергии имплантируемых ионов составляет 1…10 кэВ.

3.2. Импульсное приближение Фирсова

Если потери энергии ионами происходят при их взаимодействии с орбитальными электронами атомов мишени, то такие потери энергии называются локальными, или локализованными потерями энергии. Описание локальной плотности электронов позволяет рассматривать потери энергии ионами в приближении парных ионно-атомных столкновений. При этом локальные потери энергии зависят от значения прицельного параметра при ионно-атомном столкновении. Такой подход позволил Фирсову построить более адекватную квазиклассическую теорию, основанную на модели атома Томаса– Ферми и на вероятностных методах расчета. В статистической теории Фирсова движущийся ион I+ и атом мишени A в процессе столкновения образуют кратковременный комплекс – квазимолекулу (IA)+, в которой атомы связаны общей квазимолекулярной орбиталью. На этой орбитали находятся обобществленные электроны иона и атома (рис. 3.1).

26

Характерное время взаимодействия двух атомных частиц в области квазимолекулы L (L ≈ 10– 10 м) порядка L/v, где v – относительная скорость их соударения. Время электронных переходов определяется скоростью электронов

Рис. 3.1

в атомах (ve ~ 106 м/с) и значительно меньше времени жизни квазимолекулы. Поэтому обобществленные электроны за время жизни квазимолекулы успевают совершить многократные перемещения от движущегося иона I+ к неподвижному атому A. Потери энергии движущимся ионом в процессе образования и распада квазимолекулы обусловлены обменом импульсом и энергией с электронами практически неподвижного атома мишени (импульсное приближение).

В рамках импульсного приближения Фирсова энергия Te, эВ, теряемая при однократном столкновении движущимся относительно неподвижного атома ионом с прицельным параметром b, см, имеет вид

ным параметрам столкновения b от 0 до ∞, получим сечение электронного торможения ионов с энергией E, эВ · см2:

где Eи – кинетическая энергия налетающего иона, эВ.

Выражение для сечения электронного торможения ионов, полученное в рамках импульсного приближения Фирсова, имеет верхний предел применимости по энергии E, кэВ:

E < 24.9 Zи43M и.

27

Описание локальной плотности электронов в теории Фирсова на основе модели атома Томаса– Ферми было получено для атомов с большим числом электронов, поэтому расчеты сечения электронного торможения для легких ионов могут быть некорректны.

Робинсон и Торренс предложили при расчете неупругих потерь энергии Te (3.3) заменить прицельный параметр b расстоянием наибольшего сближения ионов и атомов rmin (E) :

Эта поправка позволяет при статистическом моделировании процессов неупругого рассеяния ионов в твердом теле использовать межатомный потенциал взаимодействия квазижестких сфер (2.10). В этом случае rmin (E) является решением (2.8) и определяется (2.9) для широкого класса партнеров столкновения.

Преимуществом теории квазимолекулярного взаимодействия Фирсова является объяснение возможных причин осцилляций измеренных значений сечения электронного торможения ионов Se для целого класса партнеров столкновения. Для практических расчетов значения сечения электронного торможения ионов Se ( E ) , как правило, ограничиваются формулой Фирсова (3.4), а для учета осцилляций вводят поправочный множитель X (Zи ) , определяемый из экспериментов по измерению пробегов внедренных ионов.

3.3.Приближение Бете– Блоха

Вобласти высоких энергий ионов преобладает взаимодействие иона с внутренними электронами атомов вещества. При этом потери энергии ионом при неупругих столкновениях невелики из-за краткого времени взаимодействия и малого значения импульса, переданного атомам мишени. Впервые такой непрерывный механизм торможения ионов был рассмотрен в рамках квантовой теории возмущений Бете. Он предложил разделить неупругие столкновения иона с электронами на две группы: далекие резонансные соударения и близкие соударения с передачей электронам достаточно большого импульса. Четкое разграничение далеких и близких соударений должно производиться на основании, соответственно, больших или малых переданных импульсов. Так как эти неупругие процессы являются преимущественно кванто-

28

во-механическими, применять классическое орбитальное описание соударений между электроном и ионом нельзя. Однако можно различать частицы, находящиеся вне электронных орбит, где происходят только резонансные столкновения, и внутри орбит, где происходят близкие столкновения, распределение вероятности которых определяется резерфордовским законом рассеяния.

Предполагая, что импульс движущегося иона передается одиночному электрону атома мишени, Бете получил выражение для сечения электронного торможения ионов в веществе в виде

Se ~ NZa ln 2mevи2 , I

где I – средний потенциал ионизации атома вещества; me – масса электрона. Значение потенциала ионизации I (Zа ) атомов различных веществ было теоретически вычислено и получено из многочисленных экспериментальных данных Блохом. Он показал, что средний потенциал ионизации I (Zа ) , эВ,

для широкого класса атомов вещества может быть представлен в виде

I (Zа ) = 13.5Zа.

Выражение для ионизационных потерь энергии быстрой тяжелой заряженной частицей в веществе, выведенное Бете и Блохом (Bt–Bl) с учетом квантовых эффектов, имеет вид

в веществе.

Следует отметить, что при выводе формулы Бете– Блоха учитывались все разумные значения прицельных параметров ионно-атомного столкновения, при которых возможна передача энергии электрону. Нижний предел значения прицельного параметра определялся c учетом квантово-механиче- ского характера столкновения из принципа неопределенности. Верхнее предельное значение прицельного параметра выбиралось из условия, что время столкновения начинает превышать период обращения электронов по орбите, и в этом случае не происходит возбуждение атома.

Поэтому формула Бете– Блоха (3.5) описывает средние потери энергии, и процесс потери энергии заряженной частицей в веществе носит статистиче-

29

ский характер. Реальные потери энергии бомбардирующих ионов, достигающих одной и той же глубины вещества, будут флуктуировать около среднего значения потерь энергии. В результате для изначально моноэнергетического потока бомбардирующих ионов в энергетическом спектре внедряемых ионов будет возникать статистический разброс.

Используя квантово-механический подход, Бете и Блох пришли в дальнейшем к выражению для ионизационных потерь энергии, которое более точно описывает условия связи электронов в атомах твердого тела:

где Cz – так называемая оболочечная поправка.

Выражение Бете– Блоха справедливо для области высоких энергий ионов, когда с внутренними электронами атомов вещества взаимодействует практически ядро движущегося иона. В этом случае потери энергии ионов

(3.5) характеризуются множителем Zи2 . При более низких энергиях иона, связанными с его ядром остаются те электроны, скорость которых больше скорости тяжелого иона. Тогда средний заряд иона будет Zи < Zи . Поэтому в

выражении для тормозных потерь энергии (3.5) следует заменить Zи2 на Zи2. Более строгие расчеты среднего заряда иона с учетом потери и захвата электронов в тормозящей среде привели к выражению:

где С = 1.034; γ = 0.688.

Квантово-механический подход Бете и Блоха к описанию ионизационных потерь энергии быстрой заряженной частицей достаточно корректен в области энергии ионов свыше нескольких мегаэлектрон-вольт. Однако эта область лежит за пределами энергетического диапазона, представляющего интерес при ионной имплантации. В области меньших энергий ионов, в их теории ионизационных потерь энергии, возникают определенные трудности.

В настоящее время нет достаточно надежной теории, описывающей неупругие потери энергии бомбардирующими ионами во всем диапазоне энергий процесса ионной имплантации. Поэтому приходится ограничиваться оценками неупругих потерь энергии бомбардирующих ионов, справедливыми для узких энергетических интервалов. В качестве иллюстрации на рис. 3.2

30