LS-Sb87070

уравнением одного из следующих видов.

1. Общее уравнение плоскости:

P : Ax By Cz D 0.

(1.1)

Вектор N ( A, B, C) перпендикулярен плоскости.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M0 (x0, y0, z0 )

перпендикулярно нормальному вектору N ( A, B, C) , имеет вид

P : A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0.

(1.2)

3. Уравнение плоскости в отрезках на осях:

x

y

z

1.

(1.3)

a

b

c

P2 : A2x B2 y C2z D2 0

равен углу между нормальными векторами N1( A1, B1, C1) и N

2(A2, B2, C2) :

N1 N

2

cos

A1A2 B1B2 C1C2

cos

N1

N

;

.

(1.4)

2

A12 B12 C12

A22 B22 C22

Плоскости

P и

P

параллельны тогда и только тогда, когда векторы N

1

2

1

и N2 коллинеарны ( N1 || N2 ):

A1 A2 B1 B2 C1 C2 .

Плоскости P и

P

перпендикулярны тогда и только тогда, когда векто-

ры N1 и N

1

2

2 ортогональны ( N1 N2 ):

A1A2 B1B2 C1C2 0.

5. Расстояние от точки M1(x1, y1, z1) до плоскости P : Ax By Cz D 0

равно

Ax1 By1 Cz1 D

d

.

(1.5)

A2 B2 C2

6. Уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух

плоскостей

P1 : A1x B1y C1z D1 0

и

P2 : A2x B2 y C2z D2 0 ,

следует искать в виде

( A1x B1y C1z D1) ( A2x B2 y C2z D2 ) 0 ,

(1.6)

где и некоторые числа.

N(A, B, C)

Решение. Воспользуемся уравнением (1.2):

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0.

Подставляя координаты вектора N и точки M0 ,

M0

получим

1(x 2) 2(y 1) 3(z 1) 0 x 2 y 3z 3 0.

Рис. 1.1

Ответ: x 2 y 3z 3 0.

M0(3, 4, 5) параллельно

векторам a(3, 1, 1)

и b(1, 2, 1)

(их называют

направляющими векторами плоскости).

Решение.

Первый способ. Пусть

M (x, y, z)

– произвольная точка на плоскости.

Тогда векторы M0M , a и

b (рис. 1.2) должны

a

быть компланарны, т. е. их смешанное произве-

дение должно быть равно 0:

M0M a b

0 . За-

b

пишем смешанное произведение через коорди-

M0

наты векторов. Получим

M

x x0

y y0

z z0

ax

ay

az

0.

Рис. 1.2

bx

by

bz

x 3

y 4

z 5

3

1

1

0 ,

1

2

1

или

(x 3) 4( y 4) 7(z 5) 0 .

Окончательно: x 4 y 7z 16

0.

Второй способ. Найдем сначала вектор N

(рис. 1.1). Очевидно, что век-

тор нормали N к плоскости должен быть ортогонален также векторам a и b .

Поэтому его можно выбрать как векторное произведение a b

:

a b

i

j

k

a b

i

j

k

i 4

j 7k.

ax

ay

az

,

3

1

1

bx

by

bz

1

2

1

N ( 1, 4, 7) ,

Затем выпишем

общее уравнение

плоскости,

используя

Полезная формула. Если плоскость проходит через точку M0 (x0, y0, z0 ) ,

a(ax, ay , az ) и

b(bx, by , bz ) – ее направляющие векторы, то уравнение плоско-

стиимеет вид

x x0

y y0

z z0

ax

ay

az

0.

(1.7)

bx

by

bz

M

планарны (рис. 1.3). Запишем условие компланарно-

сти векторов через их координаты:

M1

M2

x x1

y y1

z z1

Рис. 1.3

x2

x1

y2 y1

z2 z1

0.

ax

ay

az

Подставляя заданные координаты, получим

x 2

y 1

z 3

1

2

1

0,

3

1

4

Полезная формула. Если плоскость проходит через две заданные точки

M1(x1, y1, z1) и M 2 (x2, y2, z2 )

параллельно вектору a(ax , ay , az ) ,

то ее

уравнение имеет вид

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0.

(1.8)

ax

ay

az

Задача 1.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M0 ( 5, 2, 1) параллельно плоскости 3x y 5z 8 0.

Решение. В качестве вектора N искомой плоскости можно выбрать нор-

мальный вектор заданной плоскости, так как эти плоскости параллельны. Та-

ким образом, имеем N (3, 1, 5)

и M0( 5, 2, 1) . Подставляя координаты N

и M0 в уравнение (1.2), получим

3(x 5) ( y 2) 5(z 1) 0.

Окончательно: 3x y 5z 22 0.

Ответ: 3x y 5z 22 0.

Задача

1.5.

Найти

величину

острого угла

между плоскостями

11x 8y 7z 15 0 и 4x 10 y z 2 0.

Решение. Угол между плоскостями равен углу между нормальными век-

торами N1(11, 8, 7)

и N

2(4, 10, 1) (см. формулу 1.4)).

A1A2 B1B2 C1C2

11 4 8 ( 10) 7 1

2

cos

.

2

2

2

2

2

2

121 64 49 16 100 1

2

A1

B1 C1

A2 B2 C2

Отсюда 4.

Ответ: 4.

Задача

1.6.

Чему

равен

угол

между плоскостями 4x y z 0 и

x 2 y 6z 12 0 ?

Решение.

Найдем

скалярное

произведение

нормальных

векторов

N1(4, 1, 1)

и

N2(1, 2, 6) :

ки одинаковой длины.

z

Решение.

Воспользуемся уравнением

плоскости в отрезках на осях (1.3). Рассмот-

a

рим сначала случай 1:

a b c

(рис. 1.4).

x y z a

Тогдаполучим

x

y

z

1

x y z a.

a

a

a

O

a

y Подставляя в уравнение координаты точки

M0

M0(4, 3, 2) , найдем a :

a

4 3 2 a, a 9.

x

Уравнение плоскости: x y z 9 0. Затем

Рис. 1.4

следует

аналогично рассмотреть

случаи 2:

b a,

c a;

3: b a,

c a;

4: b a,

c a. Получим четыреразличные плоскости.

Ответ: x y z 9 0,

x y z 1 0, x y z 3 0,

x y z 5 0.

Задача 1.8. Построить плоскости, заданные уравнениями: 1) P1 : 3y 7 0 ;

2) P2 : x z 2 0; 3) P3 :

3x 4 y 6z 12 0; 4) плоскость P4 , проходящую

O

y

O

y

2

x

x

Рис. 1.5

Рис. 1.6

3. Уравнение плоскости запишем в отрезках

на осях (1.3):

x 4 y 3 z 2 1. Плоскость отсекает на осях Ox , Oy ,

Oz отрезки, длины

которых равны соответственно 4, 3, 2 (рис. 1.7).

нение плоскости P4 будет z z0

0 , где z0

1 по условию задачи. Таким об-

разом, получаем z 1 (рис. 1.8).

5. Плоскость P5 проходит через ось Oz .

Поэтому ее

нормальный

вектор

имеет

вид

z

N ( A, B, 0) . Так как плоскость проходит через

начало координат O(0, 0, 0) , то коэффициент D

M0

в уравнении плоскости (1.1) равен 0. Подставляя

координаты

точки M0(1, 2, 3)

в

уравнение

O

Ax By 0 , получаем 2x y 0 (рис. 1.9).

y

Задача 1.9. Составить уравнение плоско-

x

сти, проходящей через три заданные точки

Рис. 1.9

M1(3, 1, 2),

M2(4, 1, 1),

M3(2, 0, 2).

M2

Решение. Пусть M (x, y, z) произвольная точ-

M3

ка

на

,

,

M1

плоскости. Тогда векторы M M

M M

M

1

1

2

Рис. 1.10

M1M3

компланарны (рис. 1.10). Запишем условие

компланарностиэтихвекторовчерезихкоординаты:

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0.

x3 x1

y3 y1

z3 z1

Подставим значения координат и найдем уравнение плоскости:

x 3

y 1

z 2

3(x 3) ( 3)( y 1) (z 2),

0

1

0

3

1

1

0

M1(x1, y1, z1), M 2 (x2, y2,

z2 ), M3(x3, y3,

z3), не лежащие на одной прямой,

то ее уравнение имеет вид

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0.

(1.9)

x3 x1

y3 y1

z3 z1

Задача 1.10. Даны координаты вершин тетраэдра:

A1(3, 2, 3) , A2 (0, 1, 2) ,

A3(5, 5, 4) , A4 (4, 3, 5) (рис. 1.11). Составитьуравненияегограней.

A4

Решение.

Найдем уравнение грани A1A2 A3 .

Для этого подставим в формулу (1.9) координаты

A3

вершин A1, A2, A3:

x 3

y 2

z 3

A1

3

1

1

0,

A2

2

3

1

или

Рис. 1.11