LS-Sb87070

Задача 3.16. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:

x 2t

3,

x 4t 2,

3, L2

3t 1,

L1 : y t

: y

2t 2;

z

z 5t 1.

Решение. Прямая L1 проходит через точку M1( 3, 3, 2)

и ее направля-

ющий вектор

s1(2, 1, 2) .

Прямая L2 проходит

L2

через

точку

M 2 ( 2,

1, 1)

и

ее

направляющий

M2

вектор

s2(4, 3, 5) .

Известно,

что если прямые

P2

скрещиваются, то существуют две параллельные

s2

плоскости

P

и

P такие, что прямая L

лежит в

L1

d

плоскости

1

,

2

L

в

1

P .

s

1

P

а прямая

плоскости

M1

1

2

2

P

Направляющие векторы s1

и s2 будут направляю-

1

щими векторами этих плоскостей.

Рис. 3.13

Построим параллелепипед, сторонами которо-

го являются векторы

,

s ,

s

(рис. 3.13). Найдем его объем. Для этого

M M

2

1

1

2

s2 :

вычислим смешанное произведение

M1M

2 s1

1

2

1

s1

s2 2

M1M2

1

2 7.

4

3

5

Таким образом, объем V 7.

Теперь найдем площадь основания S параллелепипеда (см. решение за-

дачи 3.15):

i

j

k

s1 s2 2

1

2 i 2 j 2k ,

S 1 4 4 3.

4

3

5

Расстояние d между скрещивающимися прямыми будет равно

d V S 7 3.

Ответ: d 7 3.

Полезная формула. Если заданы две скрещивающиеся прямые

L : x x1 y y1 z z1 ; L :

x x2 y y2 z z2 ,

1

l1

m1

n1

2

l2

m2

n2

то расстояние между ними вычисляется по формуле

s1

s2

d

M1M2

.

s1 s2

Здесь M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2)

–

точки, через которые проходят

прямые L1 и L2 соответственно,

s1 и s2 – их направляющие векторы.

P : x 2 y 2z 13 0 .

1

P . Теперь все

Расстояние d

равно расстоянию от точки M

2

до плоскости

1

следует из формулы (1.5):

d

| Ax2 By2 Cz2 D |

|1 ( 2) 2 1 2 ( 1) 13|

7 .

2

B

2

C

2

1 4 4

3

A

Содержание

1.

ПЛОСКОСТЬ......................................................................................................

3

1.1. Основные сведения из теории .................................................................

3

1.2. Решение типовых задач............................................................................

4

2.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.......................................................................

13

2.1. Основные сведения из теории ...............................................................

13

2.2. Решение типовых задач..........................................................................

14

3.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ .........................................

20

3.1. Основные сведения из теории ...............................................................

20

3.2. Решение типовых задач..........................................................................

21

Список рекомендуемой литературы....................................................................

32