LS-Sb87070

Al Bm Cn 0,

(L || P),

(3.2)

Ax

By

Cz

0

D 0,

(M

0

P),

0

0

3.2. Решение типовых задач

Задача 3.1. Найти острый угол между прямой

x 3

y 6

z 7

и

плоскостью 4x 2 y 2z 3 0 .

1

1

2

Решение. Направляющий вектор прямой равен s(1, 1, 2) . Нормальный

вектор плоскости равен N

(4, 2, 2) . По формуле (3.1)

sin

Al Bm Cn

4 1 2 1 2 ( 2)

1 ,

.

2

2

2

2

2

2

1 1 4

16 4 4

C

l

m

n

2

6

A B

Ответ: 6.

Задача 3.2. При каком значении C прямая L :

3x 2 y z 3 0,

парал-

4x 3y 4z 1 0

лельна плоскости

P : 2x y Cz 2 0 ?

Решение. Согласно условию задачи прямая L задана как линия пересечения

двух плоскостей.

Нормальный

вектор

первой плоскости равен N1(3, 2, 1) ,

нормальный вектор второй плоскости равен N2 (4, 3,

4) . Направляющий век-

торпрямойравен s N

N

(см. формулу(2.6)):

1

2

k

s

i

j

5i 8 j k .

3

2

1

4

3

4

Условие параллельности прямой L и плоскости P

это условие ортогональ-

ности направляющего вектора прямой

s( 5, 8, 1)

и нормального вектора

плоскости N

(2, 1, C) , т. е. N s 0 . Умножая, получаем

Ответ: C 2.

Задача 3.3. При каких значениях C и D прямая

x 3

y 3

z

лежит

3

2

7

в плоскости 2x y Cz D 0 ?

Решение. Прямая будет параллельна плоскости, если ее направляю-

щий вектор s(2, 3,

7) будет ортогонален нормальному вектору плоско-

сти N (2, 1,

C) , т. е. N s 0 . Запишем это условие:

2 2 1 ( 3) 7C 0 C 1.

Прямая

будет

принадлежать

плоскости,

если

координаты

точки

M0 (3, 3, 0) , через которую проходит прямая, удовлетворяют уравнению

плоскости: M0 P . Отсюда получаем, что

2 3 3 1 0 D 0 D 3.

При решении задачи мы воспользовались формулой (3.2).

Ответ: C 1,

D 3.

Задача 3.4. Найти точку пересечения прямой

L :

x 6

y 5

z 6

и

1

3

4

плоскости P : x 3y 4z 7 0.

Решение. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде

x 6 t,

5 3t,

y

z 6 4t.

Подставляя выражения для x, y, z в уравнение плоскости P , получим

6 t1 15 9t1 24 16t1 7 0 26t1 52 t1 2.

Теперь следует подставить значение параметра

t1 2

в параметрические

уравнения прямой L . Находим x1 4, y1 1, z1 2 .

Ответ: M1(4, 1, 2).

Полезная формула. Если прямая L : x x0

lt, y y0 mt,

z z0 nt

t

Ax0 By0 Cz0 D

.

(3.3)

1

Al Bm Cn

x 6

y 1

z 4

0,

M0

L

2

1

1

s

1

1

1

или

P

1

2(x 6) 3( y 1) (z 4) 0 .

Рис. 3.1

Решение. Данный тетраэдр мы рассматривали в

задаче 1.10. Уравнение основания A A A

имеет вид

A4

1

2

3

2x y 7z 13 0 . В качестве направляющего век-

h

A3

тора s

высоты A4 A5 можно выбрать нормальный

A1

A5

вектор грани

A1A2 A3 , т. е. s N (2, 1,

7)

(рис. 3.2).

A2

Кроме

того,

нам известны координаты

точки

Рис. 3.2

A4 (4, 3, 5) , через которую проходит

высота.

Вос-

пользуемся каноническими уравнениями прямой (2.3). Тогда получим

A4 (4, 3, 5) до грани A1A2 A3 : 2x y 7z

13 0 .

h

Ax4 By4 Cz4 D

| 2

4 1 3 7 5 13|

11 6 .

A

2

B

2

C

2

54

18

(Напомним, что A, B,

C,

D – это коэффициенты в общем уравнении плоско-

сти 2x y 7z 13 0 , и они равны A 2 , B 1, C 7 , D 13.)

Ответ: A A

:

x 4

y 3

z 5

;

h 11 6 .

4

5

2

1

7

18

Задача 3.7. Даны прямые L :

x 6

y 1

z 4

и L

:

x 1

y 2

z 7

.

1

2

1

1

2

1

1

7

Найти уравнение плоскости P, проходящей через прямую L1 параллельно

прямой L2.

Векторы s1(2, 1, 1)

Решение.

и

s2 (1, 1, 7) являются направляющими

векторами плоскости P (рис. 3.3). Точка M1(6, 1, 4) принадлежит плоскости P .

Решаемзадачу, используяформулу(1.9):

s2

x 6

y 1

z 4

L2

2

1

1

0,

1

1

7

s1

или

L1

6(x 6) 15( y 1) 3(z 4) 0.

P

Окончательно: 2x

5y z 11 0 .

Рис. 3.3

Ответ: 2x 5y z 11 0 .

Задача 3.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

L :

x 1

y 1

z 2

и точку M1(3, 0, 2) .

4

3

1

Решение. Прямая L проходит через точку M0( 1, 1, 2) и ее направля-

ющий вектор равен s(4, 3, 1) . Произвольная

точка M (x, y, z) будет при-

надлежать искомой плоскости P , если векторы

и s

компла-

M0M ,

M0M1

нарны:

M0M

M0M1 s 0 (рис. 3.4), т. е.

P

L

x x

y y

z z

s

0

0

0

M0

M1

x1 x0

y1 y0

z1 z0

0 .

l

m

n

M

Это и есть уравнение плоскости P .

Подставляем

Рис. 3.4

координаты:

x 1

y 1

z 2

4

1

4

0,

4

3

1

L :

x x0

y y0

z z0

и

точку M

1

(x , y , z ) , не лежащую на этой

l

m

n

1

1

1

прямой, имеет вид

x x0

y y0

z z0

x1 x0

y1 y0

z1 z0

0.

(3.4)

l

m

n

Найдем уравнение плоскости

P ,

в которой лежат прямые L1 и L2 .

Очевидно, что произвольная точка M (x,

y, z)

будет принадлежать плоско-

, s1, s2 компланарны:

s2

L2

P

сти, если векторы M1M

0

(рис. 3.6), т. е.

M

M1M

s1 s2

s1 M1

L1

x x1

y y1

z z1

0 .

Рис. 3.6

l1

m1

n1

l2

m2

n2

x 1

y 2

z 3

0 ,

1

2

4

3

2

4

или

16(x 1) 8( y 2) 8(z 3) 0 .

Окончательно: 2x y z 3 0 .

Ответ: 2x y z 3 0 .

Полезные формулы. Две прямые

L :

x x1

y y1

z z1

; L

:

x x2

y y2

z z2

1

l1

m1

2

l2

m2

n2

n1

лежат в одной плоскости, если

x2 x1

y2 y1

z 2 z1

l1

m1

n1

0.

(3.5)

l2

m2

n2

Если прямые пересекаются, то уравнением этой плоскости будет

x x1

y y1

z z1

l1

m1

n1

0 .

(3.6)

l2

m2

n2

лельные прямые:

L :

x 2

y 1

z 3

;

L :

x 1

y 2

z 3

.

1

3

2

2

2

3

2

2

Решение. Ясно, что направляющие векторы

M2

P

этих прямых равны

. Первая

M

s1

s2

s(3, 2, 2)

s

прямая проходит через точкуM1(2, 1, 3) , вто-

M1

рая через точкуM2 (1, 2, 3) . Произвольная

Рис. 3.7

точка M (x, y, z) принадлежит искомой плоско-

сти P , если векторы

s 0

M1M ,

M1M2 и s

компланарны:

M1M

M1M2

(рис. 3.7), т. е.

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0 .

l

m

n

x 2

y 1

z 3

0 ,

1

3

6

3

2

2

L :

x x1

y y1

z z1

; L :

x x2

y y2

z z2

,

1

l

m

n

2

l

m

n

имеет вид

x x1

y y1

z z1

0 .

(3.7)

x2 x1

y2 y1

z2 z1

l

m

n

Задача 3.11.

Найти координаты

проекции M1 точки M0 (1,

2, 1) на

N

M0

плоскость P : 3x y 2z 27 0 .

s

Решение. Находим параметрические уравнения

L

прямой

L ,

проходящей через точку M0 (1, 2, 1)

перпендикулярно плоскости P . В качестве направ-

M1

ляющего вектора s прямой L можно выбрать нор-

P

мальный

вектор N плоскости P , т. е.

положить

Рис. 3.8

s N (3, 1,

2) (рис. 3.8). Параметрические уравне-

ния прямой L будут (см. формулу (2.2)):

x 1 3t,

y 2 t,

1 2t.

z

x1 7,

y1 0,

z1 3.

Ответ: M1(7, 0, 3).

Задача 3.12. Найти координаты точки M 2 , симметричной

точке

M0 (1, 2, 1)

относительно плоскости P : 3x y 2z 27 0 .

M0

Решение. Воспользуемся результатом решения предыду-

щей задачи. Точка

M1(7, 0, 3) – проекция точки M0 на

плоскость. Координаты точки M2 (x2, y2, z2 ) можно найти,

M1

используясоотношения:

(x0 x2) 2 x1,

( y0 y2) 2 y1,

(z0 z2) 2 z1

M2

(рис. 3.9). Следовательно,

x2 2x1 x0 13,

y2 2 y1 y0 2,

z2 2z1 z0

7.

Рис. 3.9

Ответ: M 2

(13,

2,

7).

Задача3.13. Найтикоординатыпроекции M1 точки M0

(0,

2, 1) напрямую

L : x 4

y 1

z 2 .