zanyatie_KhT_3_10aprelya

sin x cos x =

1

( sin ( + ) + sin ( ));

2

sin x sin x =

1

( cos ( ) cos ( + ));

2

cos x cos x =

1

( cos ( ) + cos ( + ));

2

заменяющих произведение тригонометрических функций на сумму.

Пример.

1

1

∫ sin 3x sin 5x dx = ∫

( cos (3x 5x) cos (3x + 5x)) dx =

∫

cos 2x cos 8x dx =

2

2

1

1

=

sin 2x

sin 8x + c:

2. Интегралы вида ∫

4

16

R(sin x; cos x) dx; где R – рациональная функция двух переменных:

R(u; v) =

P (u; v)

;

Q(u; v)

n

m

∑

∑

P (u; v) =

ai;kuivk;

Q(u; v) =

aj;suj vs:

i;k=1

j;s=1

функции.

I случай. Пусть

R( sin x; cos x) R(sin x; cos x); то есть R нечётна по первому аргу-

полагаем t = cos x:

менту, тогда

sin3 x

dx =

sin2 x d(cos x)

= [t = cos x] =

1 t2

dt =

1

1

dt =

∫

∫

∫ t2

Пример. ∫ cos4 x

cos4 x

t4

t4

1

1

1

1

=

+

+ c =

+ c:

t

3t3

3 cos3 x

cos x

II случай. Пусть

R(sin x; cos x) R(sin x; cos x); то есть R нечётна по второму ар-

полагаем t = sin x:

гументу, тогда

Пример.∫

sin 2x

dx = ∫

2 sin x cos x

∫

sin x d(sin x)

dx = 2

= [t = sin x] =

1 + sin x

1 + sin x

1 + sin x

1