Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

mat_an_lektsia_nesob_int_2roda

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
11.02.2021
Размер:
241.23 Кб
Скачать

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§ 2. Несобственные интегралы II рода

b

R

Для определенного интеграла f(x)dx длина отрезка [a; b] должна быть конечной, а необ-

a

ходимым условием интегрируемости функции является ограниченность функции на этом отрезке. Если убрать условие конечности отрезка, то получим понятие несобственного интеграла I рода, как было показано на прошлой лекции. Теперь предположим, что не выполняется необходимое условие интегрируемости функции.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b). Будем называть точку b особой

для функции f(x), если

x

lim

0

f(x) =

1

:

 

 

 

 

 

 

(2.1)

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отступим (рис. 2.1) от особой точки b влево на некоторую ве-

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

личину " > 0 так, чтобы при этом точка b " 2 (a; b). Так как

 

 

 

 

 

 

рассматриваемая нами функция f непрерывна на промежутке

 

 

 

y = f(x)

 

 

[a; b), то она непрерывна на любом отрезке [a; b "] [a; b); а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит, функция интегрируема на этом отрезке, т. е. существу-

 

 

 

 

 

 

b "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ет определенный интеграл f(x)dx. Значение этого интеграла,

 

 

 

 

 

 

помимо самой функции f, Raточек a и b, зависит от выбранного

 

 

 

 

 

x

a

 

 

b " b

 

 

 

 

 

значения числа "; тем самым мы получим некоторую функцию

 

 

 

Рис. 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

b "

 

 

 

 

 

 

 

" при этом приближается к точке b

I(") = f(x)dx: Устремим теперь " к нулю (точка b

 

слева) иRa посмотрим к чему будет стремиться значение функции I("); т. е. рассмотрим

 

 

 

 

 

 

b "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim I "

 

 

lim

f

 

x

dx:

 

 

 

 

 

 

"!+0 ( ) =

"!+0 Za

 

(

)

 

 

 

 

 

(2.2)

Независимо от того, существует ли этот предел, будем называть его несобственным ин-

тегралом II рода и обозначать

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)dx. Если при этом предел существует и конечен, то

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

несобственный интеграл

называется сходящимся, иначе расходящимся.

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла II ро-

y

 

 

 

 

да, в случае, когда функция непрерывна на промежутке (a; b]

 

y = f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и точка a особая (рис. 2.2). При этом от особой точки a надо

 

 

 

 

 

 

отступить вправо на некоторую величину "; но так, чтобы точка

 

 

 

 

 

 

a + " была внутри интервала (a; b); а затем устремить " к нулю

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Za

 

 

 

 

"!+0aZ+"

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(

)

 

=

(

)

 

 

 

 

a a + "

 

f

 

x

dx

 

lim

f

 

x

dx:

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2

1

f(x)

Если для непрерывной на интервале (a; b) функции f особыми

 

являются обе точки a и b (рис. 2.3), то, выбрав произвольную

 

точку c из интервала (a; b), представим (сначала формально)

y

несобственный интеграл II рода в виде суммы двух несобствен-

 

ных интегралов

 

 

 

 

 

b

 

c

b

 

 

Za

f(x)dx = Za

f(x)dx + Zc

f(x)dx:

(2.3)

 

y =

a

c

x

b

 

 

Если каждый из интегралов, стоящих в правой части (2.3), схо-

 

Рис. 2.3

 

 

 

b

 

 

 

 

дится, то и интеграл f(x)dx сходится, и это равенство выпол-

y

 

 

 

няется. Если хотя быRaодин из интегралов в правой части (2.3)

 

 

 

 

расходится, то расходящимся будет и интеграл в левой части.

 

y = f(x)

 

 

Если функция непрерывна на отрезке [a; b] за исключением осо-

 

 

 

 

бой точки c, лежащей внутри интервала (a; b), то в этом случае

 

 

 

 

также представим несобственный интеграл II рода в виде сум-

 

 

 

 

x

a

 

c

 

 

 

 

b

мы двух несобственных интегралов (2.3). Сходящимся интеграл

 

Рис. 2.4

 

 

 

b

 

 

 

 

 

f(x)dx будет тогда и только тогда, когда сходится каждый из

 

 

 

 

a

в правой части равенства (2.3).

 

 

 

 

интеграловR

 

 

 

 

Примечание 1. Аналогично вводится понятие несобственного интеграла II рода для функ-

ций, имеющих на отрезе [a; b] любое конечное число особых точек.

Примечание 2. ¾Внешний вид¿ несобственного интеграла II рода такой же, как и у определенного интеграла. Поэтому, чтобы отличить один от другого, надо выяснить, есть ли у подынтегральной функции особые точки на отрезке [a; b]: Рассмотрим, например, два инте-

грала

 

 

 

 

 

I1

1

 

x ;

 

 

I2

 

 

 

2

 

x :

 

 

 

 

 

 

 

= Z0

 

 

= Z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

Подынтегральная функция f(x) = 1

одинакова. Точка x = 0 для этой функции являет-

 

 

 

 

 

 

x

 

 

lim

1 =

 

:

 

 

 

 

 

 

ся точкой разрыва второго рода, так как

1

Следовательно, эта точка является

x!0

x

 

особой для интеграла I1: Поэтому I1 несобственный интеграл II рода. Вычислим его по

определению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

1

x =

"!+0

 

j" =

"!+0

 

 

 

 

"!+0

 

1

 

1 = Z

= "!+0 Z

 

 

 

 

I

 

dx

lim

dx

lim

ln x

 

1

lim (ln 1

 

 

ln ") = lim (

 

ln ") = + ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0"

т.е. I1 расходится.

На отрезке же [1; 2] функция f(x) непрерывна, следовательно, I2 это обычный определен-

ный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона–Лейбница

2

x = ln xj12

= ln 2 ln 1 = ln 2:

I2 = Z1

 

dx

 

2

Проверять функцию на интегрируемость на отрезке, по которому считается интеграл, надо всегда. Формальное применение формулы Ньютона–Лейбница может привести к ошибкам, как при нахождении, например, следующего интеграла

1

 

 

 

 

 

 

 

Z

dx

1

1

 

 

=

 

 

1 = 2 < 0:

x2

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение интеграла получилось отрицательным, хотя подынтегральная функция очевидно положительна. Ошибка возникла из-за того, что подынтегральная функция неограничена на отрезке интегрирования [ 1; 1]; а следовательно, неинтегрируема на этом отрезке. Рассмотренный интеграл представляет из себя несобственный интеграл II рода с особой точкой x = 0. Так как особая точка лежит внутри отрезка интегрирования, то интеграл мы должны представить в виде суммы двух

1

x2

0

x2

1

x2 :

Z

= Z

+ Z

 

dx

dx

dx

1

 

1

 

0

 

 

Исследуем на сходимость, например, второй из них

1

x2

=

"!+0

1

x2

"!+0

x

"

!

"!+0

 

"

1

 

 

Z

dx

 

Z

dx

 

1

1

 

 

1

 

 

 

lim

 

 

= lim

 

 

 

 

= lim

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0"

R1 dx

т. е. интеграл расходится. Значит, расходится и интеграл 1 x2 :

Интеграл вида

Z

sinx xdx

0

не является несобственным II рода, хотя казалось бы, что точка x = 0 должна быть особой для подынтегральной функции. Но, если вспомнить ¾замечательный¿ предел

lim sin x = 1 6= 1;

x!0 x

то получим, что x = 0 вовсе не особая точка. Доопределив подынтегральную функцию в точке x = 0 значением, равным 1, получим непрерывную, а следовательно, и интегрируемую функцию. Значит, это определенный интеграл, а не несобственный.

Интеграл вида

1

Z dx

xp

0

не является несобственным II рода при p < 0, так как

lim 1 = 0:

x!+0 xp

ДЗ: Исследуйте этот интеграл при p 0:

3

Свойства несобственных интегралов II рода

1. Если интеграл

b

b

f(x)dx сходится, то для любой константы C интеграл Cf(x)dx схо-

дится, причем

Ra

Ra

 

b

b

 

Z

Z

Cf(x)dx = C f(x)dx:

 

 

a

a

 

2. Если интеграл

b

f(x)dx расходится, то для любой константы C = 0 интеграл

b

Ra

Cf(x)dx

расходится.

 

6

Ra

3. Пусть точка b является особой для функций f(x) и g(x), непрерывных на промежутке [a; b):

причем

b

 

b

 

b

 

 

 

Ra

f(x)dx и

Ra

 

Ra

(f(x)

g(x)) dx;

Если сходятся оба интеграла

g(x)dx, то сходится и интеграл

 

 

b

 

 

b

b

 

 

 

Za

(f(x) g(x)) dx = Za

f(x)dx Za

g(x)dx:

 

 

 

bb

RR

Примечание. Если оба интеграла f(x)dx и g(x)dx расходятся, то про сходимость

aa

b

R

интеграла (f(x) g(x)) dx ничего утверждать нельзя. Можно привести примеры таких

a

bb

RR

функций f(x) и g(x), для которых f(x)dx и g(x)dx расходятся, но, например, интеграл

 

a

a

 

 

 

b

 

b

 

 

 

(f(x) + g(x)) dx сходится, а интеграл

(f(x) g(x)) dx расходится.

a

 

a

f(x), непрерывной на промежутке [a; b):

4.R

Пусть точка b является особой для функцииR

Точка c произвольная из интервала (a; b): Тогда интегралы

b

b

f(x)dx и

f(x)dx ведут себя

одинаково, т. е. либо оба сходится, либо оба расходятся.

Ra

Rc

5. Пусть точка b является особой для функций f(x) и g(x), непрерывных на промежутке

[a; b): Для всех x из этого промежутка выполняется неравенство f(x) g(x): Если при этом

bb

RR

сходятся интегралы f(x)dx и g(x)dx; то справедливо неравенство

aa

bb

ZZ

f(x)dx g(x)dx:

aa

6.(обобщенная формула Ньютона–Лейбница)

Пусть точка b является особой для функции f(x), непрерывной на промежутке [a; b): Функция F (x) является первообразной для f(x) на промежутке [a; b): Тогда

b

Z

f(x)dx = F (b) F (a);

a

где F (b) = F (b 0) = lim F (x):

x!b 0

4

6= 0;

Рассмотрим далее функцию f(x); непрерывную на промежутке [a; b) с особой точкой b: По

b

R

определению, сходимость интеграла f(x)dx следует из существования конечного предела

a

(2.2). Запишем критерий Коши существования конечного предела справа функции I(") в

точке " = 0:

8"~ > 0 9 (~") > 0 : 8"1; "2 2 O+(0) ) jI("1) I("2)j < ":~

Применим это утверждение для функции I(") и воспользуемся свойством аддитивности

по отрезку для определенного интеграла

 

 

 

 

 

 

b "1

b "2

 

b "1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I("1) I("2) =

Za

f(x)dx Za

f(x)dx =

Z

f(x)dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b "2

 

 

 

 

 

 

 

Получим следующее утверждение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1 (Критерий Коши сходимости несобственного интеграла II рода)

 

f(x)dx

 

сходится

 

"~ > 0

 

(~") > 0 :

"1; "2

O+(0)

 

 

 

 

f(x)dx

< ":~

Z

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b "1

 

 

 

 

 

, 8

 

 

 

9

8

2

 

)

Z

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

"2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследовать интеграл на сходимость по определению или с помощью критерия Коши может быть довольно трудно. В некоторых случаях проще воспользоваться признаками схо-

димости, которые будут приведены далее.

Теорема 2 (признак сравнения)

Пусть точка b является особой для функций f(x) и g(x), непрерывных и неотрицатель-

ных на промежутке [a; b): И для всех x из этого промежутка выполняется неравенство

 

 

0 f(x) g(x); x 2 [a; b):

Тогда:

b

b

 

 

1) Если

Rab g(x)dx сходится, то и Ra

fb(x)dx сходится.

2) Если

Ra

f(x)dx расходится, то и

Ra

g(x)dx расходится.

Можно воспользоваться и следующим утверждением

Теорема 3 (признак сравнения в предельной форме)

Пусть точка b является особой для функций f(x) и g(x), непрерывных и неотрицательных на промежутке [a; b); причем в некоторой левой полуокрестности точки b функция g(x) не обращается в нуль. Тогда, если существует конечный предел

lim f(x)

x!b 0 g(x)

b

b

R

R

то интегралы g(x)dx и

f(x)dx ведут себя одинаково, т. е. либо оба сходится, либо оба

a

a

расходятся.

 

5

Признаки сравнения работают только для функций, неотрицательных на промежутке

[a; b): Если же функция неположительна на этом промежутке, то ее просто можно умножить на константу C = 1; тем самым поменяв знак на противоположный. Сходимость/расходимость интеграла при этом не изменится.

Если же функция не является знакопостоянной на промежутке [a; b); то интеграл на сходимость можно исследовать с помощью следующей теоремы.

Теорема 4 (об абсолютной сходимости)

Пусть точка b является особой для функции f(x), непрерывной на промежутке [a; b):

Тогда, если

b

 

b

Za

jf(x)jdx сходится ) Za

f(x)dx сходится:

Сходимость интеграла в этом случае называется абсолютной.

Примечание. В обратную сторону утверждение неверно. Существует такие функции, от которых интеграл сходится, но при этом интеграл от модуля функции расходится. Сходимость интеграла в этом случае называется условной.

Бета-функция Эйлера

Бета-функцией Эйлера (B-функцией) называется функция, заданная как интеграл вида

1

Z

B(x; y) = tx 1(1 t)y 1dt:

0

Функция определена при x > 0; y > 0:

Основные свойства.

1.

(свойство симметрии)

 

 

 

 

 

 

 

B(x; y) = B(y; x)

 

 

2.

(формула понижения)

x 1

 

 

 

 

 

 

B(x; y) =

 

 

B(x

 

1; y)

 

x + y 1

 

 

 

 

3.

B(x; y) = (x) (y);(x + y)

где (x) гамма-функция Эйлера.

7 апреля 2020 г.

6

Соседние файлы в предмете Высшая математика