Добавил:

elizabethalexs Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Озёрский технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

zanyatie_KhT_8_22aprelya

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2021

Размер:

56 Кб

Скачать

☆

Занятие по математике для группы 1ХТ-19Д: 22 апреля
0.1 Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом.
Определение 0.1 Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]:	∫ax f (t) dt:
Тогда для любого значения x 2 [a; b] существует единственное значение	∫ax f (t) dt:

∫x

Функция F (x) = f (t) dt; определённая на [a; b] называется интегралом с переменным верхним

пределом.

Замечание 0.1 Аналогично определяется интеграл с переменным нижним пределом.

Определение 0.2 Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]:

∫x

Функция F (x) = f (t) dt; определённая на [a; b] называется интегралом с переменным

нижним пределом.

Примеры.

1) Функция cos непрерывна, а значит интегрируема, на R; поэтому существует интеграл с переменным верхним пределом

∫x

F (x) = cos t dt; x 2 R:

Получим формулу функции F через элементарные функции. Для этого воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

						x						x
						0						x
				F (x) = ∫			cos t dt = sin t						= sin x sin 0 = sin x:
												0
												0
Значит, F (x) = sin x;				x 2 R:
																	1	3		4
																		3		4
2)Для интеграла с переменным нижним пределом F (x) = ∫x																		(	t	t	) dt; x 2 R найдём
2)Для интеграла с переменным нижним пределом F (x) = ∫x																		(	5	4	) dt; x 2 R найдём
выражение.
	1		3		4				4		5					(					)	5	x	4
	x		3		4				4		5					(					)	5		4
F (x) =		t		t		dt =		1 t		1 t				=	1	14		15 x4		+ x5 = x				:

	∫ ( 5 4 )						(5 4			4 5 ) x					20								20

F ′(x) = f (x):

∫x

Следующие свойства справедливы для интеграла с переменным верхним пределом.

∫x

10: Если f интегрируема на отрезке [a; b]; то функция F (x) = f (t) dt непрерывна на

[a; b]:

20: Если f интегрируема на отрезке [a; b] и непрерывна в точке x0 2 [a; b]; то функция

∫x

F (x) = f (t) dt дифференцируема в точке x0 и справедливо

a
F ′(x0) = f (x0)	x 2 [a; b]:

∫x

30: Если f непрерывна на отрезке [a; b]; то функция F (x) = f (t) dt дифференцируема

на отрезке [a; b] и справедливо

Примеры.

1) Найти производную функции F (x) = sin t dt:

F ′(x) = sin x:

	ex			′	ln ex
	∫	ln z	dz =		ln ex
2)				=		ex = x: Здесь интеграл с переменным верхним пределом –
2)		z		=	ex	ex = x: Здесь интеграл с переменным верхним пределом –
	2

сложная функция, поэтому мы воспользовались формулой производной сложной функции.

Задания для аудиторной работы.

Найти выражение для интеграла с переменным верхним (нижним) пределом.

∫0

t2 dt :

∫1

∫x

dt:

∫x

(t2 + 6t + 11) dt:

ln t dt :

1 + t

Вычислить производную функции.

1 t + t2

sin t dt :

dt :

1 + z2 dz:

ln t dt:

5. ∫

6. ∫ 1 + t + t2

7. ∫

√

8. ∫

При каких значениях x функция ∫0x te−t2 dt имеет экстремумы?

Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции ∫0x(1 + t) ln t dt:

Домашнее задание.

Найти выражение для интеграла с переменным верхним (нижним) пределом.

1. ∫

2. ∫e

3. ∫x

u du

4. ∫

t p

t ln3 t

u2 + 4

t2 + 6t + 11

ln t

−2

Вычислить.

dt ′ :

x3 e−3t dt :

1 + t2

∫

√

∫2

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
11.02.202158 Кб5zanyatie_KhT_1_7aprelya.pdf
#
11.02.202134 Кб2zanyatie_KhT_12_6maya_1.pdf
#
11.02.202147 Кб3zanyatie_KhT_3_10aprelya.pdf
#
11.02.202132 Кб1zanyatie_KhT_5_15_apr.pdf
#
11.02.202152 Кб4zanyatie_KhT_6_17aprelya.pdf
#
11.02.202156 Кб3zanyatie_KhT_8_22aprelya.pdf
#
11.02.2021145 Кб4КОЛЛОКВИУМ МАТЕМАТИКА СУСЛОВА ХТ19Д.docx
#
11.02.202149 Кб3матан практика на 21.04.pdf