zanyatie_KhT_1_7aprelya
.pdfЗанятие по математике для группы 1ХТ-19Д: 7 апреля
0.1Интегрирование по частям
Теорема 0.1 Пусть функции u, v дифференцируемы на промежутке X и существует ин- |
|||||
теграл |
∫ |
v(x) u′(x) dx. Тогда существует интеграл |
∫ u(x) v′(x) dx и справедливо равен- |
||
ство |
|
∫ |
u(x) v′(x) dx = u(x) v(x) ∫ |
|
|
|
|
v(x) u′(x) dx |
(0.1) |
||
или, в терминах дифференциалов,
∫∫
u dv = u v |
v du. |
(0.2) |
С помощью формулы отыскание интеграла ∫ |
u dv сводится к нахождению интеграла |
|
∫
v du. Это целесообразно, когда последний интеграл более простой,чем исходный.
Примеры.
∫
1)x ln x dx.
Занесём x под дифференциал и применим формулу интегрирования по частям (0.2)
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
|
x2 1 |
||||||
∫ |
x ln x dx = ∫ ln x d ( |
|
) = |
|
ln x |
∫ |
|
d(ln x) = |
|
|
ln x ∫ |
|
|
|
dx = |
|||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
∫ |
|
|
|
x2 |
|
1 |
x2 + c. |
|
|
|
|
|||
|
|
= |
|
ln x |
|
x dx = |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ (1 x) sin 2x dx. |
2 |
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом интеграле под дифференциал занесём sin 2x и применим ту же формулу (0.2)
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ (1 x) sin 2x dx = ∫ (1 x) d ( |
|
|
cos 2x) = |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x) ( |
1 |
cos 2x) ∫ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
∫ cos 2x dx = |
||
= (1 |
|
|
|
|
cos 2x d(1 x) = |
|
(x 1) cos 2x |
|
|||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
= |
1 |
(x |
1) cos 2x |
1 |
sin 2x + c. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|||||||||
Полезно знать, какую именно функцию следует заносить под дифференциал. Обозначим
P (x) многочлен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В интегралах ∫ |
P (x)exdx, |
P (x)axdx, |
P (x) sin αx dx, |
P (x) cos αx dx целесообраз- |
||||
∫ |
∫ |
∫ |
|
x |
, a |
x |
, |
|
но под дифференциал заносить функции экспоненциального типа, то есть функции e |
|
|
||||||
sin αx, cos αx соответственно.
1
Винтегралах, содержащих произведение многочлена и функции, обратной функции
∫∫ ∫
экспоненциального типа, P (x) ln x dx, P (x) arcsin x dx, P (x) arccos x dx, . . . под диф-
ференциал заносим многочлен P (x).
Заметим также, что формулу интегрирования по частям (0.2) при нахождении таких интегралов приходится применять столько раз, какова степень многочлена P (x).
Пример. ∫ (x2 + x 1) cos x dx. |
|
|
|
Занесём cos x под дифференциал и возьмём интеграл по частям |
∫ |
|
|
∫ (x2 + x 1) cos x dx = ∫ x2 + x 1 d(sin x) = (x2 + x 1) sin x |
sin x d(x2 + x 1) = |
||
= (x2 + x 1) sin x ∫ |
sin x (2x + 1) dx = |
|
|
После интегрирования по частям степень многочлена понизилась на 1, поэтому, если
∫
занесём sin x под дифференциал в получившемся интеграле sin x (2x + 1) dx и применим ещё раз формулу (0.2) интегрирования по частям, то многочлен исчезнет, а исходный
интеграл сведётся к табличному интегралу |
|
|
|
||
= (x2 + x 1) sin x ∫ (2x + 1) d( cos x) = |
|
||||
= (x2 |
+ x 1) sin x (2x + 1) ( cos x) + ∫ |
cos x d(2x + 1) = |
|||
= (x2 |
+ x |
1) sin x + (2x + 1) cos x 2 |
∫ |
cos x dx = |
|
= (x2 |
+ x |
1) sin x + (2x + 1) cos x 2 sin x + c. |
|||
Интегралы от логарифма и обратных тригонометрических функций берутся "по частям"
сразу. |
|
|
|
|
|
Пример. ∫ |
ln x dx = x ln x ∫ |
x d(ln x) = x ln x ∫ |
1 |
dx = x ln x x + c. |
|
x |
|
||||
x |
|||||
Иногда удаётся найти интеграл двойным применением формулы интегрирования по ча-
стям и решением затем уравнения относительно исходного интеграла. |
|
|
||||||
Пример. ∫ |
ex sin x dx. |
|
|
x |
или sin x, мы занесём под дифференциал. |
|||
Здесь не имеет значения, какую из функций, e |
|
|||||||
Возьмём для этой цели ex как более простую в интегрировании |
|
∫ |
|
|||||
∫ ex sin x dx = ∫ sin x d(ex) = sin x ex ∫ |
ex d(sin x) = sin x ex |
ex cos x dx = |
||||||
Ещё раз занесём ex под дифференциал |
|
|
|
|
|
|
||
|
= sin x ex ∫ |
cos x d(ex) = sin x ex cos x ex ∫ |
ex d(cos x) = |
|||||
|
= ex (sin x cos x) + ∫ |
ex sin x dx |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Обозначим I = ∫ |
ex sin x dx, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
I = ex(sin x cos x) I, |
||||
выражаем из этого уравнения I |
|
|
|
|
||
|
|
I = |
1 |
ex(sin x cos x). |
||
|
|
|
||||
Следовательно, I = ∫ |
2 |
|||||
ex sin x dx = |
1 |
ex(sin x cos x) + c. |
||||
|
||||||
2 |
||||||
В следующем примере будет получена рекуррентная формула для вычисления интегра-
ла ∫ |
dx |
, которая окажется впоследствии полезной. |
(x2 + 1)n |
Пример. Вычислим интеграл ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
, n 2 N, n > 1, который обозначим Kn. Сразу |
||||||||||||||||||
(x2 + 1)n |
||||||||||||||||||||||
применим формулу (0.2) интегрирования по частям |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
∫ x d ( |
1 |
) = |
|
x |
|
|
|
|||||||||||
Kn = |
|
|
|
|
|
|
|
∫ x ( n)(x2 + 1)−n−12x dx = |
||||||||||||||
|
(x2 + 1)n |
(x2 + 1)n |
(x2 + 1)n |
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
+ 2n ∫ |
|
|
x2 |
|
x |
∫ |
x2 + 1 1 |
|||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
+ 2n |
|
dx = |
||||||||||
|
(x2 + 1)n |
(x2 + 1)n+1 |
(x2 + 1)n |
(x2 + 1)n+1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
+ 2n ∫ |
|
|
2n ∫ |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
(x2 + 1)n |
|
(x2 + 1)n |
(x2 + 1)n+1 |
|
|
|
|||||||||||||||
Получаем, что Kn = |
x |
+ 2nKn |
2nKn+1. Выразим интеграл Kn+1 |
из этого уравне- |
||||||
(x2 + 1)n |
||||||||||
ния |
|
|
1 |
|
|
x |
|
2n 1 |
|
|
|
Kn+1 = |
|
|
+ |
Kn. |
(0.3) |
||||
|
2n (x2 + 1)n |
|
||||||||
|
|
|
|
2n |
|
|||||
Полученная рекуррентная формула (0.3) позволяет свести вычисление интеграла Kn+1 к вычислению интеграла Kn. Зная интеграл K1 = arctg x по этой формуле при n = 1 найдём K2 и т.д.
Пример. Вычислим K3 = ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
, воспользовавшись рекуррентной формулой (0.3). |
|||||||||||||||||||||||
(x2 + 1)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Полагая в этой формуле n = 2, мы получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
K3 = K2+1 = |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
+ |
2 2 1 |
|
K2 |
= |
|
x |
+ |
|
3 |
K2, |
||||||||
2 2 (x2 + 1)2 |
|
2 2 |
4(x2 + 1)2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
K2 = K1+1 = |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
+ |
|
2 1 1 |
K1 |
= |
|
x |
|
+ |
1 |
K1, |
|||||||||
2 1 (x2 + 1)1 |
|
|
|
2(x2 + 1) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
K1 = arctg x + c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставив K1 в K2 и затем K2 в K3, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
K3 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
arctg x + c. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4(x |
2 |
+ 1) |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8(x + 1) |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Литература дополнительно: [?], c.110;[?], c. 180-182; [?], c. 191-195; [?], c.31 - 35.
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для аудиторной работы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1. ∫ (x + 1) cos x dx. |
2. ∫ |
x sin x dx. |
|
|
3. ∫ (6 x) sin x dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||
4. ∫ |
x2 cos x dx. |
5. ∫ |
x sin 4x dx. |
|
|
6. ∫ |
x cos 3x dx. |
|||||||||||||||||||||||||||
7. ∫ (2x + 1) sin |
x |
8. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. ∫ (x2 + 3x) cos 3x dx. |
||||||||||||||||||||
|
dx. |
x cos (2x + φ0) dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. ∫ |
x exdx. |
11. ∫ (1 x2)exdx. |
12. ∫ (2x + 5) e−xdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
13. ∫ |
|
x |
|
|
|
|
14. ∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
15. ∫ |
x3 e−x |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
x2e 2 dx. |
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. ∫ x 4x dx. |
17. ∫ ( |
|
|
|
|
|
|
) |
3x dx. |
18. ∫ (2 3x) 62x dx. |
||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
19. ∫ (x2 + 1) 5−xdx. |
20. ∫ (4x + 1) ln x dx. |
21. ∫ |
x2 ln x dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
px |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
√ |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
22. |
|
ln x |
dx. |
23. |
ln(x + 1 + x2) dx. |
24. |
ln2 x dx. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. ∫ |
arcsin xdx. |
26. ∫ |
arctg x dx. |
|
|
27. ∫ |
x arcsin xdx. |
|||||||||||||||||||||||||||
28. ∫ |
x arctg x dx. |
29. ∫ |
x2 arctg 3x dx. |
30. ∫ |
e−x cos x dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||
31. ∫ |
2x cos x dx. |
32. ∫ |
|
|
|
|
|
33. ∫ |
e√ |
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||
sin(ln x) dx. |
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
34. ∫ |
|
x |
|
|
|
|
35. ∫ |
|
4x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
36. ∫ |
|
ln2 x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dx. |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||
|
sin2 x |
cos2 8x |
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
37. ∫ |
|
ln (ln x) |
38. ∫ |
|
arcsin x |
|
|
39. ∫ |
|
arcsin p |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
p |
|
|
dx. |
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|||||||||||||||||||||||
40. ∫ |
|
sin2 x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4
Найти интегралы.
∫
1. (x 6) sin x dx.
∫
4. x (cos x sin 2x) dx.
∫
7. x−4 lg x dx.
∫
10. |
x 3x dx. |
|||||
∫ |
(x 1)2 ln x dx. |
|||||
13. |
||||||
16. ∫ |
arctg p |
|
|
dx. |
||
x |
||||||
19. ∫ |
|
p |
x3 |
|||
|
|
dx. |
||||
|
1 + x2 |
|||||
Домашнее задание. |
|
|
|
|
|
|
|||
2. ∫ (1 3x) cos x dx. |
3. ∫ |
x2 cos x dx. |
|||||||
5. ∫ |
x4 ln x dx. |
6. ∫ |
|
ln x |
|||||
|
|
|
dx. |
||||||
|
x3 |
||||||||
8. ∫ (2 x) e−3x dx. |
9. ∫ |
x2ex+1 dx. |
|||||||
11. ∫ |
ln(1 + x2) dx. |
12. ∫ |
|
x2 ln(x + 1) dx. |
|||||
14. ∫ |
|
x |
15. ∫ |
|
|
|
x |
||
|
|
dx. |
|
|
|
dx. |
|||
|
cos2 x |
|
sin2 2x |
||||||
17. ∫ |
e2x cos x dx. |
18. ∫ |
|
4x sin x dx. |
|||||
20. ∫ |
x2 cos2 x dx. |
21. ∫ |
|
(arctg x)2 x dx. |
|||||
5