Капельная модель ядра

Представление ядра в виде капли особой ядерной

несжимаемой заряженной жидкости - первая и са-

мая простая модель атомного ядра, сыгравшая ог- ромную роль в истории ядерной физики. Модель

была предложена в 1935 году Н.Бором, и в том же

году немецкий физик К.Вейцзеккер (Weizsäcker C.) на основе этой модели вывел знаменитую форму- лу для энергии связи ядра, носящую его имя. Эта формула дает хорошую точность особенно для тя-

желых ядер. Капельная модель хорошо описывает

процесс деления ядер. Поэтому, несмотря на то, что в настоящее время капельная модель считает-

ся устаревшей, ей до сих пор пользуются для исс-

ледования этого процесса.

Экспериментальные обоснования

капельной модели

1). Радиус ядра пропорционален кубическому корню из массового числа (формула (30.1). Отсюда сле-

дует, что все ядра имеют примерно одинаковую

концентрацию нуклонов:

и одинаковое среднее расстояние между нуклонами:

Все это характерно для жидкости.

2). Потенциал ядерных сил аналогичен потенциалу взаимодействия молекул в жидкости (потенциалу Леннарда-Джонса).

Вполуэмпирическую формулу Вейцзеккера для

энергии связи входит 5 членов:

Рассмотрим каждый из них.

1). Объемная энергия. Энергия, необходимая для того, чтобы испарить каплю жидкости (ее можно назвать энергией связи данной капли), пропорцио- нальна массе капли, или объему капли (т.к. плот- ность всех ядер одинакова), а объем ядра пропор- ционален числу нуклонов в ядре. Таким образом, получаем вид первого члена формулы:

где α1 - коэффициент, определяемый из опыта.

2).Поверхностная энергия. Нуклоны на поверхнос-

ти связаны слабее, чем внутри ядра, т.к. взаимо-

действуют с меньшим числом нуклонов. Число та- ких нуклонов пропорционально площади поверх-

ности ядра, которая равна:

S = 4πR2 = 4π(1.4·A1/3)2 =4π·1.96A2/3

Таким образом, за счет поверхности энергия связи ядра уменьшается на величину, пропорциональ-ную A2/3, т.е. в формулу для энергии связи надо до-бавить (со знаком "минус") слагаемое, которое мо-жно назвать поверхностной энергией:

где α2 - коэффициент, определяемый из опыта.

3). Кулоновская энергия. Каждый протон взаимо-

действует с (Z-1) протоном в ядре, поэтому энер-

гия кулоновского отталкивания, уменьшающая энергию связи ядра, прямо пропорциональна квад-

рату числа протонов и обратно пропорциональна

среднему расстоянию между протонами. Среднее расстояние между протонами пропорционально

радиусу ядра, который, в свою очередь, пропорци-

онален A1/3. Таким образом, в формулу для энер-гии связи надо добавить (со знаком "минус") слага-емое,

где α3 - коэффициент, определяемый из опыта.

4). Энергия симметрии. Согласно принципу Паули, каждый энергетический уровень внутри ядра может быть занят только одной парой нуклонов (протонов

и нейтронов) с противоположными спинами. Поэто-

му, при фиксированном числе нуклонов, максималь- ную энергию связи (без учета кулоновской энергии) имеют те ядра, у которых одинаковое количество протонов и нейтронов. Это наглядно показано на ри- сунке: чтобы извлечь все нуклоны из ядра, для вари-

анта (а) требуется больше энергии, чем для вариан-

та (б). Поэтому в варианте (б) избытку нейтронов энергетически выгодно превратиться в протоны.

Четвертый член в формуле Вейцзеккера, который учитывает уменьшение энергии связи ядра при от- клонении от равенства числа протонов и нейтро-

нов (энергия симметрии) должен быть добавлен в

формулу Вейцзеккера со знаком "минус" в виде:

где α4 - коэффициент, определяемый из опыта. Раз-

ность в числителе в скобках обращается в нуль

при равенстве числа протонов и нейтронов. Эта

разность возведена в квадрат, т.к. энергия связи уменьшается при отклонении равенства в любую

сторону. Но абсолютная величина энергии сим-

метрии пропорциональна первой степени отклоне-

ния, а не квадрату, поэтому в знаменателе стоит

величина А.

5) Эффект спаривания.

Последнее, 5-е слагае-

мое в формуле Вейцзек- кера отражает экспери-

ментальный факт разли-

чия энергий связи четно- четных, нечетно-нечет-

ных ядер и ядер нечет-

ным массовым числом.

Различия небольшие, от 1 до 4 МэВ, это ме- нее 1 процента от полной энергии связи ядра, но на

экспериментальных графиках они видны четко. При-

мер - энергия отделения нейтрона от ядер изотопов церия.

Этот эффект объясняется особым свойством взаи-

модействия нуклонов: возникновением дополни- тельной энергии взаимодействия между двумя ну- клонами одного типа, находящимися на одном и том же энергетическом уровне. Схема этого эф- фекта показана на рисунке.

Пятый член в формуле Вейцзеккера записывают так, чтобы для ядер с нечетным массовым чис-

лом A он был равен нулю. Наилучшее согласие

с результатами экспериментов дает формула:

где α5 - коэффициент, определяемый из опыта, а

величина δ принимает значения: