- •Кафедра телекоммуникационных систем
- •Рекомендуемая литература:
- •MATHCAD
- •Аналитическое дифференцирование (пример)
- •Вычисление производной функции в точке
- •Правильное и неправильное использование оператора дифференцирования
- •Определение функций пользователя через оператор дифференцирования
- •Дифференцирование при помощи
- •1.2. Численное
- •Дифференцирование в точке
- •1.3. Производные высших порядков
- •Замечание
- •1.4. Частные производные
- •Частные производные
- •Частные производные высших порядков
- •2. Интегрирование в MATHCAD
- •Определенный интеграл
- •Примечание
- •2.2. Неопределенный интеграл
- •Интегрирование при помощи меню
- •Интегрирование при помощи меню
- •2.3. Специальные интегралы
- •Интеграл с переменным пределом
- •Кратные интегралы
- •Пример символьного и
Кафедра телекоммуникационных систем
«Основы математического моделирования»
Лекция №14:
Дифференцирование и интегрирование в MATHCAD
Учебные вопросы:
1. Дифференцирование в MATHCAD
2. Интегрирование в MATHCAD.
Рекомендуемая литература:
1.Кирьянов Д. В. Самоучитель Mathcad 11. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 560 с:
2.Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс. – СПб.: Питер. 2005. – 448 с.
3.Гурский Д.А., Турбина Е.С. Вычисления в Mathcad 12. – СПб.: Питер. 2005. – 544 с.
MATHCAD
1.1. Аналитическое дифференцирование
Символьный процессор MathCad распологает широкими возможностями, что позволяет ему с легкостью выполнять рутинные вычисления производных громоздких функций.
В отличие от всех других операций, символьное дифференцирование выполняется успешно для подавляющего большинства аналитически заданных функций.
Для того чтобы аналитически найти производную функции f
(х) в Mathcad:
1. Задайте функцию f (х).
2. Введите оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative (Производная) на панели Calculus (Вычисления) или введите с клавиатуры вопросительный знак <?>.
3. В появившихся местозаполнителях оператора дифференцирования (рис.1) введите функцию, зависящую от аргумента х, т. е. f(х), и имя самого аргумента х.
4. Введите оператор <->> символьного вычисления для получения ответа (листинг 1).
Аналитическое дифференцирование (пример)
Рис. 1. Оператор дифференцирования
Рис.2. График производной функци стинг 1. Пример аналитического дифференцирования
Вычисление производной функции в точке
Для того чтобы рассчитать производную в точке, необходимо предварительно задать значение аргумента в этой точке (листинг 2, вторая строка). Результатом дифференцирования в этом случае будет число — значение производной в этой точке. Если результат удается отыскать аналитически, то он приводится в виде числового выражения, а для того, чтобы получить его в форме числа, достаточно ввести после выданного выражения символ числового равенства <=> (последняя строка листинга 2).
Листинг 2. Аналитическое дифференцирование функции в точке
Правильное и неправильное использование оператора дифференцирования
Листинг 3. Правильное и неправильное использование оператора дифференцирова
Вместо вычисления производной sin(x) при х=2, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось из-за того, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=2, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=2, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен — в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.
ПРИМЕЧАНИЕ
То же самое касается и операции численного дифференцирования, т. е. применения оператора <=> вместо <->> .
Определение функций пользователя через оператор дифференцирования
Оператор дифференцирования, как и любой другой, можно применять для определения собственных функций пользователя. В листинге 4 через производную от f (х) определяется еще одна пользовательская функция f(х), и затем, при помощи оператора символьного вывода, находится ее явный вид (предпоследняя строка листинга) и конкретное значение в точке х=1 (последняя строка).
Листинг 4. Определение функции посредством оператора дифференциров
Дифференцирование при помощи
Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Symbolics / Variable / Differentiate (Символика / Переменная / Дифференцировать) (рис.3). В результате, в следующей строке за выражением появится значение ее производной. Для того чтобы найти вторую производную, повторно примените эту последовательность действий, но уже к полученному результату дифференцирования. Так же находятся и производные высших порядков.
Рис.3. Аналитическое дифференцирование по переменной
1.2. Численное
дифференцирование
Дифференцирование в точке
Для того чтобы численно продифференцировать функцию f (х) в некоторой точке, следует использовать оператор численного вывода (вместо символьного):
1. Определите точку х, в которой будет вычислена производная, например, х:=1.
2. Введите оператор дифференцирования и обычным образом введите имена функции и аргумента в местозаполнители (см. рис. 3.1).
3. Введите оператор = численного вывода результата.
Пример дифференцирования функции f (x)=sin(x) ln(x) приведен в листинге 5.
Листинг 5. Численное дифференцирование функции в точке
Дифференцирование в точке
ВНИМАНИЕ!
Не забывайте предварительно определять точку, в которой |
|
производится численное дифференцирование, как это сделано |
|
во второй строке листинга 3.5. Иначе будет выдано сообщение об |
|
ошибке, показанное на рис. 3:4, гласящее, что переменная или |
|
функция, входящая в выражение, ранее не определена. Между |
|
тем, символьное дифференцирование не требует обязательного |
|
явного задания точки дифференцирования. В этом случае вместо |
|
значения производной (числа или числового выражения) будет |
|
выдана аналитическая |
листинг 1). |
.4. Ошибка в применении оператора дифференцирования (не задан аргум