- •2.3.1 Приклади розв’язання задач ………………………………………… ……16
- •4.1.1 Приклади розв’язання задач ……………………………………… …… …57
- •1. Мета та завдання навчальної дисципліни
- •2.5 Рейтингове оцінювання успішності студентів
- •3. Начально-методичні матеріали
- •1. Загальні вказівки
- •2. Випадкові події
- •2.1 Приклади розв’язання задач
- •2. 2. Задачі
- •2.3.1 Приклади розв’язання задач
- •2.3.2 Задачі
- •3. Випадкові величини
- •3.1 Дискретні випадкові величини
- •3.1.1 Приклади розв’язання задач
- •3.1.2. Задачі
- •3.2. Безперервні випадкові величини
- •3.2.1. Приклади розв’язання задач
- •3.2.2. Задачі
- •3.3. Функція випадкової величини. Характеристичні функції
- •3.3.2 Задачі
- •4. Система випадкових величин
- •4.1.1. Приклади розв’язання задач
- •4.1.2. Задачі
- •4.2. Функціональне перетворення системи випадкових величин.
- •4.2.1 Приклади розв’язання задач
- •Розв’язок. Густина імовірності випадкової крапки (X,y,z) має вигляд
- •4.2.2 Задачі
- •5. Випадкові процеси
- •5.1. Приклади розв’язання задач
- •5.2 Задачі.
2. Випадкові події
Випадковою подією називається усякий факт, який у результаті досліду може відбутися чи не відбутися. Поняття «подія» - первинне, як поняття «точка» або «пряма» у геометрії. Події позначаються великими літерами латинського алфавіту і т.д.
Імовірністю події називається чисельна міра ступеня об'єктивної можливості появи події при багаторазових випробуваннях.
Достовірною подією називається подія , яка у результаті досліду обов'язково відбудеться .
Неможливою подією називається подія , яка в результаті досліду ніколи не відбудеться .
Існує кілька способів задавання імовірності появи події.
Взаємовиключні події називаються елементарними, якщо кожна з них у результаті досліду має один результат. Множина всіх елементарних подій утворить простір елементарних подій 1). Подія є достовірною подією.
Будь-яку подію можна розглядати як множину (підмножину множини ), що складається з елементарних подій: . Тому для подій і можна ввести операції додавання (об'єднання) і множення (переріз):
В операції додавання слово «або» не виключає можливість наявності спільних елементарних подій.
Якщо будь-яка елементарна подія належить і події , то говорять, що подія спричиняє появу події . Інакше кажучи, якщо , то поява події спричиняє появу події .
Доповненням події називається подія . Подія ще має назву протилежної події .
Події і називаються несумісними, якщо . Тоді імовірність появи суми подій і дорівнює сумі імовірності появи цих подій:
.
Якщо вони сумісні, то
.
Імовірність суми довільних подій
.
Події утворюють повну групу несумісних подій, якщо
и.
Нехай простір елементарних подій складається з рівнозначних подій і , тоді з властивостей імовірності виходить, що
.
Цей спосіб визначення імовірності зветься класичним – імовірність події є відношенням випробувань(елементарних подій), що сприяють появі події , до загального числа випробувань. Класичне визначення імовірності виправдане тоді, коли на підставі симетрії, однорідності і т.п. можна говорити про рівнозначні випробування (елементарні події).
У випадку нескінченного числа рівнозначних випробувань використовується геометричне визначення імовірності. Застосовується геометрична імовірність у задачах, де як модельну можна використати задачу випадкового кидання точки в область , а потрібно визначити імовірність улучення її в область . Тоді імовірність події дорівнює
,
де і - міри областей і . Під мірою розуміється довжина, площа, об’єм відповідно в одно-, дво- і тривимірному просторі.
Якщо в результаті однотипних випробувань подія з'явилася разів, то імовірність появи події можна визначити як відносну частоту появи події :
.
Це визначення імовірності має назву статистичної імовірності. Недолік цього визначення полягає в залежності імовірності від кількості випробувань.
Умовна імовірність появи події за умови, що подія відбулася , визначається формулою
.
Ця рівність може бути записана у вигляді «теореми множення»
.
Остання формула узагальнюється
Події і незалежні, якщо
.
Події незалежні (чи незалежні в сукупності), якщо
для індексів, що пробігають набір цілих чисел менших або рівних .