Розв’язок. Густина імовірності випадкової крапки (X,y,z) має вигляд

Три координати прямокутної системи координат у просторі (X,Y,Z) зв'язані зі сферичними координатами співвідношеннями:

Якобіан перетворення від змінних x, y, z до змінних

Таким чином, густина імовірності в новій системі матиме вигляд

Значення випадкової величини розподілені на інтервалі , а випадкової величини θ - на інтервалі (0;π), тому шукана одновимірна густина імовірності

4.27. Знайти густину ймовірності двох незалежних випадкових величин (композицію законів) Z=X+Y, якщо Х – рівномірно розподілена у інтервалі [0;1], а випадкова величина Y має експоненційний розподіл

Розв’язок. Функції і не дорівнюють нулю тільки в окремих інтервалах. Графіки цих функцій мають вигляд (рис.3.13,3.14):

Рисунок 3.13 Рисунок 3.14

Тому спочатку зручно знайти функцію розподілу випадкової величини Z, а потім шляхом диференціювання цієї функції знайти густину імовірності величини Z.

За визначенням маємо

, де D_z – область, в середині якої x+y<z і жодна з функцій , не дорівнює нулю (рис.3.15.)

Рисунок 3.15

На малюнку видно, що вигляд області інтегрування буде різним залежно від того, в якому з двох інтервалів (0;1) або (1; ) ,буде знаходитись значення Z. Проводячи розрахунки інтегралів для цих випадків, одержуємо

Взявши похідну від функції , маємо густину імовірності випадкової величини Z:

4.28. Два резистора з’єднані послідовно. Відомо, що опори резисторів є незалежними випадковими величинами X і Y, які рівномірно розподілені на інтервалі [R₁,R₂]. Знайти густину імовірності загального опору.

Розв’язок. Випадкова величина Z=X+Y. Через те, що густини ймовірностей і відповідно випадкових величин X та Y відрізняються від нуля тільки в окремих інтервалах, то, як і раніше, будемо знаходити функцію розподілу випадкової величини Z:

де

А D_z – область, яка зображена нижче (рис.3.16).

Рисунок 3.16

Розглянемо чотири інтервали, в яких змінюється величина Z: Тоді функція розподілу

Отже, густина імовірності випадкової величини Z

Графік густини імовірності випадкової величини Z має вигляд (рис.3.17)

Рисунок 3.17

4.29 Незалежні випадкові величини Х і У мають нормальний закон розподілу відповідно з параметрами , і , . Знайти густину імовірності випадкової величини Z=X+Y.

Розв’язок. Густини ймовірностей і випадкових величин X i Y не приймають нульові значення в жодній точці числової осі, тому для знаходження композиції законів застосовуємо апарат характеристичних функцій. Спочатку знайдемо характеристичну функцію нормованої нормально розподіленої випадкової величини , густина імовірності якої

.

Відповідно до визначення характеристичної функції

через те, що інтеграл Пуассона

.

Зробимо лінійне перетворення

.

Воно переводить нормовану нормальну величину у нормальну величину , параметри якої

.

Знайдемо характеристичну функції випадкової величини :

Поміняв на , маємо і для випадкової величини характеристичну функцію

Через те, що характеристична функція суми незалежних випадкових величин дорівнює добуткові характеристичних функцій, то

,

де , . Звідси бачимо, що - нормально розподілена випадкова величина з параметрами .