Классификация с помощью рядов Лорана.

z₀ € C – изолир ос (.)

существует окрестность (z-z₀)<R,в которой f(z) определена везде, кроме z₀

существуетf(z) =_-∞^+∞∑ C_n(z-z₀)ⁿ, длялюбогоz: 0<(z-z₀)<R

Теорема. z₀ ∈R – изолирособ(.) f(z)

1. Z₀ – устранимая ос (.), тогда главная часть ряда отсутвует

2. Z₀- полюс, тогда главная часть ряда содержит конеч число членов

3. Z₀-сущ, но ос (.), тогда главн часть ряда содержит ∞ число членов

31. Вычет ф-ции в конечн и беск особ (.) Вычисление вычета во всех типах изолир особ (.)-ек.

Опр: Вычет в конечн ос (.) z₀∈Cназ-ся число res_z0fили resF_{z0 ­}и = 1/2Пе ϕF(z)dz, где γ- любой замкнут контур, леж в облокр-тиf(z)

Теорема. Вычет в изолир особ (.)z₀€C равен C_-1

С_-1 =1/2Пi_γ∫ f(z)dz/(z-z₀)⁰=res_z0F , С_-1 - коэфпри 1/zвразлf(z) в ряд по степеням n

C_k= 1/2Пi_γ∫ f(z)dz/(z-z₀)^k+1

Вычет в конечн из-ых (.)

1. Z₀ ∈ C – устр ос (.), то res_z0f=0

2. Z₀ ∈C – полюс 1-го порядка res_z0f= ( ((z-z₀)f(z))

3. Z₀ ∈C– полюс n-го порядка res_z0f= 1/(n-1)! (d^n-1/dz^n-1 ((z-z₀)ⁿf(z)))

4. Z₀ ∈C существенно ос (.), тогда res_z0f=C_-1 , для любой конечн ос(.)-ки

Опр: z₀=∞ называется из-ой особ (.) f(z), если существует такая окружность z₀=∞, в которой нет конечн особ (.) f(z)

Опр: вычетомz₀=∞ -изолирособ (.)-каназываетсячислоres_∞f=1/2Пi_γϕF(z)dz, гдеγ € ((z)>R), где нет особ (.) и γ обх-ся по часовой стрелке

res_∞f=-C_-1 , где C_-1– коэф при 1/zв разложении f(z)в ряд по степеням n

вычисление в z₀=∞ такое же как и в конечн ос(.), только если z₀=∞ - устранимая ос (.) f, то res_∞f не обязательно =0

32. Основная теорема Коши о вычетах и е следствие – Теорема Коши о полной сумме вычетов в расширенной компланарной пл-ти.

Теорема. Пусть ф-ция F(z) аналитична в обл D за исклкючением числа (.)-ек z₁,…z_n и непрерывна, тогда

)

Теорема. Коши о полной сумме вычетов в C

Пусть F(z) имеет в C конеч число особ (.)-ек z₁,…z_n, ∈ С тогда

Cлед. Если F(z) имеет в C конечное число (.)-ек z₁,…z_n ∈ D

И F(z) непрерывна в D, кроме (.)-ек z₁,…z_n, тогда

) =

Пример.

ос(.): т.е 8 корней. Разложим ряд Лорана F(z) по степеням. т.е. С_-1=0 → =

33.Применение вычетов к вычислению опр и не собствинтеграллов .

­1.₀^2П∫R(cosφ, sinφ)dφ=1/iϕR((z+1/z)/2,(z-1/z)/2i)dz/z =

R-рациональная ф-ция ,z=e^iφ

Cosφ=(e^iφ-e^-iφ)/2=(z+1/z)/2 , sinφ=(e^iφ-e^-iφ)/2i , φ- иззмот 0 до 2П, z- пробегает контур против часовой стрелки, т.е. в положительном направлении

dz=ie^iφdφ, следовательно dφ=dz/iz

=1/i_(z)=1∫R,(z)=dz=1/i 2Пi ∑res_kR,(z)

_γϕ f(z)dz=_z€(-R,R)∫ f(z)dz + _γR∫ f(z)dz = _-R^R∫f(x)dx ->_-∞^+∞∫ f(x)dx= RПi _k=1ⁿ∑ res_znf

Лемма: 1. F(x) аналитична в (I_mz>0) за исключением конечного числа (.)ек

2.f(z) непрерывна вплоть до границы, кроме (.)-екz,..z_n , т.е. +∞ нет особ(.)-ек на действит оси

3._-∞^+∞∫f(x)dxсх-ся, следовательно_-∞^+∞∫ f(x)dx=2П (∑res_zkF)

4. _R->∞lim_γR∫ f(z)dz=0