9.Двойные интегралы.Сведения двойного инт-лак повторному по прямоуг-ку и элемент обл-сти.Сведения тройного инт-ла.
Т1.
Усл-я по
прямоуг-ку :П=
.
1) f(x,y)
инт-ма на П. 2)
dy=F(x)
F(x)
на
,
т.е.
и
удов.рав-во:
След.1:
,
F-инт-ма
и огранич на П;
След.2:
f(x,y)
непрерывна в П ⟹
=
=
Док-во:
еслиF
непрерывна в П:
по
Крит.
По
элемень.областиD
Опр.D
элемент-ой отн-но оси ОУ если
D
=(x,y):x
,y
,
где
– непр-ны на
.
D
элемент-на от-но ОУ ,если
,
x
пересекаетD
по отрезку
.
Т2.1)D элемент-на от-но ОУ. 2) Fинт-ма на Dт.е.
.
3)
x
=
(
).
Док-во:
– непр-ны на
,то
inf
=e,
П=
(x,y)=
=
Пр.:
)
=
=
Сведения
3-го интеграла к повторному по элем.
Обл-ти. Опр.
Область
-ой
отн-но оси Oz,если
Ω
=
x
xoyz
,
D-
измерим компакт в
инт-ма
на
.
Теорема.
1)
оси Oz
2)
3)
D
u
=
D-элем.отн-но
OY
,D
=(x,y):
x
y
Пр.:
I=
=
10. теоремы о замене переменных в двойном интеграле.ф-лы замены переменных при переходе поляр,цилиндр,сферичсист.коорд.
задает
отображение
в D
Пусть верны усл-я на отображ-е (*)
1)отображ-е
(*) взаимно однозначно т.е. каждой(·)
отвечает
(·)D
2)
,
имеют в
непр-ыечастн.
Производ. 1-го порядка
3)якобиан
отображения (*) J=
обл.
T.пусть вып-ныусл-я:
1)обл. иDквадрируемы, т.е. измеримы по Жардануобл.вR.
2)
непрерыв. в
=D
3)отображ-е
(*)обл.
в D
⟹справ-ва
ф-ла зменыперемен.в 2-ом
:
dudv
-модуль
Якобиана
Замена перемен.при переходе к поляр. Сист.коорд.
Замена перемен.в тройном
(*),
T2.
Пусть вып-ныусл-я
Т1
dudvdw
Замена перемен.при переходе к цилиндрич.сист.
К сферич.сисит-мекоорд-т:
Или
:
1
случ:
Прилож.Крат.Интегрлов:
1)площадь
фигуры: m(D)=S
=
2)объем
ф-ры:V(
=
Через
2-ой интеграл: V=
,
,
3) масса пластины/ тела:
Тела:
пл-ть
в(
Пл-ны:M=
4)коорд-ты центра тяжести:
по
оси Ох,
-пл-ть
5)
момент инерции (
Отн-но
координат.плоскостей
Отн-но
начала коорд-т:
Отн-но
коорд.осей:
11.криволин.инт-лы 1 рода, опр.,св-ва,теорема о вычислении с помощью опред-гоинт-ла.
L-кривая
в
,
L-
без самопересеч.
L:
, t
L-кусочно
ладкая: 1)
-непр-но
диф-ые
2)касат.вектор
≠0
в
кривой
L-диф-ая,если
конеч.
Число ℓ(L)=supℓ(L),L-длина
кривой. Если L-
кус-но глад. Кривая без самопересеч..то
она определена и ℓ(L)=
dt
T-разбито
отвечают
(·)-ки
крив.
измерима
m(
мера(длина)
дуге
=
выберем(·)-ки
Опр.
суммойназ-ся
число
m(
Опр.числоIназ-сяпределоминтегр-я
суммы
при
,
если
разб-ияТ;такое
что
пишут
I=
Если
число I
то Fинт-ма
по крив. LuIназ-ют
крив-ым интегралом 1 рода I=
dℓ.
Св-ва:
1)
dℓ=
2)аддитивность:
L=L1
,
L1
≠0(общий
конец) и
dℓ,
то
=
Теорема:
крив.-кусоч.глад.
без самопересеч.и ф-ция
-кусоч.непрерыв.
на
то
и
справ-во рав-во:
=
dt
3)лин-ти)
4)еслиF
на
L,то
5)если
F,g-
кусоч.непрерывны и
g
в
6)
если
то
и
7)Fнепрерывна
на L1⟹
такая
что
;
L(
длина;L(
12.крив-ые интегралы 1 рода.ф-лы вычисления случ.плоск.кривой.приложения,примеры.
L
1)L-задана
пар-ческиL:
t
2) L-задана неявно: L:y=y(x) x
3)
L-задана
в поляр.сист.к-т:L:r=r(
L:
Пример:
L:(
=
x
в
поляр-ую сист. Коорд-т:
L(
(
- y
dL=
d
=
I=
d