2.2 Расчеты на жесткость при изгибе

Расчет на жесткость при изгибе сводится к определению возникающих деформаций прогиба у и угла поворота θ.

Для определения деформаций в балках постоянной жесткости используется метод начальных параметров (метод Коши–Крылова).

Этот метод применим к фрагменту балки, находящемуся в равновесии. Действующие на фрагмент нагрузки направлены таким образом, чтобы изгибающий момент в крайнем левом сечении балки был положительным. Начало координат осей zy помещается в крайнее левое сечение рассматриваемой балки. Определяются координаты точек приложения нагрузок и координату рассматриваемого сечения в указанной системе координат ( рисунок 1.1).

Заданная распределенная нагрузка не достигает крайнего правого сечения балки. Поэтому она продлевается до рассматриваемого сечения ( рисунок 4.1).

Чтобы сохранить первоначальное равновесие, к балке приложим противоположно направленная компенсирующая распределенная нагрузка. Эти добавленные распределенные нагрузки на рисунке обозначены прерывистыми линиями.

Рисунок 1.1 ̶ К определению перемещений

Уравнения метода начальных параметров для определения прогиба и угла поворота сечения крайнего правого сечения балки, изображенной на рисунке 1.1:

(1.8)

(1.9)

где ̶ начальный прогиб;

̶ начальный угол поворота;

z ̶ координата сечения, для которого определяем деформации;

а, b, c, d – координаты точек приложения внешних нагрузок

Начальный прогиб и начальный угол поворота, которые возникают в крайнем левом сечении балки (при z = 0), принято называть начальными параметрами.

Правила расчета деформаций по методу начальных параметров.

1 При расчете деформаций в уравнения метода начальных параметров включают нагрузки, действующие слева от рассматриваемого сечения.

2 При определении знаков для нагрузок, входящих в уравнения, берется правило, принятое для определения знака изгибающего момента (см. рисунок 1.1).

3 Если заданная распределенная нагрузка не достигает сечения, для которого определяются деформации, то ее продлевают до требуемого сечения. Статическое равновесие достигается за счет компенсирующей нагрузки, которую включают в уравнение.

Порядок расчета деформаций по методу начальных параметров.

1 Определить опорные реакции.

2 В крайнее левое сечение балки поместить начало координат осей zy.

3 В указанной системе координат определить координаты точек приложения внешних нагрузок, к которым также относят реакции опор.

4 В зависимости от способа закрепления крайнего левого сечения балки и условий на опорах определить начальные параметры (см. таблицу 1.1).

5 Определить деформации в указанном сечении балки.

Таблица 1.1 – Определение начальных параметров

Способ закрепления балки	Начальные параметры	Искомый начальный параметр	Условия на опорах
		В данном случае определять нет необходимости	Не рассматриваются

Проверка жесткости балки выполняется из условия жесткости

(1.10)

где - максимальный прогиб в опасном сечении балки в долях от жесткости ;

̶ модуль упругости первого рода для материала балки;

̶ осевой момент поперечного сечения балки;

̶ допускаемый прогиб.

Расчет величины допускаемого прогиба производится из выражения

(1.11)

где L – длина пролета (расстояние между опорами).

Исходя из условия жесткости (1.10) можно определить размеры поперечного сечения по расчетному значению осевого момента инерции :

(1.12)

Вопросы к заданию №1

1 Какой вид деформаций называется изгибом?

2 В каком случае имеет место прямой изгиб?

3 Какие внутренние силовые факторы возникают при чистом изгибе?

4 Какие внутренние силовые факторы возникают при поперечном изгибе?

5 Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная ось (линия)?

6 Как расположены нейтральная ось и нейтральная линия?

7 Какие напряжения возникают при чистом изгибе?

8 Какие напряжения возникают при поперечном изгибе?

9 Какая формула используется для определения нормальных напряжений при изгибе?

10 В каких точках по высоте поперечного сечения возникают наибольшие нормальные напряжения?

11 По какому закону изменяются нормальные напряжения по высоте поперечного сечения?

12 Как определяют знак нормальных напряжений при изгибе? Зависит ли знак нормального напряжения от знака координаты рассматриваемой точки?

13 Запишите условие прочности по нормальным напряжениям.

14 Как выбирается опасное сечение для проверки прочности по нормальным напряжениям?

15 Сформулируйте задачи, решаемые с использованием условия прочности по нормальным напряжениям

16 Какая формула используется при определении касательных напряжений при поперечном изгибе?

17 В каких точках по высоте сечения возникают наибольшие касательные напряжения?

18 Какой линией очерчивается эпюра касательных напряжений?

19 Как определяется знак касательного напряжения при поперечном изгибе?

20 Запишите условие прочности по касательным напряжениям.

21 Как выбирается опасное сечение для проверки прочности по нормальным напряжениям?

22 В каких точках, расположенных по высоте поперечного сечения имеет место линейное напряженное состояние при изгибе ?

23 В каких точках по высоте поперечного сечения имеет место линейное напряженное состояние при изгибе ?

24 В каких точках по высоте сечения имеет место чистый сдвиг ?

25 Запишите выражение для определения эквивалентных напряжений по третьей теории прочности.

26 Запишите выражение для определения эквивалентных напряжений по четвертой теории прочности.

27 Для каких точек двутаврового сечения обязательна проверка прочности с использованием теорий прочности? Объясните почему.

28 Что представляет собой упругая линия балки?

29 Какие перемещения возникают при изгибе балки?

30 Что такое прогиб?

31 Как определяется кривизна балки при изгибе?

32 Запишите дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

33 Как определяется жесткость при изгибе?

34 Можно ли использовать метод начальных параметров при определении деформаций для балок переменной жесткости?

35 Как необходимо расположить начало координат произвольных осей при расчете перемещений по методу начальных параметров?

36 Запишите уравнение метода начальных параметров для определения прогиба в произвольном сечении.

37 Запишите уравнение метода начальных параметров для определения угла поворота в произвольном сечении.

38 Какие внешние нагрузки включают в уравнения при расчете перемещений по методу начальных параметров?

39 Что такое начальные параметры?

40 Чему равны начальный прогиб и начальный угол поворота, если на левом конце балки расположена заделка?

41 Чему будет равен начальный прогиб, если левый конец балки шарнирно закреплен? Как в этом случае определить начальный угол поворота?

42 Сформулируйте условие жесткости при изгибе.

2Расчётно-проектировочное задание №4. Расчёт вала при совместном действии изгиба и кручения.

Исходные данные: схема нагружения вала, величина допускаемого напряжения .

Цель:определить диаметр вала по третьей и четвертой теориям прочности.