Геологические основы

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Полученные выражения сравним с функциями, описывающими смещения

UR и Uθ для сферических центров расширения и вращения. Они оказываются существенно сложнее. Вместе с тем, основные особенности волнового движения сохраняются. Колебания в продольной волне происходят вдоль радиуса вектора

R , а в поперечной, что описывается слагаемыми Uϕ и Uθ , ортогональны R и

направлены по касательным к вертикальным большим кругам θ.

Амплитуды колебаний на всех компонентах зависят от направлений θ и ϕ. Так амплитуда продольной волны максимальна при θ=π/2 сила, действующая вдоль осей Х и Y и при θ = 0° для силы направленной вдоль оси Z. Максимумы поперечных составляющих Uθ наблюдаются при углах θ = 0° для сил направленных по осям Х и Y и θ =π/2 при силе направленной по оси Z.

Одновременно с этим амплитуды волн зависят и от азимутального угла ϕ, который характеризует направление силы в источнике относительно лучевой плоскости, в которой расположена ось X или профиль регистрирующих датчиков.

Всамом деле, амплитуды продольной компоненты и поперечной Uθ

максимальны при угле θ = 0°, если сила принадлежит лучевой плоскости и направлена по оси Х. В случае силы направленной по оси Y, амплитуды UR и Uθ

максимальны при ϕ =π/2, т.е. в направлениях перпендикулярных профилю наблюдений. Сила, направленная по оси Z продуцирует в среде симметричное волновое поле, которое не зависит от азимутального угла ϕ. С другой стороны, сравнивая эти выражения, а мы замечаем, что зависимость амплитуд от расстояния R полностью соответствует случаю сферических волн от точечных центров расширения и вращения.

3.2. Двойная сила без момента.

Пусть теперь одна из сосредоточенных сил приложена по оси Х, а другая, равная ей по величине, но противоположного направления в точке оси Х на расстоянии х от первой. При условии дальней зоны, когда х<<λ<<R и

77

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

соблюдается принцип суперпозиции, совместное действие этих сил представляется суммой смещений от каждой из них в отдельности (λ–длина упругой волны, излучаемой каждой из сил). Окончательные формулы для смещений имеют вид:

Пара сил, действующих по оси Х:

противоположных сил называются двойными силами без момента. По аналогии с электродинамикой и акустикой величину F0 z можно назвать дипольным моментом пары сил.

В отличие от полей амплитуд простых направленных сил в этих случаях возникает дополнительная зависимость от отношения плеча диполя ( x, y, z) к

длине излучаемой волны и от направления на точку измерения или от угла θ. При прочих равных условиях для продольной волны от пары сил, действующей по оси

78

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Z, амплитуда пропорциональна cos2θ и положительна при всех θ от 0 до π . Это означает, что смещение всегда происходит от начала координат в сторону возрастающих значений R.

Поле амплитуд поперечных волн содержит ту же зависимость отношения плеча диполя к длине излучаемой поперечной волны, что и продольные волны. Но в этом случае накладываются более существенные ограничения по угловым координатам. Так амплитуды поперечных колебаний пропорциональны множителю sin2θ, это означает, что как в вертикальном (ось Z), так и в горизонтальном (ось Х) направлениях величина Uθ = 0. Она достигает максимума при θ = π/4 (45°).

Зависимость амплитуды поперечных волн от азимутального угла ϕ также определяется множителем sin2ϕ . Причем она равна 0 вдоль осей X и Y и

достигает максимальных значений при ϕ = π/4 ± kπ/2, k = 0,1,2,3. Заметим, что в случае парных сил одновременное изменение направления действия их на взаимообратное, то есть приращение углов θ и ϕ на π, не приводит к перемене полярности поля амплитуд поперечных и продольных волн, поскольку функции направленности L(θ,ϕ) не меняют свои знаки.

Вместе с тем, несмотря на более сложный вид зависимости амплитуд упругих волн от угловых координат, отметим то обстоятельство, что общий вид функций смещения во фронтах продольных и поперечных волн определяется главными членами выражений, включающих те же самые аналитически простые зависимости между параметрами среды и силового возмущения, физически определяющего тип источника. Действительно, для примера сравним между собой функции смещений для простой силы и двух сил без момента направленных по оси Х.

79

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Основное различие заключено в появлении дополнительных сомножителей как в члене, описывающем энергетические особенности возбуждения, так и в функции направленности L(θ,ϕ). В общем виде функции смещения можно записать следующим образом:

То же самое для двойных сил по оси Y и Z:

3.3. Двойные силы с моментом.

Другой тип комбинированного воздействия представляют собой двойные силы с моментом. Это две параллельные друг другу противоположно направленные силы, приложенные в точках на одинаковых расстояниях от начала

80

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

координат. Выбор направления сил относительно осей координат и плеча между ними дает величину момента и его направление, поскольку момент пары сил относительно некоторой оси представляет собой векторное произведение этой силы на кратчайшее расстояние между ними. При этом момент пары сил возбуждает в среде крутильные колебания симметричные относительно оси одновременно перпендикулярной к плоскости действия пары сил и плечу между ними, то есть:

Формулы для функций смещения во фронте упругой волны генерируемой источниками указанного типа имеют вид:

Момент относительно оси Х:

81

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Анализируя приведенные выражения для компонентов функций смещения, отмечаем, что они, как и источники в виде пары сил без момента представляются произведением трех фактически независимых функций.

Первая из них (А,ρ,R,Сp,s) состоит из комбинации характеристик механических сил, развиваемых источником, и упругой среды, в которой производится возмущение ее первоначального состояния. При этом эта функция, в сущности, не что иное, как амплитудный множитель наиболее простого источника типа центра расширения для продольных и центра вращения для поперечных волн. Главное отличие заключено в дополнительном множителе вида r/λp,s, учитывающем меру пространственной распределенности той или иной комбинации пары сил по сравнению с длиной генерируемой продольной или поперечной волн.

Вторая функция –LM(θ,ϕ) определяет ориентацию момента пары сил относительно осей выбранной системы координат. В отличие от других комбинированных источников, функция направленности II рода определяет направления, в которых излучение продольных, либо поперечных волн не происходит совсем. Так для момента относительно оси Х, помимо значений углов

θ = 0 и π/2, где излучение продольных и поперечных волн отсутствует, этот источник не генерирует поперечные волны первого типа, т.е. те, направления колебаний частиц которых перпендикулярны волновому вектору krs1 и лежат в лучевой плоскости.

Источник типа пары сил с моментом относительно оси Y напротив излучает только поперечную волну S1 и не генерирует полностью волну типа S2. При этом направление вертикально вниз, т.е. θ = 0°, характеризуется нулевой интенсивностью излучения и волны S1.

Момент пары сил относительно оси Z имеет наиболее простую волновую картину, поскольку генерирует только поперечные волны типа S2, т.е. те, у которых частицы совершают крутильные колебания в азимутальной плоскости,

82

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

все время оставаясь перпендикулярными, как лучевой плоскости, так и волновому вектору krs2 . Вместе с этим и здесь направление вертикально вниз характеризуется нулевой интенсивностью излучения поперечных волн. Конкретный вид функции направленности зависит от того, как относительно осей координат расположены сосредоточенные силы, составляющие комбинированное воздействие в источнике, или их равнодействующая, если таких сил несколько. Это можно записать следующим образом.

Момент пары сил относительно оси Х:

Момент пары относительно оси Y:

UMRy =URZ 2πλp x LyMR (θ,ϕ)Tp → LyMR (θ,ϕ)= sinθ cosϕ;

Третья функция Tp,s(t-τp,s), как и раньше, представляет собой временную зависимость колебательного процесса в упругой волне и полностью определяется механическим воздействием, размером источника и упругими характеристиками среды Сs, Сp. Кроме того, сюда входят все фазовые особенности излучения волн,

которые учитываются слагаемым τp,s несущим в себе информацию о временных задержках формирования упругих волн на границе очаговой зоны воздействия.

Таким образом, сравнение вида функций смещения по компонентам в упругих волнах генерируемых источниками типа простой сосредоточенной силы и комбинацией этих сил, как с моментом, так и без оного, создающих на осях координат соответствующие дипольные плечи, показывает, что для оценочных расчетов нет необходимости решать математическую задачу в каждом

83

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

конкретном случае. Достаточно знать приближенные решения для самых простых источников, чтобы последующими алгебраическими операциями с достаточной точностью составить общее поле упругих волн, порождаемое составными более сложными воздействиями. При этом, всякий раз за основу берется источник с центрально симметричным распределением нормальных или касательных напряжений, который дает энергетическую оценку амплитуд продольных и поперечных волн. Далее вступает в силу направленность механического воздействия относительно выбранной прямоугольной системы координат. Направленность I рода содержит комбинацию тригонометрических функций представляющих собой проекцию сил, развиваемых тем или иным источником на направление, соединяющее точку расположения регистрирующих приборов с началом координат. Правда несколько особняком стоит источник типа пары сил относительно оси Z. В этом случае построенная нами конструкция содержит множитель sinϕ-1, который при ϕ→0 обращается в бесконечность. Понятно, что в реальных условиях такого не существует и здесь это использовано ради общего принципа построения функций смещения для сложных комбинированных источников. Для удобства пользования приведенными формулами они сведены в таблицу, где указаны все основные особенности того или иного типа источника.

Рис. 13 иллюстрирует поведение функции L(θ,ϕ) для простейшего типа воздействий.

Рис.14. Вид функции направленности вертикально и горизонтально направленной силы в безграничном однородном изотропном пространстве.

84

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

а — Z-сила, сечение в плоскости XOZ; б — X-сила, трехмерная функция для S и Р

– волн. Для построения этой же функции для Y силы достаточно развернуть диаграмму X на 90°.

3.4. Точечные источники на свободной поверхности полупространства.

Фактически все используемые в настоящее время источники поперечных волн размещаются на глубине значительно меньших длины не только первых отраженных, но и прямых волн. Это означает, что поверхность земли практически одновременно участвует в формировании объемных волн наряду с основным воздействием, при этом для оценки степени возбуждения продольных и поперечных волн необходимо учитывать явление конверсии. Если точечный источник расположен на свободной границе упругого полупространства, то учет влияния этой свободной границы приводит к весьма сложным выражениям для горизонтальной силы по оси Х:

Горизонтальная сила вдоль оси X

Вертикальная сила вдоль оси Z:

85

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Основное влияние свободной поверхности заключено в появлении дополнительных направлений в нижнем полупространстве, где функции направленности Lij(θ,ϕ) равны 0. При этом величина угла, в ближней окрестности которого излучение упругих волн, кстати, как продольных, так и поперечных от

постоянными среды. Если в случае безграничного пространства углы θ с нулевой интенсивностью излучения упругих продольных волн для этих же самых источников равны 0 для Х0 и Y0 сил и π/2 для Z0 силы, то, располагая источники на границе полупространства, сюда добавляются углы θ равные π/2 и arcsin1/2+nπ

Для компоненты поперечных колебаний в волне S1, характеризующейся функцией направленности L0j(θ,ϕ), добавляется направление с углом θ = π/4 для сил Х0 и Y0, а для Z0 силы угол θ = π/2 и arcsin 1/γ + nπ (n = 0,1,2 …), при которых интенсивность поперечных колебаний равна 0.

Только для компоненты волнового поля соответствующей волне S2 с

функцией направленности Lϕj(θ,ϕ) интенсивность поперечных колебаний не зависит от того, где располагается источник возбуждения.

Третья функция T(t-τp,s), как и прежде несет временную информацию и не зависит от места расположения источника и определяется внутренними особенностями силового динамического воздействия в очаговой зоне. Для источников, представляющих собой комбинации из простых сосредоточенных направленных сил, таких как: двойные силы без момента свободная поверхность

86