Геологические основы

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

или жидкости. Дифференциальным оператором второго волнового уравнения является rot, представляющий собой обход по поверхности некоторого выделенного объема. Для этого случая направление распространения волны представляет собой векторное произведение нормали к поверхности обхода и самого вектора показывающего обход. Мы знаем, что векторное произведение есть тоже вектор, но ортогональный каждому из своих множителей, то есть, движение волны будет поперечным, как при формировании радиоволн. Таким образом, эти два уравнения, хотя и подобны, но являются математической основой анализа различных по сути упругих волн.

Не будем здесь разбирать процедуру вывода волнового уравнения в теории упругости, напишем сразу, что в векторном обозначении:

где: u – смещение, К – модуль всестороннего сжатия, μ модуль сдвига, ρ - плотность вещества среды. Рассмотрим плоскую волну, движущуюся по направлению единичного вектора m. Это означает, что мы ищем решение

Здесь оператор grad расписан, как производная по направлению m. по единственной координате ξ.

Для изучения продольных волн необходимо выделить компоненту движения вдоль направления mr . Это удобно сделать, умножив полученное уравнение скалярно на вектор m , после чего будем иметь:

37

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

характер, а в плоскости нормальной к вектору m может быть разложена на две составляющие utн и utv, которые по направлению колебаний носят название поперечных волн Sh и Sv соответственно.

Скорости распространения волн различны и равны соответственно:

которое в литературе обозначается через γ. Этот коэффициент, как видно не может быть больше 0,7 или 1/√2. Коэффициенты Пуассона ν и γ связаны между собой соотношением:

38

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Таким образом, зная две скорости распространения в среде продольных и поперечных волн, мы получили новый параметр «коэффициент Пуассона» для характеристики качественного состава среды. Исходя из самых общих соображений и без каких-либо ограничений на свойства твердого тела, за исключением континуальной концепции, нам удалось показать, что в принципе в твердом теле, обладающем сдвиговой упругостью, существуют три независимых друг от друга типа волн. Первый – продольные волны, вектор колебания частиц которых совпадает с направлением распространения. Они обладают самой высокой скоростью распространения из всех возможных и описываются скалярным уравнением в частных производных второго порядка.

Два других типа упругих волн носят название поперечных и отличаются как от продольных волн, так и друг от друга положением и направлением вектора колебаний частиц относительно плоскости распространения. В изотропном пространстве эти волны имеют одну и ту же скорость распространения, которая значительно (не менее чем в 1,4 раза) меньше продольной. Векторы колебаний частиц в этих волнах ортогональны как между собой, так и относительно направления распространения и могут переходить друг в друга только в одном случае – при движении волн строго по вертикали. В этом смысле поперечные волны несут в себе один из самых важных признаков – состояние поляризации волнового движения, которое практически отсутствует у продольных. Значительно меньшая скорость распространения сдвиговых возмущений при одинаковых частотных характеристиках волн сопредельной природы, позволяет получить более высокое разрешение при освещении геологической толщи, что является заманчивой перспективой их использования в целях разведки.

2.4. Поле времен.

Функция координат, которая определяет зависимость времени распространения сейсмических волн разных типов, в том числе и разных классов, от координат источников и приемников по известному распределению упругих

39

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

характеристик среды (скоростей распространения волн) носит название поля времен. Поле времен физически является математическим следствием принципа Ферма или принципа наименьшего времени:

dl

t = ∫L C , где: dl – элементарная длина пути волны в среде по линии L, на

которой С=const, т.е. не меняются упругие характеристики.

Рассмотрим волновое уравнение с переменной дифференцируемой функцией скорости:

2 1 Wtt − W = 0, M = M (x, y, z); C(M )> 0 C (M )

Пусть W = U(M,ω)e-iωt

U + ω(2 )U = 0 - уравнение Гельмгольца при ω2/C2 = k2 = const. Ищем его

C 2 M

решение в виде ряда следующего вида:

Это разложение по размерному параметру 1/ω. При этом вводим условие, что

ω>B, где B – достаточно большая величина. Подставляем выражение для U(M) в

уравнение и приравняем 0 коэффициенты при одинаковых степенях 1/ω. В результате чего получаем следующее уравнение:

уравнения эйконала. Рассмотрим функционал

M0(x0,y0,z0) и M(x,y,z) – точки в пространстве (x,y,z); x = x(ξ); y = y(ξ) и z = z(ξ) –

кривая, соединяющая эти точки, dS – элемент дуги этой кривой. Выпустим из

40

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

точки М0 по всем направлениям экстремали функционала. В окрестности М0 эти

Отсюда следует вывод, что экстремали параллельны τ (градиенту времени).

Возводя в квадрат левую и правую части полученного уравнения, получим не что иное, как уравнение эйконала.

волновым фронтом, а экстремаль функционала Ферма – лучем. Ортогональность вектора τ поверхности τ = const показывает, что лучи перпендикулярны волновым фронтам. Фаза волнового поля постоянна на движущихся поверхностях t – t(M) = C, т.е. при фиксированном t поверхности постоянной фазы представляют собой концентрические сферы. Построим поверхности волновых фронтов в момент времени t. Для этого из точки М0 размещения источника проведем луч, направленный в сторону возрастания τ, до тех пор, пока лучевые функционалы Ферма, вычисленные вдоль каждого луча от точки М0 до точек Мi не дадут одно и то же значение времени t-t0. Геометрическое место точек Мi дает новое положение фронтов волн P и S в момент времени t. Если на среду не наложено никаких других условий, кроме Ci = const = C0, то положение волновых фронтов – это вложенные друг в друга сферы, отстоящие на расстоянии R = Cp(t- t0) – Cs(t – t0). На рис.4 схематически воспроизведено положение нормалей nrp,s к

этим поверхностям, волновых векторов krp,s = 2π , нормали к лучевой плоскостиl ,

λp,s

41

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

содержащей траектории (лучи) движения волн, и векторов U p,s , соответствующих направлению колебаний частиц среды за фронтом продольной и поперечной волн.

Векторы nrp , s , k p,s и lr ортогональны к соответствующим поверхностям и не зависят от времени. Векторы смещения U p,s во фронтах волн в выделенных точках пространства определяются фазой волны, меняя свое направление через t2 = t1 + Tp,s/2, где Tp,s – период колебаний частиц, на обратное. Индексы Р и S показывают принадлежность параметров продольной или поперечной волнам.

Из части I курса, описывающей особенности поляризации упругих волн в изотропной среде, непосредственно следует, что для продольной линейно поляризованной волны векторы U p и k p параллельны между собой и нормали к фронту. При этом они ортогональны нормали к лучевой плоскости и, следовательно, для этого случая справедливы следующие тождества:

[k p nrp ]≡ [U p nrp ]≡ [U p k p ]≡ 0

(krplr)≡ (Urplr)≡ (nrp lr)≡ 0

В случае распространения поперечных волн эти же тождества выглядят иначе:

[krs1nrs ]≡ [krs2nrs ]≡ [Us2l ]≡ 0

(Urs1krs1 )≡ (Urs2krs2 )≡ (Urs1lr)≡ (Urs1Urs2 )≡ (Urs1nrs )≡ (Urs2nrs )≡ 0

42

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Квадратные скобки обозначают векторное, а круглые – скалярное произведения

частиц в поперечной волне, не зависит от положения точки наблюдения М2 в пространстве, поскольку в любом случае ортогональность его к лучевой плоскости сохраняется. Напротив, вектор Us1 меняет свое положение и амплитуду в соответствии с направлением на точку наблюдения М2, вследствие того, что принадлежит лучевой плоскости, одновременно являясь ортогональным к направлению распространения волны. Очевидно, что амплитуда поперечной

43

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

волны S1 (вектор Us1 ) более сложным образом зависит от координат точки наблюдения М2.

2.5. Годографы.

Основным понятием в теории и практике интерпретации является годограф, определяемый в первоначальном своем виде как зависимость времени распространения волны, в данном случае S, от расстояния между источником и приемником. При этом точка размещения источника принимается за начало координат. По современной терминологии годографы с закрепленным источником в методе отраженных волн (МОВ) называются годографами общей точки возбуждения (ОТВ). Основным параметром годографа t(x) с закрепленным источником ОТВ является кажущаяся скорость, характеризующая наклон годографа в заданной точке. По определению Ck = dx/dt = 1/(dt/dx) = 1/τ где τ - градиент времени на годографе. Большая роль Сk определяется тем, что она связана с углом выхода волны на поверхность земли (закон Бенндорфа) cos e= C/Ck = Cτ, где С истинная скорость распространения волны. Часто используют угол между вертикалью и лучом I = 90°-e, тогда закон Бенндорфа записывается в виде: C = Ck/sini = (sin i)/τ.

Для понимания кинематических особенностей поперечных волн по отношению к продольным необходимо рассмотреть в первую очередь вопрос о форме годографов обоих типов сейсмических волн. Временная функция вида t(x,y,z), характеризующая закон изменения времени прихода сейсмической волны определенного типа (P,S,PS,SP) и класса (ОВ,ПВ,РВ,ДВ,ПрВ и т.д.) от координат расположения приемных датчиков (сейсмоприемников) в данной конкретной среде называется годографом сейсмической волны. Годографы представляют собой результат сечения поля времен несколькими плоскостями. Одна из этих плоскостей представлена поверхностью земли (так называемой «дневной» поверхностью). Таким образом, поле времен для сейсмических отраженных и преломленных волн на этой поверхности представляет собой двумерную функцию t(x,y). Если теперь провести плоскость через две линии, одна из которых вертикальна, а другая соединяет точку размещения источника (координаты х0, у0)

44

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

иположение сейсмоприемника (координаты xi, y0), то получим еще одно сечение поля времен, которое представлено одномерной функцией t(x), т.е. некоторой линией. Эти функции имеют названия поверхностного и линейного годографов сейсмической волны. В методе отраженных волн линейные продольные годографы подразделяются по способу проведения измерений (методике) на следующие виды: общей точки возбуждения (ОТВ), общей точки приема (ОТП), общей средней глубинной точки (ОГТ). Годографы типа ОТВ формируются системой наблюдений при фиксированных координатах источника упругих сейсмических волн. Годографы типа ОТП строятся по системам наблюдения с фиксированными координатами сейсмоприемников при переменных координатах источника. Годографы ОГТ представляют собой функцию t = t(x-x0) зависимости времени прихода отраженной волны от величины интервала источник - сейсмоприемник, а при симметричном расположении источника относительно интервала носят название общей средней точки отражения (ОСТ). Используются

игодографы общей глубинной площадки, представляющие собой зависимость времени прихода преломленных волн, в том числе и головных, от интервала источник - сейсмоприемник, который в этом случае выбирается таким, чтобы сейсмическая волна, двигающаяся вдоль глубинной границы, проходила некоторый ее участок несколько раз при возбуждении из нескольких источников, перемещающихся вдоль профиля.

Вспециальных сейсмических исследованиях скважин используют понятие вертикальный годограф, который представляет собой функцию времени, зависящую от координат сейсмоприемника, расположенного на вертикальной линии (оси z). Продольные вертикальные годографы формируются при перемещении сейсмоприемника вдоль вертикали вниз или вверх, а источник (координаты х, у) располагается на расстоянии R от устья скважины (координаты

х0, у0) R = (x − x0 )2 +(y − y0 )2 удовлетворяющему условию: R/H<<1, где: H –

глубина забоя скважины.

Вернемся к параграфу 2.2.(Поля времен) и рассмотрим задачу построения поля времен для источника упругих волн, действующего в безграничной упругой

45

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

среде. Пусть точка излучения волны М0 имеет координаты x0,y0,z0, а точка приема М – x,y,z. Тогда расстояние между ними:

RM2 =M 0 = (x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 . Найдем производные ∂∂xt , ∂∂yt , ∂∂zt и подставим их

в уравнение эйконала. Имеем:

Преобразуя, находим:

при С = const по условию, интегрируя найдем следующее уравнение: t = (R/C) + const. В момент времени t = t0 R=R0, тогда t-t0 = (R-R0)/C или окончательно

t(x, y, z, x0 , y0 , z0 )= (x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 , где: C

R – радиус сферической поверхности, описываемый вектором Cr t с центром в источнике излучения.

Таким образом, мы получим, что поле времен в однородной и изотропной среде представляет собой семейство сфер, радиус которых непрерывно растет пропорционально величине скорости распространения С. Заметим попутно, что при получении этого результата нигде не использован тип волнового движения, поэтому он справедлив и для поперечных сейсмических волн. Посмотрим, что будет при замене типа волны с постоянными текущими координатами и пространственном положении источника.

46