- •Введение
- •1. Матрицы и действия с матрицами
- •2. Определители
- •3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •4. Ранг матрицы
- •5. Системы линейных уравнений. Основные понятия
- •6. Решение линейных систем по формулам Крамера
- •7. Решение систем с помощью обратной матрицы
- •8. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса
- •9. Однородные системы
- •10. Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Индивидуальное задание
- •Приложение
- •Литература
2. Определители
Определителем (детерминантом) n-го порядка называется числовая характеристика квадратной матрицы A размера , вычисляемая по определенному правилу (см., например, ). Обозначается определитель одним из следующих символов: .
Определитель первого порядка – определитель для матрицы размера , состоящей из одного числа, – равен самому числу:
.
Для определителей второго и третьего порядков имеем:
; (1)
(2)
При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться следующей схемой (схема Саррюса):
Рис. 2
Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, соединенных на рисунке одной непрерывной линией. Для определителей порядка выше третьего подобных простых схем не составлено, и для вычисления надо использовать упрощения, основанные на свойствах определителей.
Введем несколько важных понятий.
Минором определителя −го порядка называется определитель, полученный из данного вычеркиванием −ой строки и −го столбца.
В общем случае минором прямоугольной матрицы называется любой определитель, полученный из нее в результате вычеркивания каких-то строк или столбцов. В частности, сам определитель квадратной матрицы тоже является ее минором. Миноры выделены в силу их важности для приложений.
Алгебраическим дополнением к элементу определителя называется выражение
.
Для вычисления определителя −го порядка справедливы рекуррентные формулы через определители ( )−го порядка:
(3)
. (4)
Формулы представляют разложение определителя: (3) − по элементам строки, (4) − по элементам столбца, и, в частности, показывают, что определитель не изменяется при перестановке строк со столбцами, т.е. определители исходной матрицы и транспонированной к ней равны.
Свойства определителей
Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк, справедливы и для столбцов.
Определитель, имеющий нулевую строку равен нулю.
Определитель, у которого две строки равны или пропорциональны, равен нулю.
Общий множитель строки можно выносить за знак определителя.
Перестановка двух строк определителя изменяет знак определителя.
Если строку определителя умножить на постоянное число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.
Сумма произведений элементов строки на соответствующие алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.
Определитель можно представить в виде суммы определителей согласно формуле
.
Определитель .
То есть определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц: .
►Пример 2. Вычислить определители:
1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,
6) , 7) .
Решение.
1) Определитель вычислим по формуле (1)
.
2) Для сравнения определитель вычислим по формулам (2) и (3). По формуле (2): Для вычисления по формуле (3) возьмем вторую строку (выбор строки произволен) и вычислим миноры и алгебраические дополнения к элементам этой строки
.
.
По формуле (3) имеем .
3) В определителе во втором столбце имеется два нуля. Воспользуемся формулой (4) и выберем для разложения второй столбец
.
4) Первый столбец определителя имеет общий множитель. Вынесем этот множитель за знак определителя
.
5) Имеем определитель треугольной матрицы , следовательно, по свойству (8): .
6) Воспользуемся формулой (3), а определители третьего порядка вычислим по схеме Саррюса:
◄7) Определитель имеет пятый порядок. Разложение по элементам строки (столбца) приводит к пяти определителям четвертого порядка, что в свою очередь дает для каждого из них четыре определителя третьего порядка. Многовато! Воспользуемся пятым свойством определителей. Умножим первую строку на минус единицу и прибавим ее ко второй строке. Затем последовательно первую строку умножим на минус два и прибавим к третьей строке; первую строку умножим на минус три и прибавим к четвертой строке: первую строку умножим на минус четыре и прибавим ее к четвертой строке. Замечаем, что первая строка при наших действиях остается неизменной, поэтому все операции можно сделать за один шаг перехода. Договоримся условно записывать сделанные операции над равенством перехода. Получаем
◄
►Пример 3. Решить уравнение .
Решение. По формуле (1) раскроем определитель, а затем решим уравнение
. ◄
►Пример 4. Найти определитель n-го порядка .
Решение.
Все столбцы, начиная со второго, прибавим к первому столбцу, вынесем общий множитель из вновь полученного первого столбца, а затем первую строку вычтем из всех остальных
◄
Упражнения.
1. Вычислить определители:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ;
з) ; и) ; к) .
Ответы:
а) -12; б) 29; в) 87; г) ; д) 0; е) 48; ж) 160; з) ; и) 394; к) 665.
2. Найти значение , при котором . Ответ: -3.
3. Найти положительное значение , если . Ответ: 2.
4. Доказать:
а) ; б) ;
в) ; г) .
д) .
6. Вычислить определители:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Ответы:
а) -1487600; б) -29 400 000; в) ; г) .
7. Найти сумму всех алгебраических дополнений определителя . Ответ: .
8. Известно, что числа 20604, 53227, 25755, 20927, 289 делятся на 17. Не вычисляя определитель , показать, что он тоже делится на 17.