Введение

Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами линейной алгебры и содержит разделы, посвященные теории матриц и теории систем линейных уравнений. Оно предназначено студентам 1-го курса и может быть полезно всем, кого интересует простое и компактное изложение материала.

В каждом параграфе содержатся основы теории, подробно разобраны примеры и приведены упражнения для самостоятельного решения. В конце пособия предлагаются типовые индивидуальные задания.

Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях и формулировках утверждений выделены курсивом.

С развитием компьютерной техники появилась возможность решать многие задачи линейной алгебры, не очень доступные в недалеком прошлом ввиду сложности вычислений. Как известно, для решения математических задач существует много различных программных пакетов. Универсальным пакетом является пакет MATHEMATICA. Примеры вычислений в пакете MATHEMATICA в приложении. Освоив предложенные в пособии методы вручную, рекомендуем проделать вычисления с использованием компьютера.

Авторы выражают искреннюю признательность О. М. Дмитриевой и Г. М.Тащияну за неоднократные полезные обсуждения.

1. Матрицы и действия с матрицами

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы¹ и обозначаются строчными буквами с двойным индексом: , где первый индекс соответствует номеру строки, а второй индекс – номеру столбца. Матрица размера может быть записана в одном из видов:

либо

При необходимости указать размер матрицы будем использовать запись .

Элементы матрицы, имеющие одинаковые индексы, называются диагональными. Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули, называется треугольной.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца – матрицей-столбцом. Обе такие матрицы называют также вектором.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается .

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк (столбцов) порядком матрицы.

Квадратная матрица, у которой только диагональные элементы могут быть не равны нулю, называется диагональной матрицей

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается .

В математике матрица рассматривается как самостоятельный математический объект, с которым можно производить различные действия.

1. Транспонирование матрицы. Перестановка в матрице строк со столбцами называется транспонированием матрицы. Матрица, полученная таким образом из исходной называется транспонированной к исходной и обозначается :

.

2. Сравнение матриц. Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер и соответствующие элементы равны:

.

3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число все элементы матрицы:

.

4. Сложение (вычитание) матриц. Сложение (вычитание) матриц проводится поэлементно и возможно для матриц одного размера:

.

Для перечисленных выше действий справедливы следующие свойства:

5. Умножение матриц. Матрицы перемножаются по правилу «строка на столбец»:

Рис.1

А именно, осуществляется операция, которая называется сумма произведений: элементы, соединенные одной линией перемножаются, а затем результаты умножения складываются. То есть, чтобы получить элемент матрицы надо каждый элемент −ой строки матрицы умножить на соответствующий по порядку элемент −го столбца и результаты сложить. При записи знак умножения может быть опущен: .

Умножение матриц возможно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Результат умножения – матрица, имеющая число строк, совпадающее с числом строк первой матрицы, и число столбцов равное числу столбцов второй матрицы. При умножении матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец. При умножении матрицы на транспонированную к ней получаем квадратную матрицу.

Умножение матриц не коммутативно. Более того, при перестановке (коммутации) матриц подчас умножение не возможно. Те квадратные матрицы, для которых выполнено свойство , называются коммутативными.

Роль единицы при умножении матриц играет единичная матрица . Для матриц выполнены ассоциативный и дистрибутивный законы умножения, если не нарушается порядок множителей и умножение возможно. То есть, верны следующие свойства умножения:

Отметим также свойство умножения для транспонированных матриц

.

6. Возведение в степень. Для квадратных матриц возможно возведение в натуральную степень, которое проводится как последовательное умножение. При этом очевидно, справедлив коммутативный закон умножения

.

►Пример 1.

а) Даны матрицы:

, , .

Выполнить указанные действия:

1) указать размер матрицы ,

2) записать элемент матрицы ,

3) найти: а) транспонированную матрицу , б) матрицу ,

4) вычислить ,

5) вычислить , ( - единичная матрица).

Решение.

1) Матрица имеет 3 строки и 4 столбца, следовательно, ее размер .

2) Элемент находится во второй строке и первом столбце матрицы : .

3) Транспонированная матрица получается из исходной при замене строк на столбцы, а для записи матрицы необходимо все элементы матрицы умножить на три:

а) , б) .

4) Матрицы и имеют одинаковый размер, следовательно, их можно складывать

.

5) Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Следовательно, возможно умножение , При этом получаем матрицу , имеющую три строки и три столбца:

Аналогично возможно и умножение , получаем матрицу .

Так как складывать можно только матрицы одного размера, для нахождения матрицы необходимо взять единичную матрицу второго порядка:

. ◄

Упражнения.

1. Даны матрицы:

Выполнить действия:

а) , б) , в) , г) , д) .

Ответы:

а) , б) , в) , г) ,

д) .

2. Вычислить , если удовлетворяют условию

. Ответ: .

3. Найти , если . Ответ: .

4. Вычислить . Ответ: .