Работа консервативной силы:
dA Fdr dU
Здесь: |
F Fxi Fy j Fzk, |
|
|
|
dr dx i dy j dz k. |
Тогда: |
|
|
|
Fdr |
Fxdx Fy dy Fz dz dU. |
Если |
dy dz 0, то Fx x U. |
Окончательно: |
Fx |
U |
. |
|
|||
|
|
x |
|
По аналогии для двух остальных проекций силы F получаем:
Fy |
U , |
Fz |
U |
|
y |
|
z |
Связь консервативной силы с потенциальной энергией принимает вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F |
F i |
F j F k |
|
U i |
U j |
U k |
||||||||||
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В правой части этого выражения стоит оператор набла, |
||||||||||||||||
или градиент (понятие векторного анализа): |
|
|
||||||||||||||
|
|
grad |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
j |
|
|
k |
|
|
|
|||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z |
|
|
|
||||
Тогда окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
F gradU |
|
или |
|
F U |
|
|
||||||||
Закон сохранения механической энергии 
Закон сохранения энергии – результат обобщения
многих экспериментальных данных.
Идея этого закона принадлежит Ломоносову, изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана Ю. Майером , Г. Гельмгольцем и Дж Джоулем.
Получим закон сохранения энергии, рассмотрев уравнения движения системы материальных точек.
Джоуль Джеймс Прескотт
(1818 –1889) – английский физик, один из
первооткрывателей закона сохранения энергии.
Первые уроки по физике ему давал Дж. Дальтон, под влиянием которого Джоуль начал свои эксперименты. Работы посвящены механике, электромагнетизму, кинетической теории газов.
Рассмотрим систему материальных точек с массами m1, m2 ,...,mn , которые движутся со скоростями:
1, 2 ,..., n . Для каждой из этих точек запишем
второй закон Ньютона:
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
F' |
F |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 dt |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
dv2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F'2 F2 f |
|
|
Или: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
m2 dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m dvi |
F' |
F f |
||||||||||||||
……………………………..…… |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i dt |
|
i |
|
i i |
||||||||||||||||||
m |
vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
F' |
|
|
F |
f |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
vi |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
F' |
|
F |
f |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i |
dt |
i |
|
i |
i |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F 'i - равнодействующая внутренних консервативных |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
сил, действующих на каждую из этих точек; |
||||||||||||
|
|
Fi |
|
|
-равнодействующая внешних сил, которые также |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
будем считать консервативными; |
||||||||||||
|
|
|
fi |
|
-равнодействующие внешних |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
неконсервативных сил, которые действуют |
||||||||||||
также на каждую из материальных точек Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные
Умножим каждое из уравнений движения скалярно на соответствующее перемещение и, снова учтем, что
dri vidt В результате получим:
m1(v1dv1) (F'1 F1)d r1 f1d r1 m2 (v2dv2 ) (F'2 F2 )d r2 f2d r2
………………………………………….
mn (vndvn ) (F'n Fn )drn fndrn
или:
mi (vi dvi ) (F'i Fi )d ri fi d ri
Сложив эти уравнения, получим:
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
||||||||||||||
mi ( |
|
|
d |
|
|
) ( |
|
|
|
|
)d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|||||||
vi |
vi |
F'i |
Fi |
ri |
fi |
ri |
|||||||||||||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
||||||||||||||
Первое слагаемое левой части: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 / 2) dK |
|||||||||||||||||
mi ( |
|
d |
|
) d(mi |
|
|
|||||||||||||||||||||
vi |
vi |
vi |
|
||||||||||||||||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где dK |
|
- приращение кинетической энергии |
|||||||||||||||||||||||||
системы. |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Второе слагаемое левой части: |
(F'i Fi )d ri |
||||||||||||||||||||||||||
i 1
элементарная работа внутренних и внешних консерва- тивных сил, взятая со знаком минус, т.е. элементарное приращение потенциальной энергии dU системы.
n
Правая часть равенства fi dri дает работу
i 1
внешних неконсервативных сил, действующих на систему.
Таким образом, имеем в левой части:
dA d(K U )
При переходе системы из состояния 1 в какое-либо
состояние 2: 2 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
d(K U ) |
fi dri |
A12 |
||
1 |
1 |
i 1 |
|
|
т.е. изменение полной механической энергии системы
при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами.
Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то:
d (K U ) 0
откуда: K U E const
т.е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Полученное выражение представляет собой
закон сохранения механической энергии:
В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.