Нерелятивистский закон сложения скоростей: V V V0
V 2 V 2 V02 2V V0
mV |
2 |
|
mV |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
mV0 |
|
||
2 |
|
2 |
|
2 |
mV V0 |
||
|
|
|
|
|
|||
K K ' |
mV 2 |
||||||
|
|
0 p'V |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергия системы n материальных точек:
n |
n |
n |
miV02 |
n |
|
Eкi |
Eкi |
|
2 |
p'i V0 |
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
|
Энергия системы n материальных точек: |
|||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
miV02 |
n |
||
Eкi |
|
|
|
|
|
p'i V0 |
|||||
Eкi |
2 |
||||||||||
i 1 |
|
n |
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
Здесь |
Eki K |
- кинетическая энергия в системе S |
|||||||||
|
|
in 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eki |
K |
- кинетическая энергия в системе S |
||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
2 |
n |
|
|
|
2 |
|
n |
miV0 |
V0 |
mi |
M V0 , |
где |
M mi . |
||||||
i 1 |
|
2 |
|
2 |
i 1 |
|
|
2 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P iV0 |
V0 Pi |
V0 MVc |
M V0Vc |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K K |
|
1 |
2 |
|
Теорема Кёнига |
2 |
MV0 |
M V0Vc . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В системе центра масс: Vc 0
К К MV2 02
Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.
Консервативные и неконсервативные
силы.
Консервативными называются силы, работа которых
не зависит от того, по какой траектории произошло перемещение тела, а зависит только от его начального и конечного положений. Примеры таких сил : упругие силы и гравитационные силы. Работа упругих сил была рассмотрена ранее.
Определим работу, совершаемую силой тяготения
при перемещении ею материальной точки массой m . На расстоянии R на данное тело действует сила
F G Mm
R2
При перемещении этого тела на расстояние |
dR |
|
|
||||||||
совершается работа |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA G |
mM |
dR |
О |
|
|
F |
m |
||||
|
|
dR |
|
|
|
|
|||||
R |
2 |
Земля |
|
R |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(направление силы и |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
перемещения совпадает) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если тело перемещать с расстояния R1 доR2 , то работа
|
R2 |
R2 |
mM |
|
GM |
|
GM |
|
A12 |
|
|
|
|
|
|||
dA G |
dR m |
R |
R |
|
||||
|
|
|
R2 |
|
|
|||
|
R1 |
R1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
Из полученного выражения видно, что работа зависит
только от начального и конечного положения тела.
Сила тяготения является центральной силой. Сила
называется центральной, если она направлена к одной и той же точке (или от нее) и зависит от расстояния до этой точки, которая называется силовым центром.
(Центральной силой является также сила Кулона). Покажем, что работа центральной силы зависит только от начального и конечного положения материальной точки.
|
|
2 |
Работа центральной силы F : |
|||
|
F |
|
||||
|
|
dA FdS FdS cos FdSr |
||||
dr |
dS |
|
||||
r2 |
Из рисунка видно, что |
|||||
|
||||||
|
r |
dSr |
dS cos dr, |
|||
1 |
|
|||||
|
r1 |
|
Поэтому: dA F (r) dr |
|||
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
Окончательно работа: |
A1 2 F |
F r dr. |
|||
|
|
|
|
|
r1 |
|
Так как по определению величина., центральной силы
есть функция только расстояния r, то значение определённого интеграла будет зависеть только от
величин r1 и r2, и не будет зависеть от формы
траектории.
Можно дать иное определение консервативной силы.
Рассмотрим перемещение частицы из положения 1 в положение 3 под действием консервативной силы F
2 |
Работа, совершаемая при этом |
силой F , не зависит от |
|
1 |
траектории, то есть: |
|
3 |
4 |
A123 F A143 F . |
Тогда работа по замкнутой траектории:
A0 (F ) A12341 (F ) A123 F A341 F .
Но так как:
A341 F A143 F A123 F .
Окончательно:
A0 F A123 F A341 F A123 F A123 F 0.
Отсюда следует еще одно определение консервативных сил: работа консервативных сил по
любой замкнутой траектории равна нулю.
Математическая запись этого утверждения может быть представлена, исходя из определения работы, следующим образом:
Fdr A12 A21 A12 A12 0
L
Интеграл по замкнутому контуру L : Fdr
называется циркуляцией вектора F . L
Введение нового математического понятия векторного анализа позволяет дать еще одно определение консервативной силы:
Если циркуляция какого-либо вектора силы равна нулю,
то эта сила консервативна. |
|
|
Fdr 0 |
|
L |
Неконсервативные силы. К ним относятся прежде
всего, так называемые диссипативные силы :трение, сила вязкого сопротивления. Эти силы зависят не только от
конфигурации тел, но и от относительных скоростей движения.
Сила трения направлена против скорости тела, поэтому
работа сил трения отрицательна. Отсюда определение:
Диссипативными называются такие силы, полная работа которых при любых движениях в замкнутой системе всегда отрицательна.
Рассмотрим примеры диссипативных сил: сухое
трение и вязкое трение.
|
|
|
Сухое трение |
|
|
|
|
|
|
F = - FТР |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
TPп |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
Так как работа внешней силы : |
||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA Fdr Fds 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то работа силы трения: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA FТРdr Fds 0 |
||
|
|
|
|
|
FTP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость силы трения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F0 |
|
|
скольжения от скорости движения |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тела показана на рисунке, ее |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
модуль определяется выражением: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
F0 Fтрск N |
|||
|
|
|
|
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Вязкое трение |
|
Сила Стокса: |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
FСт 6 rv |
|
|
FСт |
|
FApx |
|
Здесь |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
- коэффициент вязкости, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- радиус сферического |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v |
|
|||||||
|
|
тела |
||||||
|
|
|
|
|
y |
v |
- скорость тела |
|
|
|
|
|
|
mg |
Сила Стокса направлена противоположно |
||
перемещению тела, поэтому ее работа отрицательна:
dA FСтdr FСтds 0