Еще один вид неконсервативных сил гироскопические силы.
Эти силы зависят от скорости материальной точки и
перпендикулярны к этой скорости. Работа таких сил равна нулю. Примером таких сил является сила
Лоренца:
FЛ q V B |
Здесь |
q - заряд частицы, |
|
V - скорость ее движения |
|
|
|
B - индукция магнитного |
поля, в котором эта частица движется.
По определению, элементарная работа силы Лоренца:
dA FЛ dS FЛ dS сos 0 |
|
||||
cos 0 |
|
|
FЛ |
V |
|
2 |
|||||
так как |
, поскольку |
( |
) |
||
Примером таких сил в механике является сила Кориолиса:
|
|
|
Здесь m |
- |
масса частицы |
||
|
FК 2m V |
V |
- |
скорость ее движения |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
угловая скорость |
|
вращения неинерциальной системы отсчета.
Аналогично предыдущему рассмотрению:
dA FК dS FК dS сos 0
FК V
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия –механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Если на частицу действует консервативная сила F , то каждой точке поля сил можно сопоставить значение некоторой функции координат , U Епот которая называется потенциальной энергией частицы в поле данной консервативной силы.
Зная потенциальную энергию, можно вычислить работу, совершаемую силами поля над телом с массойm
при перемещении его из положения 1 в положение 2.
Эта работа может быть выражена через разность значений потенциальной энергии в указанных точках:
2
A Fdr U1 U2 (U2 U1) U
1
Полученное выражение означает, что работа
консервативных сил равна убыли потенциальной энергии.
Кроме того из нее следует, что потенциальная энергия
определена с точностью до определенной постоянной.
Так как определена только ее разность, то к выражениюU можно добавить или вычесть любую постоянную
величину. При этомUвеличина , конечно, будет разной, но работа консервативной силы останется одной и той же. Поэтому в каждом конкретном случае договариваются о
начале отсчета потенциальной энергии: в какой именно |
|
U 0 |
из соображения |
точке следует считать |
|
удобства.
Конкретный вид функцииU зависит от характера
силового поля.
Рассмотрим примеры расчета потенциальной энергии.
Пример 1. Потенциальная энергия в однородном поле
сил |
тяжести. Нулевое значение U удобно выбрать |
||||||||
1 |
|
|
|
при h =0. Тогда потенциальная энергия |
|||||
|
|
|
|||||||
mg |
|
h |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
в точке 1 вычисляется по формуле: |
||||||
|
|
|
|
|
U = 0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 U1 A1 0 mg mgdr mgdh mgh |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная
энергия может быть отрицательной.
|
|
0 |
|
U = 0 |
На приведенном рисунке U=0 на высоте |
|
H, H - h |
|
|
|
U1 A1 0 mg mg H h |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
H |
|
поэтому потенциальная энергия в точке 1 |
|
h |
|
|
||||
mg |
|
|
|
|
отрицательна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Потенциальная энергия гравитационного
притяжения.
|
M |
m |
О |
F |
|
Земля |
dR |
|
R |
|
|
|
|
Работа, совершаемая силой тяготения по перемещению тела массой m из точки с радиусом R1
до точки с радиусомR была
2
найдена ранее, она равна:
A12 |
R2 |
R2 |
mM |
|
GM |
|
GM |
|
|
|
|
|
|
||||
dA G |
dR m |
R |
R |
|
||||
|
|
|
R2 |
|
|
|||
|
R1 |
R1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
Нулевое значение потенциальной энергии выбирается при
R . Тогда работа силы тяготения при перемещении тела из точки с радиусомR1 R на бесконечность равна:
|
|
|
|
|
|
A dA G mM dR G mM |
|||||
10 |
|
|
R |
2 |
R |
|
|
|
|||
|
R |
R |
|
||
Но т.к. работа и потенциальная энергия связаны формулой:
2
A12 Fdr U1 U2 (U2 U1) U
1
Отсюда находим потенциальную энергию гравитационного притяжения:
U (R) G mMR
Пример 3. Потенциальная энергия упругодеформиро-
ванного тела.
Рассмотрим в качестве упругодеформированного тела пружину с коэффициентом жесткости k ; положение нерастянутого края пружины обозначим x = 0, тогда при удлинении его координата будет равна x. Соответствующее значение упругой силы:
|
|
|
FУПР kx |
|
|
Нулевое значение |
|||
|
потенциальной энергии |
|||
|
U=0 выбираем при x = 0. |
|||
|
Тогда потенциальная |
|||
|
энергия упругой |
|||
|
деформации: |
|||
U x A10 |
|
0 |
kxdx |
kx2 |
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
График зависимости U от показан на рисунке
В заключение еще раз: Потенциальная энергия системы
является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.
Связь между потенциальной энергией и силой
Пространство, в котором действуют потенциальные (консервативные) силы, называется потенциальным полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы F , действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии U . Значит между F и U должна быть связь.
Работа консервативной силы:
dA Fdr dU