Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3859

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
681.04 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»

МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА (Геометрия)

методические указания к практическим занятиям для студентов по направлениям подготовки 05.03.06 – Экология и природопользование, 35.03.01 – Лесное дело, 35.03.10 - Ландшафтная архитектура

Воронеж 2016

УДК 512.8, 517 519.21

Сапронов, И. В. Математика. Высшая математика. Математика (Геометрия) [Электронный ресурс]: методические указания к практическим занятиям для студентов по направлениям подготовки 05.03.06 – Экология и природопользование, 35.03.01 – Лесное дело, 35.03.10 – Ландшафтная архитектура / И. В. Сапронов, А. И. Фурменко ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 36 с.

Печатается по решению учебно-методического совета

ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 5 от 22 апреля 2016 г.)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский

ОГЛАВЛЕНИЕ

Элементы линейной алгебры………………………………………………4

Координаты на плоскости. Уравнения прямых линий и кривых второго порядка……………………………………………………………..7

Решение типовых задач на уравнения прямых на плоскости…………..11

Комплексные числа………………………………………………………..13

Производная. Основные понятия…………………………………………14

Решение типовых задач на нахождение производной………………..…23

Интеграл……………………………………………………………………24

Решение типовых задач на нахождение неопределенных интегралов…28

Решение типовой задачи на нахождение площади фигуры с помощью определенных интегралов…………………………………...30

Дифференциальные уравнения…………………………………………...31

Решение типовых задач на нахождение решений дифференциальных уравнений…………………………………………………………………...33

Библиографический список ……………………………………………… 35

 

 

 

 

4

 

 

 

 

Элементы линейной алгебры

 

 

 

 

Укажите номера правильных ответов:

1. Элементы главной диагонали матрицы:

 

2

3

7

 

 

 

 

 

 

A 4

1

2

 

 

 

 

 

 

5

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 2, 1, 2;

 

3) 4, 1, 2;

2) 5, 1, 7;

 

4) 3, 1, 2.

2. Элементы побочной диагонали матрицы:

 

2

3

7

 

 

 

 

 

 

A 4

1

2

 

 

 

 

 

 

5

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 2, 1, 2;

 

3) 4, 1, 2;

2) 5, 1, 7;

 

4) 3, 1, 2.

 

 

3

6

 

 

 

3

 

3. Определитель

1

1

4

равен:

 

 

1

1

1

 

1)

6;

 

3) 0;

 

 

 

 

 

2)

-3;

 

4) 3.

 

 

5

3 1 3

4. Определитель 3 1 3 равен:

5 2 6

1) 15;

 

 

 

 

 

3) 12;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) 0;

 

 

 

 

 

4) 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

3

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

5. Сумма матриц

 

 

 

и

 

B

 

 

 

 

это матрица:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

6

7

 

 

 

7

4

 

 

 

 

 

 

 

5

 

8

 

 

 

 

 

8 12

 

1)

 

 

 

,

2)

 

 

 

,

 

 

3)

 

 

 

 

,

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

5 0

 

 

6

 

 

5

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

6. Произведение матрицы

 

 

 

 

 

 

 

на число 2

это матрица вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

 

 

4 6

 

 

 

 

4

 

6

 

 

 

4

 

3

 

 

1)

 

 

 

,

2)

 

 

 

 

,

3)

 

 

 

 

 

,

4)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5 1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

5

 

 

 

7. Формулы для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными если определитель системы отличен от нуля имеют вид:

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

1

;

x2

 

2

; ……… , xn

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это формулы называются формулами:

 

 

 

 

1) Гаусса;

 

2) Крамера;

3) Лейбница;

 

 

4) Ньютона - Лейбница.

8. Квадратная матрица имеет вид:

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

3

1

 

1

 

0

 

1

1 0

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

,

2)

 

, 3)

 

 

 

 

 

, 4)

 

 

 

5

6

 

 

 

 

4

4

 

 

0

 

1

 

 

0

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

9. Укажите матрицы, которые не являются единичными:

 

0

0

1

 

 

1 1 1

 

1

0

0

 

 

1

0

1

1)

 

0

1

0

 

,

2)

 

1

 

, 3)

 

0

1

0

 

,

4)

 

0

1

0

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

 

1

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

10. Квадратная матрица третьего порядка имеет вид:

 

 

2

4

 

 

 

 

3

1

 

2

 

 

 

 

1

0

 

 

1

1 0

 

 

 

1)

 

3

1

 

 

 

 

0

2 3

 

, 3)

, 4)

 

 

 

 

,

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

2

 

 

 

 

4

4

0

 

 

 

 

0

1

 

 

0

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определитель матрицы

A

11

12

 

вычисляется по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

a11 a22 - a21a12 ;

 

 

2) a11a22

+ a21 a22 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

a11 a22 - a12 a21;

 

 

4) a22 a11

+ a21a12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Найдите определители равные нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

3

 

2

2

 

 

 

 

3

2

 

3

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

1 4 1

, 2)

 

0 3 2

,

3)

3 2 3

, 4)

0 1 0

 

 

 

 

1

5

 

1

 

 

 

 

0

 

0

3

 

 

 

 

1

4

 

5

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Диагональные матрицы имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

3

 

0

 

0

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

0 2 0

, 2)

0 3 0

,

 

3)

0 2 0

,

 

4)

0 1 0

 

 

 

 

0 0 3

 

 

0 0 3

 

 

 

3 0 0

 

 

 

 

0 0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Определители, которые равны произведению элементов главной диагонали:

7

 

0

0

 

3

2

2

 

3

2

2

 

3

2

2

 

 

3

 

 

 

 

1)

2

3

0

, 2)

0

3

2

, 3)

2

3

2

, 4)

0

3

0

 

 

2

2

3

 

0

0

3

 

2

2

3

 

2

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Координаты на плоскости. Уравнения прямых линий и кривых второго порядка

Укажите номера правильных ответов.

15. Точки имеют координаты А(x1;y1), B(x2;y2). Координаты вектора AB :

1.(x1-x2; y1-y2);

2.(x2-x1; y2-y1);

3.(x1+x2; y1+y2);

4.(x1; y2).

16.Точки имеют координаты А(x1;y1), B(x2;y2). Координаты середины

отрезка АВ находятся по формулам:

1.

x =

 

x2 x1

; y =

 

y2 y1

 

;

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

x = x2-x1; y= y2-y1;

 

 

 

3 x =

x2 x1

; y =

y2 y1

;

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4.x = x1+x2; y = y1+y2.

17.Формула расстояния между двумя точками:

1.d= (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ;

8

2. d= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ;

3. d= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 .

18. На плоскости уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:

1. А(x-x0)+B(y-y0)=0;

2.

x x0

 

y y0

;

m

n

 

 

 

3.

y= kx + b;

 

4.

Ax + By + C=0.

19. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

1.

 

x x0

 

y y0

;

 

m

n

 

 

 

 

2.

y = kx + b;

 

3.

y-y0=k(x-x0);

 

4.

Ax + By + C=0.

20. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(x0;y0)

перпендикулярно данному вектору (A, B) имеет вид:

1.y= kx + b;

2.Ax + By + C=0;

3.А(x-x0)+B(y-y0)=0;

4.

x x1

 

y y1

.

 

x

 

 

x

 

y

2

y

 

2

1

 

 

1

 

21. Уравнение прямой , проходящей через данную точку с данным углом коэффициента k имеет вид:

1. y-y0=k(x-x0);

2. x x0 y y0 ; m n

3.Ax + By + C=0;

4.А(x-x0)+B(y-y0)=0.

9

22. Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

1.

 

x x0

 

 

y y0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

n

 

 

 

2.

y-y0=k(x-x0);

 

 

3.

 

 

x x1

 

 

y y1

;

 

 

x

x

 

y

2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

1

 

4.Ax + By + C=0.

23.

Это уравнение

(x-a)2+(y-b)2=r2.:

1.

окружности;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

эллипса;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

гиперболы;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

параболы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

Это уравнение

 

x2

 

 

y2

 

1 .

 

a2

b2

 

 

 

 

 

1.

окружности;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

эллипса;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

гиперболы;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

параболы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

Это уравнение

 

 

x2

 

y2

1.:

 

 

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

1.окружности;

2.эллипса;

3.гиперболы;

4.параболы.

26.Это уравнение y 2 =2px. :

1.окружности;

2.эллипса;

3.гиперболы;

4.параболы.

10

27. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно 0, если угол между векторами равен:

1.00;

2.450;

3.900;

4.2 .

28.Укажите уравнения прямых линий:

1.(x-a)2+(y-b)2=r2;

2.Ax + By + C=0;

3.y= kx + b;

4.y-y0=k(x-x0).

29.Укажите уравнения кривых второго порядка:

1.

x2

 

y2

1 ;

a2

b2

 

 

 

2. Ax + By + C=0;

3 .

x2

 

y2

1;

a2

b2

 

 

 

4.y= kx + b.

30.Укажите уравнения параллельных прямых:

1.y=-2x+7; y= 12 x 2 ;

2.y=3x+5; y=3x-37;

3.2x+2y+5=0; 4x+4y+1=0;

4 y=4x-5; y=2x+1.

31. Укажите уравнения пересекающихся прямых

1.y=4x+5; y=2x-3;

2.2x+3y-7=0; 3x+2y+1=0;

3.y=2x+1; y=2x-15;

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]