Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4604 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежская государственная лесотехническая академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

3859

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
681.04 Кб
Скачать
☆

11

4.y=3x-4; y=- 13 2 .

32.Прямые, заданные уравнениями:y=3x+5 и y=- 13 x 4 :

1.совпадают;

2.пересекаются;

3.параллельны;

4.перпендикулярны.

33.Укажите уравнения кривых второго порядка:

1.

(х-3)2+(у+2)2=25;

 

 

x 2

y 2

2

 

 

 

 

1 ;

 

25

16

3.

3х-4у+5=0;

4

х2=-16;

34. Укажите уравнения прямых линий:

1.х2-у2-6х+4у-12=0;

2.2х-3у+5=0;

3.у=2х+4;

4.х+у+1=0;

35. Укажите уравнения параболы (p> 0)

1.у2=-2px;

2.x2+y2= 1;

3.x=2py;

4.у2=2рх;

Решение типовых задач на уравнения прямых на плоскости

Задача 1. Написать уравнение прямой, проходящей через две известные точки А(2;3) и В(6;-2) и вычислить длину отрезка АВ.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две известные точки М1(x1,y1) М2(x2,y2) имеет вид:

12

x x1

 

y y1

x

2

x

y

2

y

 

 

1

 

 

1

поэтому уравнение прямой (АВ) примет вид:

x 2

 

y 3

или 5x + 4y - 22 = 0

 

 

 

 

6 2

 

2 3

 

 

Расстояние между точками М1 и М2 определяется по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

2

x

2 y

2

y

2

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

поэтому длина отрезка АВ:

АВ 6 2 2 2 3 2 41 .

Задача 2. Написать уравнение высоты (BN) и вычислить ее длину в треугольнике А(6;0), В(2;-3), С(-4;9).

Решение: Уравнение пучка прямых, проходящих через точку М(x0,y0)

имеет вид : y-y0=k(x-x0).

Угловой коэффициент прямой (BN) найдем из того условия, что (ВN) (АС). Условие перпендикулярности двух прямых, имеющих угловые коэффициенты k1, k2:

k

 

 

1

(п ри k 0) .

1

 

 

 

k 2

2

 

 

 

 

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки М1(x1;y1) и

 

 

 

 

 

 

М2(x2;y2) - k

 

 

 

y2

y1

(п ри x

x

 

) ;

 

 

 

 

 

 

M 1M 2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.о., k AC

 

9

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k BN

 

10

и уравнение (BN), следовательно, имеет вид :

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 3 109 x 2 или 10x - 9y - 47 = 0

Для вычисления высоты BN воспользуемся формулой, определяющей расстояние d точки М0(x0;y0) до прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0:

d Ax0 By0 C

A 2 B2

Нам нужно определить расстояние точки В(2;-3) до прямой, идущей через точки А(6;0) и С(-4;9).

Уравнение: (АС)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

y 9

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 9

 

6 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x 10y 54

 

0

 

 

 

 

 

 

 

BN

 

 

9 2

10 3

54

 

 

66

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92 102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

181

 

Задача 3. Вычислить в радианах величину внутреннего угла В в треугольнике А(4;-1), В(-4;-5), С(1;10).

Решение: Для определения угла В воспользуемся формулой тангенса

y

 

C

угла между двумя прямыми,

 

 

 

 

 

имеющими угловые коэффициенты k1

 

 

 

 

и k2: tg

k1 k 2

, где k1 – угловой

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 k1 k 2

 

 

 

 

 

A

коэффи-

B

 

 

 

 

 

 

циент той прямой, которая

 

 

 

 

 

 

 

 

поворачивается до совмещения со

Рис. 1

второй против часовой стрелки.

 

 

 

В нашем случае такой прямой является (ВА) (см. рис. 1)

k

 

 

y B y A

 

5 1

 

 

 

1

 

BA

x B x A

4 4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

y B yC

 

5 10

3

BC

 

 

 

 

 

x B xC

 

 

4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k BC k BA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgB

 

 

2

 

 

1

1 k BC k BA

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4 .

14

Комплексные числа

Укажите номера правильных ответов

36.

Если z =3-2i, то действительная часть комплексного числа равна:

1)

2;

2) -2;

 

3) 3;

 

 

4)

1

 

 

37.

Если z = 4-5i, то мнимая часть комплексного числа равна:

1)

4;

2) 5i;

 

3) -5;

 

 

4)

5;

 

 

38.

Сумма комплексных чисел: (2+3i)+(4+7i):

 

 

1)

5+11i;

2)

6+3i;

3)

2+10i;

4)

6+10i;

 

 

 

 

 

 

 

39. z = 3+4i, сопряжѐнное число z :

 

 

 

 

1)

-3-4i;

2)

-3+4i;

3)

3-4i;

4)

3+4i;

40. Комплексное число представленное в тригонометрической форме:

1) z = 5i+2; 2)z = cos 6 i sin 6 ;

3) z 2e 3 i ; 4) z 2(cos 4 i sin 4 ) ;

41. Комплексное число, представленное в алгебраической форме:

1) z 2e

i ;

2)z = 3i+5 ;

 

3

 

3) z = 6-2i;

4) z = 2+3i;

42. Комплексное число, представленное в показательной форме:

 

 

 

 

 

 

) ;

1) z 2e 3 i ;

2) z 2(cos

i sin

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

4) z 3e

 

 

 

 

3) z

2

e 4 i ;

6 i ;

 

 

 

Производная. Основные понятия

Укажите номера правильных ответов

43. Функция: у = -2sin(3х)+5 задана

15

1)

аналитически; 2)графически;

3)

таблично;

44. Функция задана

y

0

x

1)

аналитически;

2) графически;

3)

таблично;

 

45.Сложная функция:

1)

у =х2;

2) у =(х+3)5

3)

у = 5

4) y = sin(3х)

45.Убывающие функции:

1)y= log 2 x

2)y= ( 12) x

3)y= 2 x

4)y= log 1 x

2

47. Возрастающие функции:

1) y= log 1 x

3

2) y= 3x

16

3)y= log 3 x

4)y= 13 x

48.Степенные функции:

1)y= x5

2)y= x 2

3)y= 2 x

1

4)y= x 2

49.Производная функции f /(xo) равна:

1)угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке (хо;f(xo)).

2)углу наклона касательной, проведенной к графику функции в точке

(хо;f(xo)).

3) касательной, проведенной к графику функции в точке (хо;f(xo)).

50.Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке (хо;f(xo))

:

1) у =f/(хо)+ f(хо)(х-хо); 2) у =f(хо)+ f/(хо)(х-хо); 3) у = f(хо)- f/(хо)(х-хо); 4) у = f(хо)+ f/(хо)(х+хо);

51.

Если точка хо – точка экстремума функции f(x) и в этой точке существует

конечная производная f/(хо), то

 

 

1) f/(хо)>0:

2) f/(хо)<0:

3) f/(хо)=0

4) f/(хо)≠0

52.

Назовите все точки экстремума:

 

y

у =f(x)

0

а х1

х2

х3 х4

x

17

1) х1, х3;

2) а, х1, х2, х3 ;

3) х1, х2, х3, х4;

4) х2, х4;

53. График производной для функции у =f(x) имеет вид. Тогда точка максимума функции: у =f(x) есть

y

y = f/ (x)

 

 

 

 

 

 

x

-4

-2

 

0

2

4

 

 

1) x = -2;

2) x = 0;

3) x = 2;

4) x = 4;

54. График производной для функции у =f(x) имеет вид. Тогда точка минимума функции: у =f(x) есть

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f/ (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

-4

-2

 

0

 

2

4

 

6

 

 

 

 

 

 

 

18

1) x = 2;

2) x = -2;

3) x =6;

4) x = 0;

55. График производной для функции у =f(x) имеет вид. Тогда точка минимума функции: у =f(x) есть

y

y = f/ (x)

-5

-3

-1 0

2

6 x

1) x =-5;

2) x =6;

3) x =-1;

4) x =-3;

19

56. График производной для функции у =f(x) имеет вид. Тогда точка максимум функции: у =f(x) есть

y

y = f/ (x)

-4

-2

0

3

5

x

1) x =-4;

 

 

 

 

 

 

2) x =3;

 

 

3) x =-2;

 

 

 

 

 

 

4) x =5;

 

 

57.

Линейная относительно

 

х величина f/(хо) х, составляющая главную

часть приращения функции f(x) в т. хо, называется:

1)производной функции;

2)дифференциалом функции;

3)параболой;

 

 

 

 

 

 

4)угловым коэффициентом;

58.

Производная произведения двух функций (U V)/ равна:

1)U /V V /U ;

 

2)U /V / ;

 

 

 

3)U /V V /U ;

 

4)UV / VU / ;

 

 

 

59.

Производная частного двух функций (U/V)/ равна:

1)

U

/V V /U

;

 

 

2)

U /V V /U

;

 

 

 

 

V 2

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

UV / VU /

;

4)

U /V V /U

;

V 2

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60.

Укажите функцию двух переменных:

20

1) z 2x y ;

2) z 2x ;

3) y 2x;

4) y x2 x;

61. Частные производные первого порядка функции:

Z x y равны .

1) Z / x 1 y

+2) Z / x 1

3) Z / x y

4) Z / x

x2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Z / y x 1

Z / y 1

Z / y x

Z / y

y 2

 

 

 

 

 

2

 

62. Если функция у =f(x) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на (а ; b) и точка (хо ;f(хо)), где хо € (а ; b), является точкой перегиба, то:

1) f " ( x ) 0;

2)

f " ( x ) 0;

3) f " ( x ) 0;

4)

f " ( x ) 0;

63. Точка движется прямолинейно по закону: S(t) = -t2 + 9t + 8; Найдите скорость точки в момент времени t = 4.

1) v = 9;

2)

v = 25;

3) v = 1;

4)

v= -25;

64. Назовите верные утверждения:

y

y =f(x)

b

c

а

0

x

1)а,с – критические точки

2)а,с – точки экстремума

3)[a;c] – промежуток убывания функции

4)b – точка экстремума

65. Назовите верные утверждения:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности