Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4604 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежская государственная лесотехническая академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

3859

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
681.04 Кб
Скачать
☆

31

Ответ: 92 кв. ед.

Дифференциальные уравнения.

Укажите номера всех правильных ответов. 100. Укажите дифференциальное уравнение.

 

dy

 

dx

 

 

2

1)

 

 

 

0

;

2) 2x -3x+4=0;

x 2

y

3) 3x-4=0;

 

4) 2х=64.

101.Укажите дифференциальное уравнение первого порядка.

1) y"= cos(x);

 

 

 

2) y"+3y'+4=0;

3) y'=2x+4;

 

 

4) y"=5x;

102. Разделить переменные в уравнении:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

dx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

dy

 

dx

;

 

 

2) ydy=x2dx;

 

 

 

 

 

y

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

3) ydy=-x2dx;

 

 

4)

 

dy

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

y

103. Назовите дифференциальные уравнения:

1)xdy+3ydx=0;

2) y'-3y=0;

3)3x2+2x-1=0;

4) y"=cos(x).

104. Назовите дифференциальные уравнения первого порядка.

1) y'-3y=6x;

2) ydx-5xdy=0;

3) y'=3x+2;

4) y"=x2.

105. Назовите линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

32

1) y"=cos(x);

2) y"+3y'-4y=0;

3) y"+2y'+4y=0;

4) y"+3y'-4y=x.

106. Назовите функции, которые являются решением линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

λ x

λ x

 

 

x3

1) y=c1e 1

+c2e 2

;

2) y=

 

c1 x c2 ;

6

 

 

 

 

 

3) y=c1eaxcos(bx)+c2eaxsin(bx);

4) y=c1eλx+c2xeλx;

107. Назовите уравнения с разделяющимися переменными:

1) 3x2dy-4y2dx=0;

2) y'=ex;

 

x

 

dx

 

dy

0.

3) y"=e ;

4)

 

 

y 2

x 2

108. Назвать общее и частное решение дифференциального уравнения:

dy 2 x

dx

1) y=

x 3

;

2) y=

x 2

c;

 

 

 

3

 

2

 

 

3) y=2x+c;

4) y=

x3

c

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Дополните утверждения.

109.Уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и еѐ производные, называется______________ уравнением.

110.Решением дифференциального уравнения называется всякая

______________, которая обращает данное уравнение в тождество .

111.Задача нахождения частного решения, дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей

______________.

Решение типовых задач на нахождение решений дифференциальных уравнений

Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

y' cos2 x y tgx

33

Решение: Уравнение вида y' P(x)y Q(x) называется линейным. Если

Q(x) 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а при Q(x) = 0 – линейным однородным. Общее решение однородного уравнения получается разделением переменных в уравнении y' P(x)y 0 . Нам надо уравнение

y' cos2 x y tgx , разделить на cos2 x , тогда получим, что y'

y

 

tgx

, а

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствующее однородное уравнение

y

+ cos 2

x = 0. Разделяем в этом

 

уравнении переменные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

y

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

cos 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

dx

 

 

 

tgx ln

 

 

тогда у = c e tgx . Полагаем

 

 

 

 

и интегрируем ln

y

c

,

 

 

y

cos 2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теперь, что С – функция от х, т.е. С=С(х) и найдем эту функцию, используя правую часть уравнения

у=С(х) e tgx

 

 

 

 

tgx

 

1

 

 

y C x e

tgx

C x e

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2

 

 

 

 

 

 

 

x

Подставляем теперь в уравнение, тогда получаем

 

 

 

C x e tgx

C x

e tgx

 

C x e tgx

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

cos 2 x

cos 2 x

cos 2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

после приведения подобных членов получаем:

 

 

 

С x e tgx

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разделяя переменные получаем:

 

 

 

 

 

 

 

dC x

 

etgx tgx

;

 

 

 

dC x

etgx tgxdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

cos 2 x

 

 

 

 

 

 

cos 2

x

 

 

 

dC x

etgx tgx dtgx ;

 

C x tgx etgx etgx

C

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(C1 - произвольная постоянная)

подставляем теперь полученное значение для С(х) в выражение для общего решения и получаем:

у = tgx etgx etgx C1 e tgx это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения 1-го порядка можно интегрировать также методом Бернулли, который заключается в следующем. Полагая у=UV, где U=U(х) и V=V(х), преобразуем исходное уравнение у' +Р(х)у = Q(х) к виду:

U V UV P x U V Q(x ) или

U[V' + Р(х)V] + VU ' = Q(х) выберем теперь V таким образом, чтобы

V'+Р(х) V =0, т.е. V= e P ( x )dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34

 

 

 

тогда V U

 

Q(x )

или

U

 

 

Q(x )

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U Q(x ) e P ( x )dx

или U c Q(x ) e P ( x )dx dx .

Теперь найдем общее решение

 

 

 

 

 

y U (x ) V (x ) e

P ( x )dx

 

 

 

P ( x )dx

dx

c

 

 

 

 

Q(x )e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нашего примера будем иметь:

 

 

y

y

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2

 

x

cos 2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y U V ;

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U V V U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U V V U

 

 

 

 

1

 

 

 

U V

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2

 

x

cos 2

x

 

 

 

 

 

 

U V

 

 

1

 

 

 

 

 

V

 

V U

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

x

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

cos 2

x V 0 тогда V e

 

 

подставляем это значение в уравнение и получаем:

 

tgx

 

 

 

tgx

 

 

 

 

tgx

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

U

 

cos 2

x

тогда U

 

e

cos 2

x

U tgx etgx etgx c

иy U V (tgxe tgx etgx c)e tgx tgx 1 c e tgx , т.е. общее решение

уравнения y tgx 1 c e tgx .

Библиографический список

Основная литература 1. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс [Электронный

ресурс]: учебник для бакалавров / В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. – 4- е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. Академический курс. – ЭБС «Юрайт».

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учеб. пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. – 12-е изд. – М.: Издательство Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. Прикладной курс. – ЭБС «Юрайт».

35

Дополнительная литература

1.Сборник задач по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 [Электронный ресурс]

:учеб. пособие для бакалавров / под ред. А.С. Поспелова. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. – ЭБС «Юрайт».

2.Сборник задач по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 [Электронный ресурс]

:учеб. пособие для бакалавров / под ред. А.С. Поспелова. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. – ЭБС «Юрайт».

3.Уточкина, Е.О. Математика. Теория вероятностей [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Е.О. Уточкина, Е.В. Смирнова, В.В. Зенина; ВГЛТА.

– Воронеж, 2014. – ЭБС ВГЛТУ.

4.Сапронов, И. В. Математическая статистика [Электронный ресурс]: лабораторный практикум / И.В. Сапронов, Е.О. Уточкина, А.И. Фурменко; ВГЛТА. – Воронеж, 2014. – ЭБС ВГЛТУ.

5.Математика. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра [Текст]: учеб. пособие: для студентов, обучающихся по направлениям подгот. 151000, 190600, 190700,250400, 230400, 220700, 080200, 022000 / И.В. Сапронов, В.В.

Зенина, Е.О. Уточкина, С.С. Веневитина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2014. – 196 с. – Электронная версия в ЭБС ВГЛТУ.

36

Иван Васильевич Сапронов Александр Иванович Фурменко

Подписано в печать

. Формат 60 90/16

Усл. печ. л.

Уч.-изд. л. .

 

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф.Морозова»

ФГБОУ ВО «ВГЛТУ», 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности