Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3859

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

681.04 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

y =f(x)

1)[a;c] – промежуток убывания функции

2)а,с – критические точки

3)а,с – точки экстремума

4)xmin =а

66.Дана функция y= x2 x3 Найти y :

1)y = 2x+3 x 2

2)y = x+ x 2

3)y = x(2+3x)

4)y = 2 x3 3x4

67.Дана функция y= x2 e x Найти y :

1)y = 2x e x

2)y = 2x ex x2 ex

3)y = x e x (2 x)

4)y = 2x ex x2 ex

68. Точки, в которых функция не имеет производных:

y =f(x)

-3

-1

-3

1)x = -1

2)x = 1

3)x = -3

4)x = 0

Дополните утверждения:

69.Если область определения функции D(f) симметрична относительно начала координат и для всех х из D(f) имеет место равенство f(-x)=f(x) ,то функция называется _______________.

70.Если область определения функции D(f) симметрична относительно начала координат и для всех х из D(f) имеет место равенство f(-x)=-f(x), то функция называется _______________ .

71.Если для любых х из интервала (а;b) большему значению аргумента

соответствует большее значение функции(x1<x2 →f(x1)<f(x2)), то функция f(x) называется ___________на этом интервале.

72.Если для любых х из интервала (а;b) большему значению аргумента

соответствует меньшее значение функции (x1<x2 → f(x1)>f(x2)),то функция называется ___________на этом интервале.

73.Пусть задано число a>0,a≠1. Тогда функция y=ax, называется

____________функцией.

74. Пусть задано число a>0,a≠1. Тогда функция y=logax называется

____________функцией.

75.Для любого действительного числа n функция y=x n называется

________функцией с показателем n.

76.Предел отношения приращения функции f(x0) к приращению аргумента x при x→0 , если этот предел существует, называется

___________функции в точке x 0 и обозначается f '(x 0).

Решение типовых задач на нахождение производной

Задача 1. Найти производную функции y=cos(x2)

Решение: При вычислении производных пользуются таблицей производных основных элементарных функций и теоремой дифференцирования сложной функции:

пусть y=f(u) дифференцируема в точке u0, u=f(x) дифференцируема в точке х0, причем (х0)=u0, тогда сложная функция y=f( (х)) дифференцируема в точке х0 и

y (x

) f (u

) (x

) или y y

u .

В нашем случае u=x2,

y=cos(u),

sin( u ) 2x sin( x2 ) 2x

y cos( u )

cos( ax ) ax ln a ax ln a ctg( ax )

sin( a

)

y ln( sin( ax )

y 3 tg2( 3x )

y e2x arctg( x3 )

e2x

arctg( x3 ) e2x

arctg( x3 ) e2x arctg( x3 )

e2x 2 arctg( x3 ) e2x

3x2 e2x

2 arctg( x3 )

3 2

1 x

1 ( x

)

1 3

3 tg2( 3x )

tg( 3x ) 3

2 tg( 3x ) 3

cos

( 3x )

3 tg( 3x ) cos

( 3x )

sin( x2 )

sin( u ) 2x

y cos( u ) u

Задача 2. Найти производную функции

y ln( sin( ax )

Решение:

y=ln(u),

u=sin(v),

v=ax,

тогда

ln u

sin v

a x

cos v a x

ln a

cos( ax ) ax ln a ax ln a ctg( ax )

sin( a

)

Как видно из приведенных примеров, следует начинать дифференцирование с “внешней” элементарной функции, последовательно приближаясь к “внутренней”.

Задача 3. Найти производные функций:

а). y 3 tg2( 3x )

б). y ln 1 ex

в). y e2x arctg( x3 )

Решение:

а).

3 tg2( 3x )

tg( 3x ) 3

б).

ln 1 ex e4x

ln 1

ex e4x

e4x

1 3	2
cos2( 3x )	3		cos2( 3x )
		tg( 3x )

	1		1	ex e4x		4		ex 4e4x
	2	1 ex e4x		ex e4x		4		2(1 ex e4x )
					e2x
в). e2x arctg( x3 )					e2x		arctg( x3 ) e2x

			e2x 2 arctg( x3 ) e2x					1	3x2
			e2x 2 arctg( x3 ) e2x						3x2
							1 ( x3 )2


arctg( x3 )

e2x 2 arctg( x3 )

3x2

1 x6

Интеграл

Укажите номера правильных ответов.

78.На некотором промежутке функция может иметь:

1)Единственную первообразную;

2)Бесконечно много первообразных;

3)Несколько первообразных

79.Функция, для которой F(x)=4sinх-x является первообразной:

1)y=4sin(x)-1;

2)y=4cos(x)-1;

3)y=4sin(x)-x2/2;

4)y=4cos(x)-x2/2.

80.F(x)-первообразная для f(x).Функция, которая не будет первообразной для f(x):

1)y=F(x)+C;

2)y=3F(x);

3)y=F(x)+5;

4)y=3+F(x).

81.Первообразная для функции y=-sin(x)+1:

1)y=cos(x)+1;

2)y=xcos(x);

3)y=cos(x)+x;

4)y=-cos(x)+x.

82.Укажите верное соотношение:

1)dx x c;

2)sin xdx cos x c;

3)cos xdx sin x c;

4)xdx x 2 c.

83.Интеграл, не выражающийся через элементарные функции:

1)e x dx;

2)e x2 dx;

3)sin xdx;

4)x 2 dx.

84.Формула Ньютона-Лейбница:

1) f (x)dx F (a) F (b);

2) f (x)dx F (a) F (b);

3) f (x)dx F (a) F (b);

4) f (x)dx f (b) f (a).

85.Если F(x)-первообразная для f(x), то f (ax b)dx равен:

1)F(ax+b)+c;

2)a1 F (ax b) c;

3)a1 F (x) c;

4)b1 F (ax b) c.

86.Назовите верные утверждения:

1) dx 1;

2) e x dx e 1 e;

	1
	b
	b
3)			0;
3)		f (x)dx	0;
	a

4)f (x)dx f (x).

87.Площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2; y=0; x=-1; x=1, равна:

1) x 2 dx;

2) x 2 dx;

3) x 2 dx;

4) 2 x 2 dx.

88. (1 x)2 dx равен:

1) x x 2	x3	c;

3

2)x x3 c; 3

3)(1 x)3 c; 3

4) x	x 2		x3	c.

2		3

89.Укажите верные соотношения

1) cos xdx 1;

2) dx 1;

3) e x dx e 1 e;

4) f (x)dx F (b) F (a).

90. Определите знаки указанных определенных интегралов:

1) ln xdx;

0,2

2) ln xdx;

3) cos xdx;

4) xdx.

91. Площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x3; y=0; x=-1; x=1, равна:

1) x3 dx;

2) x3 dx;

3)x3 dx x3 dx;

1 0

4) 2 x3 dx.

92.Функции, являющиеся первообразными одной и той же функции:

1) 2x и 2x+4;

2) 2x и 2x-1;

3)sin(x) и sin(x)+2;

4) 2x и 2x+1.
Дополните утверждения
93. Дифференцируемая функция F(x) называется		для f(x),
определенной на том же промежутке, если F'(x) = f(x).

94. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке, называется интегралом.

95. Графики любых двух первообразных можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси .

96. Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x), то функция F(x)+ C также является для f(x) на том же промежутке.

97. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической интегралов от этих функций в отдельности.

98. Постоянный множитель можно

за знак интеграла.

99. Если интегрируемая на [a;b] функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл численно равен криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью Ox и прямыми x=a; x=b.

Решение типовых задач на нахождение неопределенных интегралов

Задача 1. Вычислить интеграл

2 33 x2 5x dx

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию:

				3	5
2 33 x2 5 x			2 x	3	5	1

				2 3 x	6 5
				2 3 x	6 5	x
	x	3				x
		3

Далее представляем интеграл алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов, и, пользуясь таблицей интегралов, получим:

																												3												5
		2 33 x											2 5 x															3					dx 3 x							5					dx
																												x
																						dx 2									2									6 dx 5
																						dx 2									2									6 dx 5
												x			3																														x
															3																														x

						3		1											5		1
			x	2										3		x		6						5ln						c							4				186				5ln		c
			x	2												x		6											x								4						x			x

				3														5
																																						x
							1													1																		x
				2			1											6		1
Проверка:
				4																																			1			1
																																							1			1

									186							x				5ln					x	c									4x		2				18x 6			5ln x c
									186							x				5ln					x	c									4x		2				18x 6			5ln x c
					x



											1						1	1									1	1				1				1						2			2			1
											1							1									1					1				1
		4													x	2							18					x 6						5						x		3	2		3x 3 5x			2
		4													x	2							18					x 6						5						x		3	2		3x 3 5x			2
											2																6									x

	2 33								x 2 5
	2 33								x 2 5								x

										x3

Задача 2.

Вычислить интеграл		sin xdx


	1 2cosx

Решение:

Первый способ. Полагая

1 2cosx t , 2sin xdx dt , получим

sin xdx

2 dt

2t 2

t c

1 2cosx c

1 2cosx

Второй способ.

sin xdx

1 2cosx

Умножая и деля на –2 и замечая, что 2sin xdx d(1 2cosx) , получим

		sin xdx				1			d 1 2cosx		1	1					1	d 1 cosx
												1			cosx		2	d 1 cosx
																	2
	1 2cosx					2				1 cosx	2
							1	1				1
								1				1
			1 1 2cosx				2			c 1 2cosx					c		1 2cosx c
			1 1 2cosx				2							2
			2	1	1									2
			2	1
				2
												2sin x							sin x
												2sin x							sin x
Проверка:							1 2cosx c
											2
											2		1 cosx					1 2cosx
Задача 3. Вычислить интеграл																x 1
																				dx
																x2 2x 3				dx

Для вычисления интеграла от функции, содержащей квадратный трехчлен, надо выделить полный квадрат их квадратного трехчлена, заменить переменную, в результате чего получим табличные интегралы.

Выделяя полный квадрат в знаменателе, имеем:

x 2x 3 x 1 2 2 . Далее, заменяя x 1 t , dx dt , получим:

		x 1 dx					x 1 dx			tdt		1		d t 2 2	1	ln t2 2 c

	x 2 2x			3	x 1 2				2	t2 2	2			t2 2	2
	x 2 2x			3	x 1 2				2	t2 2	2			t2 2	2
		1	ln x 2 2x 3 c
	2		ln x 2 2x 3 c
	2
						1	ln x2	2x 3 c			1			2x 2				x 1
Проверка:						1					1			2x 2				x 1
Проверка:													2				2
											2 x		2	2x 3		x	2	2x	3
					2						2 x			2x 3		x		2x	3

Задача 4. Вычислить интеграл x ln xdx .

Решение: При вычислении этого интеграла надо применить метод

интегрирования по частям. Положив ln x u , dv

x dx , найдем:

dx x

. Подставляя в формулу

dx ;

udv u v vdu , получим

						2			2						2			2			dx
																	x
	x ln xdx							x 3 ln x										3
	x ln xdx					3		x 3 ln x							3			3			x
						3									3						x
2					2				1					2								4									2						2
			3															3								3							3
			3															3								3							3
		x		ln x			x 2 dx									x				ln x					x		c					x		ln x					c
		x		ln x			x 2 dx									x				ln x					x		c					x		ln x					c
3					3									3								9									3						3
									2									2						2										2
									2		x3		ln x					2	c					2				x3		ln x				2		x	3 ln x
											x3		ln x						c									x3		ln x						x	3 ln x
									3															3
Проверка:									3									3						3										3
Проверка:
							2			3								2							1								2			2
																							3
																							3
												x ln x										x							x ln x						x			x
							3			2		x ln x						3				x			x				x ln x				3		x	3		x
							3			2								3							x								3			3

		2
		2


		3

x ln x

При интегрировании по частям важен выбор функции u и v. В качестве u выбирается та часть подынтегрального выражения, которая существенно упрощается при дифференцировании. За dv – та часть подынтегрального выражения вместе с dx, которая может быть проинтегрирована.

Решение типовой задачи на нахождение площади фигуры с помощью определенных интегралов

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = х и параболой у = 2 – х2 .

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой:

y x

x 2

y 2

-2

х – 2 + х2

= 0

х1

= –2; х2

= 1

Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры,

ограниченной двумя кривыми: S f2 x f1 x dx

При а = –2, b = 1, f2(x) = 2 – x2, f1(x) = x

Получим:

				x		x		1
	1	2 x 2 x dx			3		2
S		2 x 2 x dx	2x
				3		2			2
	2			3		2			2

	1	1		8		9
2			4		2		4,5

	3	2		3		2

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021678.57 Кб23854.pdf
#
08.01.2021679.04 Кб43855.pdf
#
08.01.2021679.66 Кб13856.pdf
#
08.01.2021679.76 Кб13857.pdf
#
08.01.2021680.34 Кб93858.pdf
#
08.01.2021681.04 Кб13859.pdf
#
08.01.2021193.16 Кб0386.pdf
#
08.01.2021681.04 Кб23860.pdf
#
08.01.2021681.22 Кб33861.pdf
#
08.01.2021681.31 Кб13862.pdf
#
08.01.2021681.33 Кб23863.pdf