БАКАЛАВРЕАТ-1+лох

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x( x − 2 )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.02.2015

Размер:

318.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

( ), 1 -11- – 2011

2 = 0 ) , n , %

$ ! , n ,. '- : $$

)& 0& 1 )&=7 01–&1 . $ f(x) n $$ *δ( 0). ) % / $

f(x)=Tn(x)+o((x-x0) ), x→ x0 .
'- : , f ( x ) − T ( x ) = o(( x − x	0	)n ),	x → x	0	, ,
n	0			0

lim

f ( x ) − Tn ( x )

= 0. n 7 ( -

( x − x0

)

x→ x0

7 !) , .

f ( x ) = x 2 ,3 ,

= 1,

f ( x

) = 1,

. f ' ( x ) = 2,3x1,3 ,

f ' ( x

) = 2,3

f " ( x ) = 2,99 x0 ,3

f " ( x

) = 2,99

: )

x 2 ,3 = 1 + 2,3( x − 1 ) + 1,495( x − 1 )2 + o(( x − 1 )2 ), x → 1 .

- , % $

x 2 ,3

≈ 1 + 2,3( x − 1 ) + 1,495( x − 1 )2 , x ≈ 1 .

/ $

1,12,3 ≈ 1+0,23+0,01495=1,24495 ( -

=1,245097).

: 1 7 0& 1. ( $ ). ! 0=0.

e x , ( 10 e = 1,10517 ), Sinx,

Cosx, ln( 1 + x ), ( 1 + x )n − .

1 + x

x 7

1 + 0,5

= 2( x +

+ o(x 7 )); ln 3 = ln

= 1,09806 . ( ln3=1,09861)

1 − x

1 − 0,5

: ) – ( – )

, . . # / $ .

)& 0& 1 )&=7 01–71 01 61. $ f ( x ) ( n + 1 ) $$ -

Oδ ( x0 ) . ) % / ( 0 , ) ,

f ( x ) = f ( x

) + ... +

f ( n ) ( x0 )

( x − x

)

f ( n+1 ) ( c )

( x − x

)

n+1

( n + 1 )!

) , % $ f(x) ≈ Tn(x), #

f ( n+1) (c)

(x − x

) n+1 .

(n + 1)!

e x = 1 + x +

x 2

x 3

x 4

x 5 ;

x [ 0; 0,5 ],

x 5

≤ 0,000429.

120

Sin x = x −

x 5

−

Sinc

x 8 ; x [ 0,

Sinc

x 8 ≤ 0,0009.

120

5040

40320

# .

$ f(x) $$

,0 . )

f ( x ) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) + 0,5 f " ( c )( x − x0 )2 .

144424443

[ h	h ]
	0

( ), 1

-12-

– 2011

, , [x0–h, x0+h] /

|f”(x)| ≤ M. ) #

|R(x)| = |0,5f”(c)(x–x0)2| ≤ 0,5Mh2.

. lnx=x–1 [0,9 ; 1,1]. /

|R(x)| ≤ 0,12/(2 0,92)=0,0061728.

# : « » , # #. 1 -

( . ).


2 $ $ .
« ». 2 – «#»		, – «#»				.
2 « ,» « ».
)& 0& 1. & , % / % ,						.
y”<0, , ☺ . y”>0 .
“'”: & «#», α( ) ( .					.),
, tgα( ) = y’ , /				α
, tgα( ) = y’ , /
/ , . . y”>0;			α
«#», α( ) , tgα( ) = y’ ,
/ , . . y”<0.
210"1 )4 0"24.: 2 %+ (%+) #, y”>0, y’>0,				(y’<0);
	%+ (%+) #; y”<0, y’>0,			(y’<0).

. y = 12 x + 1 − 6 x + x 2 / 2, y = x 2 e x , y = ( x − 4 )3 x . .
) " &0& "51. ) y=f(x),		%+

/ , . , / -

− .

: ,

2. 8 $ -

? . - !

)& 0& 1 (, ). $ y=f(x) $$ -

= 0. -

) f’’(x0)=0.

'- : & %, 0

, .

(. «& f”(x0)=0, 0 – » .

y = x 4 .

' *)1) & <*7 2"& &0& "51. 2 + -

, / .

. y = 2 ln | x | + x 2 − 5x .

. ) , f’’(x) +. 2 / + $ , f’’(x) ,

/ .

. y = 3 x , y = ( x − 4 )3 x .

( ), 1 -13- – 2011

1 $ .

. f(x)=g(x)+o(g(x)) , x→ x0 . ) $ g(x) -

$ f(x) x→ x0 .

' , / : : g(x)

$ f(x) x→ x0 , f(x) g(x) x→ x0..

, -

. 0 / $ :

1 ) y = x 3 − x 2 , x → 0; 1; ∞ ,			2 ) y = x 2 +			1		, x → 0; ∞,

						x
2 ) y = x 2 ( x − 1 )( x + 2 ), x → 0;1;−2;∞,			3 ) y = x + ln \| x \|; y = x 2 − ln \| x \|, x → 0; ∞,
	( x − 1 )2			( x − 1 )( x + 2 )
4 ) y =		, x → −1; 1; 2; ∞,	4 ) y =						, x → −2; 1; 2;	∞ .

	( x + 1 )( x − 2 )				( x − 2 )
" $ ) .

. $			y = cos x −				1 − x 2 x → 0 . (y x6/6)

1 , $ .

$ ( ).

. ' « ».

1 . y = R( x ) =	x 4 − x 3	− 3x 2 − 4 x + 6	. ( -
	x 2
		+ 2 x + 3

= 2. 5 +

« », y=x2–3x.

& ( #

), 1*" ) ) =.

. y =	3x 2 + 4 x + 5	= 1,5 x − 0,25 +	5,75	= 1,5 x − 0,25 + α( x ), x → ∞ .

	2x + 3		2 x + 3

* « = » ( , -

%+ % .) « < » ( – .).

: y =	2x3 + ...	;	y =	3x + ...
				x3 + ...
	3x3 + ...

1 $ $ .

) 2 . = 0

y=f(x), ,

lim f ( x ) ,

lim

f ( x ) ,

lim

f ( x ) -

x→ x0 +0

x→ x0 −0

x→ x0

. y =

, y =

, y

= ln( 1 − x ), y =

y = exp

x − x0

( x − x0 )2

− x

012"7 . ' , $

$ s / , , ,.

) . y=h " -

y=f(x) , lim f ( x ) = h . 1

x→+∞

. y =	2 x + 1	, y = arctg x,	y =	2 x − 3		, y =	2e x − 3	.

	x − 3				x 2 + 1		e x + 1

( ), 1

-14-

– 2011

) .

. = +b " ( →+∞)

y=f(x),

f(x)=kx+b+α(x) →+∞.

1 ( → – ∞).

. y = 2 x − 3 + e x , x → −∞; y = 2 − x + 1 , x → ±∞ . x

. ' , $ %.

. 1*) 4= *7< 1=

, , .

1) ' , $ . * ) [c . ] – [ . -

] ≥ 2, , ) [ . .] – [ . .] = 1, , ) [ . .] = [ . .] , ., ) [ . .] < [ . .], .. ,

$ %.

2)+ . " f(x)=kx+b+α(x), → ∞ , $

/$$ k , b.		k = lim		f ( x)		, b = lim( f ( x) − kx)
					x
			x→∞			x→∞
. y =	3x 2 + 2 x + 1
			, y =		x 2 + 2 x + 3 , y = x arctg x .

	2 x − 3

. & , +, :

y= 2 x + ln x .

3)" , , (

	y = (2x + 3)e1 / x = (2x + 3)(1 +	1	+	1		+ ...) = 5 + +2x + α ( x),
.	y = (2x + 3)e1 / x = (2x + 3)(1 +	x	+	2x	2	+ ...) = 5 + +2x + α ( x),
		x		2x	2
							1
	y = (2x 2 + 3x + 4)(e1 / x − 1), y = (2x 2					+ 3x + 4) ln(1 +	1	) .
	y = (2x 2 + 3x + 4)(e1 / x − 1), y = (2x 2					+ 3x + 4) ln(1 +		) .
							x

& 0&'&7& 4= " )& 017

SinA = B. % Sin %

! %. A=arcsinB. 1

$$ . 2 / - /

d (x 3 ) = 3x 2 dx x 3 = ∫ 3x 2 dx ,

d ( x3 + 2) = 3x 2 dx x 3 + 2 = ∫ 3x 2 dx

/ dx

. .

. : F(x) $ f(x) (a, b),

F’(x)≡f(x) , x (a, b). . (+) S(t) –

V(t)

( ), 1

-15-

– 2011

7& 1 (, $ ). '

$ +( ) ( ,b) , ,

! % / .

'- : 1) +( )= +’(x)=0 . 2) +’(x)≡0 +( 2)–+( 1)=+’(c)(x2–x1)=0 +( 2) = +( 1).

*. 0 , , $ . '- . 2. , , $ F(x) + C.

. , , $ -

;	∫	f ( x )dx = F( x ) + C . ): $
f(x), f(x)dx.
(: f(x),	∫	f ( x )dx = Cos( 3 − ln x ) + C

* .

) $ .

) '$$ %. '-2 .

) 7 )157" 4& " )& 0174 (14 #)

∫

Adx, ∫

x n dx, ∫

, ∫ a x dx, ∫ e x dx, ∫ Sin x dx, ∫

Cosxdx, ∫

∫

Cos

Sin

∫

, ∫

xdx

, ∫

∫

+ a

− a

± h

a 2 − x 2

x 2 ± h

, – -

" ).

) .

& ∫	f ( x )dx = F( x ) + C , ∫	f ( ax + b )dx =	1	F( ax + b ) + C . '- .
			a

. 1/ .

	a ) ∫				f ( x )dx = ln( 2 + 3		), " ∫ f ( 5 x + 3 )dx
.	a ) ∫		3x − 1dx, b ) ∫		f ( x )dx = ln( 2 + 3	Sinx	), " ∫ f ( 5 x + 3 )dx
( .
0	∫ f ( x )dx = F( x ) + C				, % %
$$ $ , . .
				∫ f ( ϕ( t ))ϕ' ( t )dt = F( ϕ( t )) + C. '-
. ∫		xdx		. ( x = t2 + 2.


		x − 2

0. & nax + b , %

t .

& ,, -

= t – b/2a.


			2 x + 3 = t
($ ). ∫				t 2 − 3

	x 2 x + 3dx =					= ...
		x =			, dx = tdt
		x =			, dx = tdt
				2

$$ .

( ), 1	-16-	– 2011
0 d(Sinx) = Cosx dx	: Cosx dx = d(Sinx). 2 / -

$ Cosx $$ .

d( )

xdx, (1/x)dx, exdx, Sinx dx, Cosx dx .

. ∫	ln x	dx . $$ – / $ -

	x
!!!

) – $$ -

!!!

" .

2 $ : d( uv ) = udv + vdu uv = ∫ udv + ∫ vdu

∫ udv = uv − ∫ vdu

($ ):

x 3

∫

ln xdx = u = ln x

→ du = x dx = ...

dv = x

→ v = x

/ 3

" )& 0"0 21 "& 01>" 17; 4. '0 5&=) " .

) = + .) 2: % .

) 0 . * , , -

, , ,.

1 , « » ( -

% , # . " %

6x 2

− 2x − 12

6x 2 − 2x − 12

∫

dx = ∫

dx =∫

− 4x

x(x − 2)(x + 2)

x − 2

x + 2

# I , .

) 0 . * , , -

# II , .

) 0 . * -, -

# III , .

KANT LIVANOV , 2011

( ), 1 -17- – 2011

' , ,..

; ( e x )' = e x ; ( a x )' = a x ln a; (ln | x |)' =

;

( C )' = 0; ( x n )' = nx n−1 ; ( x )' =

( Sinx )' = Cosx; ( Cosx )' = −Sinx; ( tgx )' =

; ( ctgx )' = −

;

Cos 2 x

Sin 2 x

(arcsin x )' =

;

( arctgx )' =

;

1 − x 2

u ′

x 2 + 1

u' v − v' u

( Au ± Bv )' = Au' ± Bv' ; ( uv )' = u' v + v' u;

; { f ( g( x ))}' = f ' (... )g' (... ).

v 2

' « ! ,» :

Sinx

– / !!!

Sinx .

∫Adx = Ax + C; ∫ dxx

∫Sinxdx = −Cosx + C;

∫

arctg

+ a

∫

= arcsin

− x

= ln | x | +C; ∫

x n dx =

x n+1

+ C; ∫

a x dx =

a x

+ C; ∫ e x dx = e x + C;

n + 1

ln a

∫ Cosxdx = Sinx + C; ∫

= tgx + C; ∫

= −ctgx + C;

Cos

Sin

+ C; ∫

x − a

+ C;

∫

xdx

ln | x 2 ± h | +C;

− a

x + a

± h

+ C; ∫

= ln | x + x 2 ± h | +C.

x 2 ± h

# :

SinaSinb = 1 ( Cos( a − b ) − Cos( a + b )); Sin 2 a = 1 − 1 Cos2a; Cos 2 a = 1 + 1 Cos2a;

7 ∫

f ( ax + b )dx =

F( ax + b ) + C;

– .

, A ) ax 2

+ bx + c; x = t −

; B ) n ax + b = t ; C ) e x = t.

xdx =

d( x 2 );

dx = d(ln x ); e x dx = d( e x ); Sinxdx = −d( Cosx ); Cosxdx = d( Sinx ) .

u = ... → du = ...

∫ udv =

= uv − ∫ vdu .

dv =

... → v = ...

" 012"7; = 0 *)4 " -

P( x )	=	A	+	B	+	C	;	∫	dx	= ln \| x − a \| +C.

( x − a )( x − b )( x − c ) x − a x − b x − c									x − a

/$$ %, #, , « ».

' %

ax 2 + bx + c = a( x − x

)( x − x

);

x 2 − a 2 = ( x − a )( x + a );

x 3 ± a 3 = ( x ± a )( x 2 m ax + a 2 ) .

! ,'

b					b
) m( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ( b − a ) . + $ S = ∫( Y − Y )dx .
a					a
			b
3		V = ∫S( t )dt .
			a
3! + V = π ∫ab (Y	2		2 )dx .	' L = ∫ab
3! + V = π ∫ab (Y	2	− Y	2 )dx .	' L = ∫ab	1 + [ f ' ( x )]2 dx .

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.20191.44 Mб2Б 3 -2010.doc
#
05.12.2018592.9 Кб6Базы данных лекции.doc
#
23.11.20181.75 Mб16БАЗЫ ДАННЫХ. курсовая на OpenOffice.doc
#
23.11.2018154.62 Кб9БАЗЫ ДАННЫХ. курсовая по базам.doc
#
08.02.2015489.98 Кб5БАКАЛАВРЕАТ-1+лох.doc
#
08.02.2015318.49 Кб5БАКАЛАВРЕАТ-1+лох.pdf
#
08.02.2015384.51 Кб28БД Кристина Kursovaya_rabota.doc
#
08.02.2015329.67 Кб76БД курсач.docx
#
08.02.2015153.07 Кб7БИЛЕТЫ ГОСЫ 2012. 2 ВАРИАНТ.pdf
#
22.03.201625.43 Mб12билеты линал.rtf
#
08.02.2015101.22 Кб17билеты некоторые.docx