Linal_3

Квадратичной формой от n неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при через , а при произведении – через , квадратичную форму Q можно представить в виде

.

Симметричная матрица называется матрицей квадратичной формы Q.

Вопрос№44

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Теорема 6.1 о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.

Конструктивное доказательство составляетэтойтеоремысодержание метода Лагр приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Для приведения квадратичнойпеременныхформы

к каноническому виду нужноследующиевыполнитьдействия.

1. Выбрать такую перемведущуюнную ),( которая входит в квадратичную фор второй и в первой степени одновременно (если в квадратичной форме переменной и с произведением этой переменной наи другуюперейтиперемек пунктуную

2.

Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать п произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от ну перейти к п.3.

Если в квадратичной форме отсутствуютазличныхпроизведеременных,ния то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет кано

2.По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квад члены с ведущей переменной, дополнить сумму этихвадратачленов до полног (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не из Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в котору переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей соответствующие новые. Продолжить преобразования с пункта 1.

3.Выбранную пару переменныхитьзамна разность и сумму двух новых пер остальные старые переменные принять за соответствующие новые пере произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности к

переменных, т.е. в новой формеквадратичнойбудут квадраты переменных с отли от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратич

1.

Идея метода Лагранжа состоит в том, что прием, используемый в квадрата), исключает однуизпеременнуючисла ведущих. Например, если —перемен ведущая (т.е. и хотя бы один из коэффициентов отличен от

нуля), то выделяем полный квадрат по(собираемпе еменнойвсе членыи дополняемс их сумму до полного квадрата):

Выражение, стоящее атныхвквадрскобках, есть полный квадрат. Поэтому

где

— квадратичная форма, в которую не входит ведущая

(6.12)

Тогда данная квадратичная форма преобразуется к

Заметим, что в результате этого преобразования все члены, соде переменную в первой и второй степени, заменены квадратом одной. нов В дальнейших преобразованияхная переменухуже никогда не будет ведущей.

Многократно применяя этот прием, исключаем одну за другой все получая тем самым канонический вид квадратичной формы. Однако выд квадрата невозможно, если в квадратичной форме вообще отсутствуют

переменных. В этом случае применяется способ, описанный в п.3, кото с квадратами переменных.

Например, в п. 1 выделена пара ипеременных, произведение которых входит квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом.Тогда нужносделать замену переменных

(6.13)

При этом получим новую квадратичную, вформукоторой появятся квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами, так как в результа член преобразуется к виду

а других членов новойсквадратичной форме не будет.

Заметим, что при помощи метода Лагранжа не только находится ка определяется искомая невырожденная замена переменных. В самом дел переменных (6.12), (6.13), которые производяэтосялинейныев п.2, 3заменылгоритмс матрицами

(6.14)

Определители матриц отличны от нуля . Следовательно, эт замены переменных невырожденные. Выполняя п.2, 3 алгоритма, можно используемых замен переменных. В результате порядкеихперемножениянахождения)(в получается матрица искомой замены (согласно свойству 2 линейных з

Вопрос№45

Изложить классификацию кривых и поверхностей второго порядка в соответствии с видом квадратичной формы

Вопрос№46

Доказать закон инерции квадратичных форм.

Доказательство: Пусть имеются 2-а базиса, в которых квадратичная форма A(X,X) принимает нормальный вид: в базисе

в базисе .

Здесь полагаем, что т. е. в этих 2-х базисах (и во всех остальных!) нулевые коэффициенты в нормальном виде квадратичной формы отсутствуют. Очевидно, что для

доказательства этой теоремы достаточно предположить, что .

Будем доказывать методом от противного, т. е. предполагаем, что ; пусть,

например, .