Linal_3

Ранее было доказано, что существование линейно независимых собственных векторов необходимо и достаточно для диагонализируемости матрицы при помощи преобразования подобия. Теорема 9.7 дает более тонкое условие диагонализируемости матрицы линейного преобразования. Отмечалось также, что не всякую матрицу можно привести к диагональному виду при помощи преобразования подобия (см. пример 7.9). Аналогичный вывод справедлив и для линейного преобразования.

Вопрос№27

Инвариантные подпространства линейного оператора. Инвариантные подпространства линейных операторов в пространстве К 3, не содержащие собственных векторов.

Определение инвариантных подпространств

Пусть — линейное преобразование линейного пространства . Линейное подпространство называется инвариантным относительно преобразования , если образ любого вектора из принадлежит подпространству , т.е. . Другими словами, инвариантное подпространство включает свой образ . Нулевое подпространство и все пространство являются инвариантными подпространствами для любого линейного преобразования .

Вопрос №28

Представление пространства в виде прямой суммы инвариантных подпространств данного оператора и клеточно-диагональные матрицы оператора.

Следствие. Если n-мерное пространство представлено в виде прямой суммы ненулевых инвариантных относительно преобразования подпространств , то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид

Вопрос№29

Вид клеточно-диагональной матрицы оператора в случае, когда все корни характеристического уравнения простые.

Вопрос№30

Евклидово пространство Е п . Дать определение скалярного произведения в линейном пространстве К ' .

Евклидовое пространство размерности En это линейное подпространство Rn с определенным в нем скалярным произведением.

Скалярное произведение называется число сопоставляемое данным векторам, удовлетворяющим условиям:

1)(a, b) = (b, a)

2)(Ya, b) = Y(a, b)

3)(a, b+c) = (a, b) + (a, c)

Вопрос№31

Доказать неравенство Коши - Буняковского. Дать определение длины вектора и угла между векторами. Неравенство треугольника. Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора