Linal_3
.pdf
Вопрос№38
Определить матрицу Грама и вывести условие её невырожденности.
Вопрос№39
Определить симметрические операторы в евклидовом пространстве. Доказать свойства их матриц, собственных чисел и собственных векторов. Линейные
преобразования, определяемые симметрическими операторами на плоскости и в пространстве.
Линейный оператор называется симметричным, если для любых двух векторов и (евклидово векторное пространство) имеет место равенство
:
Свойства:
1)В базисе из собственных векторов симметричного оператора имеет диагональный вид.
2)Собственный значение симметричного оператора соответствуют различным собственным значением.
3)Симметричный оператор соответствуют ортонормированный базис из собственных векторов.
Линейные преобразования симметрическому вектору, собственный вектор сжимается или растягивается с коэффициентом равному собственному значению или при этом могут менять направление при отрицательном собственном значении.
Вопрос№40
Определить ортогональные операторы в евклидовом пространстве. Доказать свойства их матриц, собственных чисел и собственных векторов. Линейные преобразования, определяемые ортогональными операторами на плоскости и в пространстве.
1)Строки(столбцы) ортогональной матрицы рассматриваемые как n-мерные вектора образуют ортонормированную систему векторов.
2) Определитель матрицы ортогонального оператора равен по модулю 1.
3) Собственный значения ортогонального оператора равны по модулю 1.
4)В двух мерном или трехмерном пространстве ортогональный оператор осуществляет или вращение вокруг некоторой оси или точки или симметричное отображение относительно оси или плоскости.
5)Матрица будет матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому базису, когда матрица будет ортогональной матрицей.
Вопрос№41
Матрица перехода от ортонормированного базиса к новому ортонормированному базису.
Вопрос№42
Представление невырожденного линейного оператора в виде произведения симметрического оператора на ортогональный оператор.
Вопрос№43
Дать определение квадратичной формы и ее матрицы. Вывести формулу преобразования матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.