2541

Для всех схем стержней принять:

-расчётное сопротивление материала R = 200 МПа;

-нормативное изменение длины стержня a300;

-модуль упругости материала Е = 2,05·105 МПа.

18

Вопросы для самопроверки

1.Что такое внутреннее усилие?

2.Дать определение вида деформирования стержня «растяжение-сжатие».

3.Как определяются границы участков стержня при составлении уравнений равновесия при определении внутренних усилий?

4.По какой формуле определяют нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при его растяжении-сжатии?

5.Записать условие прочности стержня при его растяжениисжатии.

6.Записать условие жёсткости стержня при его растяжениисжатии.

5.ПРИМЕРОПРЕДЕЛЕНИЯГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

19

ХАРАКТЕРИСТИКПЛОСКИХСЕЧЕНИЙ

Состав задания

1.Определение центра тяжести сечения.

2.Определение осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей.

3.Определение положения главных осей.

4.Определение главных моментов инерции.

Исходные данные

16/10/1

24/2

4.6. Определение центра тяжести сечения

Координаты центра тяжести определяем из рассмотрения заданного поперечного сечения стержня, имеющего сложную конфигурацию, состоящую из двух элементов – неравнополочного уголка и листа. Выбираем положение произвольных осей х0у таким, каким оно показано на рис. 6. Значения координат, представляющие собой соответствующие расстояния от собственных центров тяжести

20

неравнополочного уголка и листа до осей у и х, х1 = 4,28 см. и х2 = 1,00 см, а также – у1 =13,23 см и у2 = 12 см показаны на том же рис. 6.

Таблица 2

Исходя из данных, полученных в табл. 2, найдём значения координат ус и хс, описывающих положение центра тяжести рассматриваемого поперечного сечения стержня.

Контролем правильности определения положения центра тяжести сечения является то, что центр тяжести фигуры должен обязательно располагаться на прямой, соединяющей центры тяжести двух фигур – в данном случае, уголка и листа.

4.7. Определение осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей

21

Определение осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей выполним в соответствии с формулами

n

Dxcyc Dxiyi ai bi Ai . i 1

Площади элементов и собственные моменты инерции (моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести каждого элемента), взятые из сортаментов прокатных профилей (см. прил. к настоящему учебно-методическому пособию для неравнополочного уголка), сведены в табл. 3

Замечание. Знак у собственного центробежного момента для неравнополочного уголка определяется положением уголка в поперечном сечении элемента и положением собственных осей уголка. В дан-ном случае при принятом положении собственных осей уголка его центробежный момент будет отрицательным, что поясняется далее приведённым рис. 5.

Разбиваем условно уголок на два прямоугольника с площадями А3 и А4. Тогда центробежный момент инерции для такого уголка относительно его собственных центральных осей хс и ус окажется

Из анализа этого выражения очевидно, что знак центробежного момента будет отрицательным. Это связано с тем, что, как видно из рис. 5, что расстояния а4 и b3 согласно расположению центральных осей хс и ус и собственных осей прямоугольников являются

22

отрицательными. Поэтому, взяв из сортамента модуль центробежного момента инерции для соответствующего уголка, необходимо перед ним поставить знак минус, что и сделано в рассмотренном примере.

Если этот приём определения знака центробежного момента инерции уголка покажется затруднительным, то для решения этой задачи можно воспользоваться следующим правилом:

23

+-

-+

Всоответствие с формулами для определения моментов инерции при параллельном переносе осей запишем:

Jxc Jx1 a12 A1 Jx2 a22 A2;

Jyc Jy1 b12 A1 Jy2 b22 A2 ;

Dxc yc Dx1y1 a1 b1 A1 Dx2 y2 a2 b2A2.

В этих формулах a1 и a2 – расстояния вдоль оси ус между центральной осью хс и собственной осью x1 неравнополочного уголка и собственной осью x2 листа соответственно; b1 и b2 – расстояние вдоль оси хс между центральной осью yс и осью собственной у1 неравнополочного уголка и собственной осью у2 листа соответственно. Тогда, из чертежа найдём

a1 24 16 5,23 yc 13,23 12,42 0,81 см;

a2 12 yc 12 12,42 0,42 см;

b1 2 2,28 xc 4,28 2,13 2,15 см; b2 1 xc 1 2,13 1,13 см.

Дальнейшие расчёты удобно проводить в табличной форме

24

найдём

2 0 180о 0,11257 6,453о . Тогда 0 3,23о . 3,14

25

В соответствии с принятым в сопротивлении материалов правилом знаков положительный угол откладывают против хода часовой стрелки от горизонтальной оси хс.

отделяет ось min от горизонтальной центральной оси хс.

На основании выполненных вычислений на рис. 6 показано положение главных осей инерции. Для определения значений главных моментов инерции используют следующую формулу:

Подставив в эту формулу соответствующие значения осевых и центробежного моментов инерции, найдём значения главных осевых моментов инерции рассматриваемого поперечного сечения стержня.

1696,9 1306,9 390,0 см4.

Замечание: главные моменты инерции не могут быть со знаком минус. Контролем правильности арифметического определения значений главных осевых моментов инерции служит равенство

Jxc Jyc Jmax Jmin.

26