2541
.pdf
Изгибающим моментом М в поперечном сечении стержня называется сумма изгибающих моментов, создаваемых всеми силовыми факторами, действующими на рассматриваемую часть стержня.
Поперечной (перерезывающей) силой Q в поперечном сечении стержня называется сумма проекций всех сил, действующих па рассматриваемую часть стержня, на ось, перпендикулярную продольной оси стержня.
Нормальное напряжение при изгибе определяют по формуле
M y , где: М – величина изгибающего момента в сечении в котором
Jz
определяется напряжение; Jz – момент инерции относительно нейтральной оси z поперечного сечения балки; у – координата той точки в поперечном сечении стержня, в котором определяется искомое нормальное напряжение.
Известно, что наибольшее нормальное напряжение при изгибе возникает в крайних волокнах, то есть когда y=ymax.
Удобно при определении нормальных напряжений при изгибе пользоваться геометрической характеристикой W, которая называется моментом сопротивления сечения и определяется по формуле
Wz Jz . y
В соответствии с изложенным условие прочности при изгибе
определяется выражением |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
extr |
R . В этой формуле |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
extr |
|
|
|
W |
u |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
предполагается, что момент сопротивления сечения определён из
W |
z |
|
Jz |
, |
R расчётное сопротивление материала стержня на |
|
|||||
|
|
ymax |
u |
||
изгиб.
Одной из задач, так называемой проектировочной, при конструировании элемента конструкции является определение геометрических размеров его поперечного сечения. Эти размеры входят в геометрическую характеристику сечения W – момент сопротивления сечения. Исходя из этого, справедливой становится
следующая запись: |
|
|
M |
|
extr |
|
R |
W |
z |
|
|
|
M |
|
extr |
. |
По найденному |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Wz |
и |
|
|
|
|
Rи |
|
|||||||
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
||||||||
геометрическому параметру |
можно при |
известной форме |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поперечного сечения элемента конструкции найти все, необходимые для конструирования элемента, линейные размеры.
4.ПРИМЕРРАСЧЁТАНАПРОЧНОСТЬИЖЁСТКОСТЬ
МНОГОСТУПЕНЧАТОГОСТЕРЖНЯ,ИСПЫТЫВАЮЩЕГО
ОСЕВОЕДЕЙСТВИЕВНЕШНИХНАГРУЗОК
Состав задания
1.Построение эпюры продольных сил N.
2.Построение эпюры нормальных напряжений .
3.Построение эпюры перемещений.
4.Определение размера А поперечного сечения стержня.
5.Оценка жёсткости стержня.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
-расчётное сопротивление материала R = 200 МПа;
-нормативное изменение длины стержня a300;
-модуль упругости материала Е = 2,05·105 МПа;
F = 12 кН; |
а = 0,45 м. |
14
Заданная схема стержня
3a |
|
A |
2a |
8F |
|
|
|
|
4a |
|
1,75A |
a |
6F |
2A |
2a |
|
|
|
|
3F
x
Рис. 3
4.1.ПостроениеэпюрыпродольныхсилN
Построение эпюры начинаем со стороны незакреплённой части стержня, мысленно проводя соответствующие сечения на участках, на которых происходит изменение нагружения стержня.
Рассмотрим равновесие отсечённых частей стержня, проецируя все силы, действующие на рассматриваемую часть стержня, на ось х, предполагая при этом, что искомое внутреннее усилие N направлено от сечения:
15
Сечение 1-1 0 x1 2a
x 3F N1 0 N1 3F.
Сечение 3- 3 0 x3 4a
x 3F 6F N3 0N3 3F.
Сечение 2- 2 |
0 x2 a |
|
x 3F 6F N2 0 N2 3F. |
||
|
N4 |
A |
|
|
|
4 |
4 |
x4 |
|
|
|
4a |
6F |
1,75A |
|
||
a |
4 |
|
|
2A |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
3F |
|
|
x |
|
Сечение 4- 4 |
0 x4 2a |
|
x 3F 6F N4 0 |
|
|
N4 3F. |
|
|
16
Сечение 5 5 |
0 x5 |
|
x 3F 6F 8F N |
5 |
0 |
|
3a |
|
|
|
|||
|
|
|
N5 |
5F. |
|
|
|
|
|
|
|
||
4.2.Построениеэпюрынормальныхнапряжений (эп. )
Построение |
эпюры |
нормальных |
|
напряжений |
|
(эп. ) |
||||||||||||||||||||||||
осуществляется в соответствии с эпюрой продольных сил N. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Построение эпюры |
ведётся по участкам, на которых происходит |
|||||||||||||||||||||||||||||
изменение либо ординат эп. N, либо размера поперечного сечения А |
||||||||||||||||||||||||||||||
стержня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно сказанному по формуле |
|
найдём: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
1-й участок – |
|
|
|
N1 |
|
3F |
1,5 |
F |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2-й участок – |
|
|
|
N2 |
|
|
2F |
|
F |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2A |
2A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3-й |
участок |
|
|
– |
|
|
|
|
|
N3 |
|
|
3F |
|
1,71 |
F |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
2 |
|
|
1,75A |
1,75A |
|
|
A |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4-й участок – |
|
|
N4 |
|
3F |
3 |
F |
; |
|||||||
|
A |
|
A |
|
|||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||||
5-й участок – |
|
|
|
N5 |
|
|
5F |
5 |
F |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
|
|
A |
|
A |
|
A |
||||||
4.3.Построениеэпюрыперемещений
Определение абсолютных изменений длины стержня
(перемещений) ведём по формуле N в соответствии с эпюрой N EA
и характерными точками рассматриваемого участка стержня. Построение этой эпюры начинается с рассмотрения
закреплённой части стержня, ибо очевидно, что перемещение сечения
(точка |
0) 0 0. Перемещение сечения |
|
(точка 1) |
определяется |
||||||||||||||||||
суммой |
перемещения |
сечения |
0 |
0 и |
изменения |
длины |
части |
|||||||||||||||
стержня между сечениями 0 и 1: |
1 |
0 |
5F 3a |
0 15 |
Fa |
15 |
Fa |
. |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
Перемещение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EA |
|
EA |
|
EA |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сечения (точка 2) определяется суммой перемещения сечения |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
15 |
Fa |
|
и изменения длины части стержня между сечениями 1 и 2: |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
1 |
3F 2a |
15 |
Fa |
|
6Fa |
9 |
Fa |
. Перемещение сечения (точка |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
EA |
EA EA |
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) определяется суммой перемещения сечения 2 9 Fa и изменения
EA
длины части стержня между сечениями 2 и 3:
3 2 |
|
3F 4a |
9 |
Fa |
|
3F 4a |
9 |
Fa |
6,857 |
Fa |
2,143 |
Fa |
. |
1,75EA |
EA |
1,75EA |
EA |
EA |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
EA |
||||||
Перемещение сечения (точка 4) определяется суммой перемещения
сечения 3 2,143Fa и изменения длины части стержня между сече-
EA
18
ниями 3 и 4: 4 |
3 |
|
3Fa |
2,143 |
Fa |
|
3Fa |
0,643 |
Fa |
. Перемеще- |
2EA |
EA |
2EA |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
EA |
||||
ние сечения (точка 5) определяется суммой перемещения сечения |
||||||||||
4 |
0,643 |
Fa |
и изменения длины части стержня между сечениями |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 и 5: 5 4 |
3F 2a |
0,643 |
Fa |
3 |
Fa |
3,643 |
Fa |
. |
|||
2EA |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
EA EA |
|
EA |
||||
|
По найденным значениям построены эпюры продольных сил N, |
||||||||||
нормальных напряжений и продольных перемещений (рис. 4).
4.4.ОпределениеизусловияпрочностиразмераА
поперечногосечениястержня
Из анализа эпюр продольных сил N и нормальных напряжений очевидно, что опасным сечением в данном случае будет сечение, в
котором по модулю напряжение равно 5 F . Тогда условие
A
прочности принимает вид 5 F R. Исходя из этого неравенства,
A
найдём A 5F . С учётом исходных данных найдём
R
A 5 12 100 30 см2. 200 10
19
4.5. Оценкажёсткостистержняизусловияжёсткости
Из эпюры перемещений видно, что наибольшее его значении
равно 1 |
|
15,000 Fa |
|
. Подставив в это выражение исходные данные, |
||
|
||||||
|
|
EA |
|
|
15,0 12 100 0,45 100 |
|
найдём |
|
max |
|
0,0132см. Нормативное |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
30 2,05 105 10 |
|
значение перемещения в данной задаче равно
0,45 100300 0,150см.
В связи с тем, что соблюдается соотношение > max ,
т.е. 0,150 см > 0,0108 см, и, следовательно, можно сделать вывод о том, что жёсткость стержня обеспечена.
20
16
|
|
Задания к РГР № 1 |
||
2a |
2A |
a |
A |
|
2a |
8F |
|||
8F |
||||
2a |
||||
|
||||
3A |
2a |
2A |
||
2a |
||||
5F |
|
|
||
a |
a |
10F |
||
|
||||
4a |
A |
3a |
3A |
|
|
||||
|
7F |
|
6F |
|
1 |
x |
2 |
x |
3 |
|
|
|||
|
a |
1,5A |
|
|
|
6F |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
2A |
|
|
|
10F |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8F |
|
|
4 |
x |
5 |
|
6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3a |
1,25F |
|
|
|
8F |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
1,5A |
|
|
|
12F |
|
|
|
|
|
|
|
3a 
A
9F
x
17