2064

Λ p(Вш Вc ) ВП1 p(Вш )

определяется нижняя граница второго порога:

R

ВП1 1 R .

Выигрыш, получаемый при использовании последовательного анализа по сравнению с процедурами с постоянным объемом выборки n, оценивается величиной (n/m) 1,7 3,05. К недостаткам метода следует отнести случайность объема выборки m, характеризуемую величиной среднеквадратичного отклонения

m (0,5 0,8)m . В большом объеме испытаний необходимое число последовательных решений может превосходить среднее значение в несколько раз. Поэтому выбор алгоритма принятия решения определяется в каждом конкретном случае, исходя из предъявляемых требований к временным и аппаратурным затратам на его реализацию.

Итак, обнаружение с позиций статистической теории принятия решений предполагает вычисление текущего значения коэффициента корреляции процесса В(х), заданного на некотором интервале, с ожидаемым сигналом. В качестве признака обнаруживаемого сигнала выбирается наиболее ярко выраженный параметр, например, амплитуда. Превышение функцией корреляции некоторого заранее установленного порога регистрируется как факт наличия объекта. Если отношение сигнал/шум велико, нет необходимости проводить вычисления по определению меры сходства двух процессов. В этом случае достаточно задать порог, выше которого все выбросы будут считаться полезными сигналами. Другой вариант «корреляционного» обнаружителя реализуется с использованием согласованных фильтров. Фильтр называется согласованным для сигнала c x , обнаруживаемого на фоне белого шума, если его импульсная характеристика имеет вид

11

g x Βc x0 x .

(1.7)

Общее преобразование, приводящее к изменению структуры сигнала после фильтрации, записывается как

x

Βв Β x g x dx

0

или, с учетом Β x Βc x Βш x ,

Bв Bс x g x dx Bш x g x dx ,

(1.8)

где g x – некоторая весовая функция. При изменении g x изменяются и значения интегралов в (1.8), и, если g x Bc x , первый интеграл принимает максимальное значение. Этот вывод следует из неравенства Буняковского:

x x x

Bc x g x dx Bc2 x dx g2(x)dx,

0 0 0

которое переходит в равенство только в одном случае, когда g x к Вc x , т.е. когда левая часть неравенства переходит через точку экстремума.

К аналогичному выводу мы придем, рассматривая поведение отношения сигнал/шум. Отклик линейного фильтра, описываемый интегралом Дюамеля при воздействии на него сигнала Вc x и белого шума Вш x в момент xd , можно представить в виде:

12

xd

Βвс Βc xd - x g x dx;

0

2 Nш g2 x dx,

В 2 0

где Nш – мощность шума на входе четырехполюсника.

В соответствии с неравенством Буняковского отношение в / будет максимальным при

g x Βc xd - x .

Тогда выражение для отклика на выходе согласованного фильтра определяется уравнением

Βв x Βc x- xd Βc x- dx,

0

которое есть функция автокорреляции входного процесса с ожидаемым сигналом. Функция автокорреляции достигает максимального значения при xd и по величине равна энергии сигнала

xd

Wc Βc2 x dx.

0

(1.9)

В свою очередь, дисперсия выходного шума при xd

Из формул (1.9) и (1.10) находится отношение максимального значения выходного сигнала к среднеквадратичному значению выходного шума:

13

Входное отношение сигнал/шум можно оценить следующим образом. Для белого шума принимается соотношение

сигнала на выходе для некоторых сигналов Βc2 Wc / x, где x– длительность сигнала. Тогда

ОСШ вых / ОСШ вх x/2 x ,

т.е. выигрыш пропорционален числу некоррелированных отсчетов, приходящихся на сигнал, и обеспечивается в основном за счет подавления составляющих шума, не попадающих в полосу частот полезного сигнала. За счет совпадения амплитудно-частотной характеристики фильтра с амплитудным спектром сигнала обеспечивается наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра сигналов. Слабо выраженные участки спектра сигнала фильтр ослабляет, подавляя одновременно и шумы, присутствующие в них. Такое преобразование искажает форму выходного сигнала. Однако для обнаружения это не имеет значения, так как цель состоит в том, чтобы наилучшим способом выделить сигнал на фоне шума.

Характеристики согласованных фильтров полностью определяются полезным сигналом. Этот результат следует из принятого предположения, что входной шум представляет собой белый шум. На практике чаще приходится встречаться с так называемым «окрашенным» шумом с неравномерной спектральной плотностью. Оказывается, что и для этого случая можно подобрать линейный фильтр, дающий на выходе максимальное отношение сигнал/шум. Такой фильтр называется оптимальным, его передаточная функция определяется формулой

(1.11)

14

где S* j t – функция комплексно-сопряженная спектру сигнала

S j t ; N t – спектральная плотность шума.

Существует ряд вариантов доказательства справедливости формулы (1.11). Мы ограничимся здесь вариантом формальных рассуждений, который основан на предположении, что оптимальный фильтр состоит из двух последовательно соединенных четырехполюсников. Первый из них характеризуется передаточной функцией K1( j ) N0 / N( t ), где N0 – постоянный коэффициент. Тогда спектральная плотность шума на выходе этого четырехполюсника N0 N( t ) N0 / N( t ),т.е. шум становится белым.

В свою очередь, сигнал, пройдя первый четырехполюсник, исказится и будет иметь спектр

S1( j t ) S( j t ) N0 / N( t ).

Согласованным фильтром для обнаружения такого сигнала на фоне шума со спектральной плотностью N0 должен быть четырехполюсник с частотной характеристикой

K2( j t ) k2S*( j t )N0 / N( t )exp( j tt0).

Общая передаточная характеристика оптимального фильтра (ОПФ) определяется характеристиками рассмотренных четырехполюсников:

K( j t ) K1( j t ) K2 ( j t ) k2N0 S*( j t )exp( j tt0 ).

(1.12)

Обеспечиваемое им на выходе отношение пика сигнала к среднеквадратичному значению шума равно

15

Согласованный и оптимальный фильтры максимизируют отношение сигнал/шум на выходе за счет спектральных различий сигнала и шума. При известном спектре сигнала вся информация, которую можно использовать для выделения сигнала на фоне шума, сосредоточена в различии их спектров. Если условие нормальности входного шума не выполняется, нельзя утверждать, что операция образования функции взаимной корреляции является оптимальной. В этом случае должны применяться более сложные нелинейные преобразования сигналов и помех.

Во многих случаях оптимальные и согласованные фильтры оказываются трудно реализуемыми на практике. С одной стороны, это обусловлено сложностью оптимальных зависимостей (см. 1.12). Другая причина обусловлена некоторой вариацией размеров сигналов ∆Вс(х) и ∆Вс(х,у) (в двумерном случае). Зрительная система сравнительно легко обнаруживает и распознает изображения пятен на снимке независимо от их размеров. Рассмотренные выше алгоритмы, основанные на выделении входных сигналов по степени их сходства с обнаруживаемым, чувствительны к изменениям геометрических (или временных) параметров сигналов.

Степень этой чувствительности можно оценить на примере обнаружения сигнала вида «цилиндр» радиусом 1 и амплитудой

∆Вс на фоне помех с равномерной спектральной плотностью

G ( r ) 2 k2 B2 ,

где r – пространственная частота; k – радиус корреляции помех фона; B2 – дисперсия флуктуаций яркости В.

Частотный спектр сигнала

B( r ) 2 Вc 21 J1 r 1 .

Здесь J1(…) – функция Бесселя, а передаточная характеристика оптимального пространственного фильтра

16

Отношение сигнал/помеха на выходе ОПФ при совмещении центров сигнала и анализатора-фильтра

Если подать на ОПФ, спроектированный на выделение сигнала с радиусом 1, аналогичный по форме сигнал с радиусом с , то,

(кривая 3). Нетрудно видеть, что мелкоструктурные выбросы фона, по форме напоминающие сигнал, подавляются сильнее, нежели крупноструктурные. На уровне 0,707 размерная селективность рассмотренного ОПФ составляет 1,75.

В практике находят применение и более простые в техническом отношении фильтры. Обеспечение простоты приводит к ухудшению надежности обнаружения. В качестве примера рассмотрим пространственный фильтр (ПФ), схематически изображенный на рис. 1.5. На его выходе формируется разность

17

сигналов в каждой точке поля Ω, отражающих средние яркости в круге радиусом 1 и окаймляющем его

Рис. 1.5. Схематическое изображение пространственных фильтров: 1,2 – чувствительные элементы, преобразующие интенсивность излучения поля в области круга (1) и колец (2) в электрический сигнал; 3 – схемы вычитания; 4 – сумматоры; 5 – схема выделения экстремума; – вектор скорости движения чувствительных элементов

кольце с внутренним и внешним радиусами 1 и 2

соответственно.

Спектральная характеристика круга (коэффициент, характеризующий его движение по изображению, не влияет на свойство размерной селекции и поэтому опущен)

H1 r 2B 1 21 1 -1 J1 r 1 ,

а внешнего кольца –

где B 1, B 2 прозрачности (чувствительности) соответствующих

элементов ПФ.

Пользуясь известными соотношениями теории линейной фильтрации:

18

i2 2 1 G r | H r |2 r d r ;

Рис. 1.6. Характеристики размерной селекции ПФ: 1 – схемы на рис. 1.5, а; 2 – схемы на рис. 1.5, б; 3 – ОПФ, настроенного на сигнал радиусом 1 ;

4 – схемы на рис. 1.5, в

2 12 22 2 1 2 r12 ;

r12 2 1 2 1 G r H1 r H2 r rd r ,

несложно найти выражение для дисперсии разности сигналов, т.е.2 с учетом выбранной выше спектральной плотности помех фона:

19