Лабораторная работа № 8

ОБНАРУЖЕНИЕ МОМЕНТОВ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Цель работы: получить навыки по применению теоретических результатов по обнаружению изменений параметров случайных процессов для решения практических задач.

Краткие сведения из теории вопроса

Стационарный случайный процесс характеризуется постоянством статистических параметров во времени. К ним относятся математическое ожидание, дисперсия и «динамичность» процесса, описываемая корреляционной функцией или спектральной плотностью. На практике часто встречаются задачи, в которых приходится иметь дело с нестационарными процессами. Моделью таких процессов является набор ограниченных во времени стационарных участков, сменяющих друг друга в процессе наблюдения за интересующим исследователя явлением.

Много практических задач (контроль производства продукции, защита информационных ресурсов, техническая и медицинская диагностика и др.) сводится к обнаружению моментов изменения (разладки) статистических свойств изучаемого процесса. Данная операция предназначена для выделения стационарных участков регистрируемых колебаний. Сопоставление параметров этих участков позволяет сделать вывод о начале разладки производственного процесса, атаки на информационные ресурсы, о переходе состояния пациента в драматическую фазу и т.д.

Предложено несколько алгоритмов решения задачи. Один из распространенных алгоритмов по обнаружению разладки изучаемого процесса формулируется следующим образом.

Дана последовательность независимых случайных величин {х1t }. Все величины x1, …, xt0-1 до момента t0 –1 имеют плотность распреде-

ления ω1(xt), а с момента t0 все xt0, …, xt – ω2(xt). Пусть момент t0 распределен по геометрическому закону P{t0 = k}= a(1 − a)k −1 и переходная

матрица состояний имеет вид

Введем апостериорную вероятность πt, рассчитываемую на каждом шаге t, а также правило подачи сигнала о разладке

ta = inf{t : πt ≥ λ},

где λ – установленный порог.

Примем вероятность начального состояния Р(0) = 1 – π; Р(1) = π. Вместо πt рассмотрим монотонную функцию zt = πt /(1 – πt), для которой рекуррентная формула имеет вид

zt = [1/(1 – а)]( zt-1 + а)[ω2(xt)/ω1(х1)]

или, обозначая ln zt = g(t), g(t) = ln(a + egt-1) – ln(1 – a) + ln[ω2(xt)/ω1(xt)].

Последний член есть логарифм отношения правдоподобия.

Если наблюдаемая последовательность распределена по нормальному закону, функция разладки приобретает вид

g(t) = ln(a + egt-1) – ln(1 – a) + [(ϴ2 – ϴ1) / σ2] [xt – (ϴ2 + ϴ1) / 2],

а правило решения – ta =inf{t : gt ≥ h}, где h – новое значение порога;

ϴ1, ϴ2 – средние значения; σ2 – дисперсия распределений.

Широко распространен также алгоритм Е.С. Пейджа – алгоритм кумулятивных сумм (АКС). Вводятся две простых гипотезы: Н2 (есть

разладка, т.е. ϴ = ϴ1) и Н1 (нет разладки, т.е. ϴ = ϴ2). Формируется кумулятивная сумма

которая сравнивается на каждом шаге с двумя порогами: – ε и h. Если на шаге t сумма St ≥ h, то принимается гипотеза Н2, если St ≤ – ε, то решение принимается в пользу Н1, при – ε < St < h выполняется t+1 на-

блюдение.

Для реализации рассмотренных алгоритмов требуется знать распределение ω(xt / ϴi) и определиться со скалярным параметром ϴi. В качестве ϴi могут использоваться математическое ожидание и дисперсия процесса. Если нестационарность проявляется в изменениях «ди-

намичности» процесса, можно проанализировать эффективность использования показателя «Плотность переходов функции через нулевую ось». В общем случае наблюдение ведется по всем показателям. Для распределений, отличающихся от нормального, в качестве таких параметров могут выступать моменты распределения более высоких порядков.

Если известны распределения параметров стационарных участков процесса, алгоритм обнаружения моментов разладки можно построить на базе формулы гипотез Байеса, классический вариант которой имеет вид

где P(Hi / Aj ) – вероятность ii=-1й гипотезы при значении признака Aj;

P(Hi) – априорная вероятность гипотезы Hi в момент поступления признака Aj; P(Aj / Hi ) – апостериорное распределение признака Aj, когда

имеет место быть гипотеза Hi.

Алгоритм (8.2) при поступлении первого отсчета А1 при наличии распределений P(A1 / Hi ) переводит его значение в вероятность гипо-

тез P(Нi / A1 ). При поступлении второго отсчета процесса А2 определяются вероятности P(Нi / A2 ) и т.д. Учитывая, что распределения P(Aj / Hi ) пересекаются и часто весьма значительно, преобразование

формулы (8.1) порождает п случайных процессов, по которым выделение истинной гипотезы оказывается затруднительным. Поэтому рекомендуется использовать модифицированную формулу вида

i=1

где Р(Гi1) = 1/n при j = 1;

Р(Гi2) = 0,5 (Р(Гi1) + P(Нi / A1 ) при j = 2;

P(Нi / Aj ) k. При k = 1 в качестве априорных вероятностей P(Hi) принимают вероятности P(Нi / Aj−1 ), найденные на предыдущем шаге.

При превышении P(Нi / Aj ) заданного порога принимается гипо-

теза Hi. Появление нового стационарного участка с другими параметрами Aj приводит к снижению вероятности этой гипотезы и увеличению новой.

Отсутствие информации о характере распределений ωi(xt), P(Нi / Aj ) делает постановку задачи о разладке процессов неопреде-

ленной. Тем не менее в литературе можно встретить предложения по ее решению, если основываться на анализе скорости изменения текущих параметров случайного процесса. В качестве таких параметров предложено использовать производные огибающих энергии и плотности переходов исследуемой функции через нулевую ось:

N(t,τ) – изменение его «динамичности». Выявление изменений математического ожидания реализуют через выделение так называемого тренда [5].

Проанализируем технологию использования приведенных сведений на примерах.

Если плотности ω(xt /ϴ2) и ω(xt /ϴ1) принять нормальными, кумулятивную сумму в формуле (8.1) можно представить в виде

ские отклонения первого и второго стационарных участков; xt – отсчет случайного процесса в момент t.

Подставляя значения поступающих отсчетов в формулу (8.4), получим последовательность случайных чисел S1, S2, …, Sn. При Sj – S1 ≥ h принимается гипотеза Н1, в противном случае – Н2.

Практическое использование рассмотренных алгоритмов – членение речевого сигнала на синтагмы. Синтагма – речевая единица, образованная одной или несколькими буквами языка, представляющая собой завершенную словесную единицу.

Для ввода исходных данных в ПЭВМ можно использовать звуковую карту Creative Soad Blaster Live 5.1. Запись сигналов производится с частотой дискретизации 22 кГц, что в соответствии с теоремой Котельникова позволяет описать колебания звукового сигнала до частоты

11 кГц.

Рассмотрим алгоритм членения речевых паролей на «стационарные» участки с использованием функции N(t,τ). При обработке записанного сигнала считаем, что если два последовательных отсчета имеют разные знаки, то состоялся переход через нулевую ось. На рис. 8.1 проиллюстрирована работа изложенного алгоритма.

Рис. 8.1. Представление сигнала в виде его пересечений с нулевым уровнем

Врезультате получаем набор данных (рис. 8.2), представленных 0

и1, где 1 – есть точка пересечения с нулем; 0 – нет точки пересечения.

0000010100001010001010000101000000101010001000100100010010000010010010101010000000

Рис. 8.2. Набор данных о пересечении сигнала с осью времени

Далее выбирается интервал τ, который «скользит» вдоль последовательности нулей и единиц слева направо и подсчитывается количество единиц, попадающих в него. Такая обработка приводит к новой, зависящей от времени, последовательности N(t,τ).

Выбор ширины интервала τ составляет основу описания сигнала с помощью интегральной функции количества переходов через нуль. Для описания быстро изменяющегося сигнала желательно иметь интервал, однако слишком малый интервал интегрирования может привести к недостаточному сглаживанию исследуемой функции. На рис. 8.3 показано влияние выбора ширины интервала интегрирования на интегральную функцию. На рис. 8.3, а изображен исходный сигнал

слова «мотор», а на рис. 8.3, б и в показаны соответствующие интегральные функции переходов через нуль при τ =1 и 250 мс.

а)

б)

в)

Рис. 8.3. Графики функций слова «мотор»: а – исходной; б, в – после интегрирования с τ = 1 и 250 мс соответственно

Для эффективного использования функции N(t,τ) необходимо подобрать интервал τ таким, чтобы при неоднократных повторениях одного и того же сообщения обеспечивалось незначительное изменение в количестве выделенных участков.

Технологию такого подбора иллюстрирует табл. 8.1, в которой приведено влияние длины интервала интегрирования на качество выделения синтагм. Подобраны слова, состоящие, по мнению экспериментатора, из трех синтагм. При реализации алгоритма автоматического выделения отличающихся по параметрам участков слова получены такие же данные при τ = 0,036 – 0,041 с.

Однако при сопоставлении выделенных участков с участками процесса, выделенными человеком, существуют расхождения. Например, в слове «экран» выделяются участки, соответствующие звукам э, к, р, а. Значительное изменение производных в начале и конце этих звуков приводит к их выделению.

При использовании алгоритма кумулятивных сумм для выделения синтагм необходимо также определить длину интервала, разделяющего их в звуковом потоке. Длина эта вычисляется экспериментальным путем. Данные эксперимента отображены в табл. 8.2, в которой приведено влияние длины интервала между синтагмами на качество выделения синтагм.

Результаты эксперимента не дают четкого ответа на вопрос об эффективном значении интервала τ. Различные дикторы произносят слова по-разному, изменяя паузы между синтагмами. Наиболее приемлемые интервалы для выделения синтагм находятся в диапазоне от

0,011 до 0,025.

В заключение приведем пример нахождения момента разладки случайного процесса с использованием классической формулы Байеса

(8.2).

Окончание табл. 8.1

Окончание табл. 8.2

Генерируем нестационарный случайный процесс, состоящий из трех участков, различающихся плотностями распределения вероятностей значений амплитуды (рис. 8.4).

а)

б)

Рис. 8.4. Изображение нестационарного случайного процесса (а), составленного из трех участков стационарных процессов с плотностями распределения вероят-

ностей амплитуд 1–3 (б)

В исходном состоянии априорные вероятности гипотез равны 1/3. При поступлении первого отсчета (1-й участок) заметного пере-

распределения вероятностей гипотез не произошло (рис. 8.5). Однако постепенно по мере поступления отсчетов первого процесса первая гипотеза становится доминирующей. После окончания первого процесса на вход алгоритма поступают отсчеты второго, что отражается на вероятностях гипотез на рис. 8.5. Третья гипотеза на этом рисунке не проявилась из-за малого числа отсчетов третьего процесса.

Рис. 8.5. Поведение вероятностей гипотез при поступлении на вход алгоритма последовательности амплитуд отсчетов нестационарного случайного процесса

Задание

1. Сгенерируйте:

-пять случайных нормальных процессов длительностью по 100 отсчетов, различающихся дисперсиями согласно соотношению σi=1,1σi-1, i = 1, 2, …, 5. Значение σ0 задается экспериментатором;

-пять случайных нормальных процессов длительностью по 100 отсчетов, различающихся математическими ожиданиями в соответ-

ствии с соотношением mi = 1,1mi-1, i = 1, 2, …, 5. Значение m0 задается экспериментатором;

-два случайных процесса длительностью по 100 отсчетов, различающихся плотностью переходов через нулевую ось. Задача решается также генерацией одного процесса, из которого формируется второй путем исключения четных пересечений нулевой оси.

2. Сформируйте:

-первый нестационарный процесс по дисперсии путем объединения пяти из первой группы отрезков следующих друг за другом стационарных процессов в один процесс;

-второй нестационарный процесс по математическому ожиданию путем объединения пяти из второй группы отрезков следующих друг за другом стационарных процессов в один процесс;

-третий нестационарный процесс из двух следующих друг за другом процессов третьей группы.

3. Оцените погрешность определения моментов разладки в каждом из трех процессов по следующим алгоритмам:

-формуле Байеса при k = 1, 2, 3;

-кумулятивным суммам;

-изменению плотности переходов функции через нулевую ось при m = 0,01μ; 0,05μ; 0,1 μ, где μ – количество пересечений на всем стационарном участке; m – количество взятых отсчетов функции, сгенерированной в ПЭВМ.

Сделайте выводы.

Содержание отчета

1.Постановка задачи.

2.Краткие сведения из теории.

3.Порядок выполнения работы.

4.Полученные результаты. Анализ. Выводы.

Порядок выполнения работы

1.Ознакомиться с описанием лабораторной работы и программным обеспечением по ее выполнению.

2.Выполнить поставленное задание (порядок выполнения приведен в руководстве пользователя программой).

Краткий пример выполнения аналогичной работы приводится ниже.

Пользуясь технологией генерации случайных процессов (лабораторная работа №4), сгенерируем 10 стационарных нормальных процессов, характеризующихся следующими параметрами. Корреляционная функция каждого из них одинакова R(τ) = 0,9 exp (– 0,1τ2), а математические ожидания соответственно равны 0; 2,5; 5; 7,5; 10; 12,5; 15; 17,5; 20; 22,5 относительных единиц. Примеры изображений таких процессов приведены на рис. 8.6, а на рис 8.7 – пример изображения сгенерированного нестационарного случайного процесса.

а)

б)

Рис. 8.6. Изображение первого (а) и второго (б) стационарных процессов

Результаты расчетов по оценке вероятностей гипотез при поступлении очередного отсчета приведены на рис. 8.8. Зная точки стыковки стационарных процессов и располагая графиком вида, представленного на рис. 8.8, оценить погрешность изложенного метода при заданных параметрах исследуемого процесса. Изменяя приращение математических ожиданий, можно установить порог, когда результаты по оценке моментов разладки становятся неприемлемыми.

Контрольные вопросы

1.Каким образом находятся моменты изменения свойств случайных процессов?

2.Можно ли использовать формулу гипотез Байеса для определения моментов изменения свойств случайного процесса?

3.Можно ли решить задачу нахождения моментов разладки процесса, не располагая информацией о плотности распределения вероятностей его параметров?

4.Какова должна быть структура алгоритма по оценке моментов изменения свойств случайного процесса, если разладка процесса может характеризоваться изменениями многих его параметров (интервала корреляции, дисперсии, математического ожидания)?