Лабораторная работа № 5

АЛГОРИТМЫ ФОРМИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

Цель работы: получить знания и навыки моделирования случайных полей.

Краткие сведения из теории моделирования случайных полей

Двумерное случайное поле описывается многомерными законами распределения его параметров. Примером такого поля может служить изображение взволнованной поверхности моря.

На практике ограничиваются использованием неполного набора вероятностных характеристик поля. Простейшему его описанию (одномерная плотность распределения интенсивности изменений) присуща некоторая асимметрия, поскольку отрицательных значений интенсивности не существует. Тем не менее эта особенность не учитывается ввиду того, что свойственный такой структуре поля разброс интенсивностей около относительно большой величины математического ожидания сравнительно невелик. Таковы характеристики сплошной облачности, пустыни, тайги и т.д. Облачность с разрывами, например, нельзя удовлетворительно аппроксимировать нормальным законом, она имеет два максимума плотности распределения, соответствующих математическим ожиданиям интенсивности каждой из двух компонент поля. Бимодальность закона распределения двухкомпонентных макроструктур поля может быть отражена с помощью наложения двух нормальных законов с различными математическими ожиданиями и дисперсиями.

При нормальном законе распределения достаточно располагать знаниями моментов первого и второго порядка: математическим ожиданием М (В) и корреляционной функцией

R (r1, r2) = M {[B(r1) – M (B)][B(r2) – M (B)]},

где B(ri) – интенсивность показателя поля в точках, определяемых значениями векторов r1 и r2. В рамках корреляционной теории можно говорить о стационарности поля в широком смысле, выражающейся в двух условиях: М (В)=const; R (r1, r2) = R (Δr), r= r2 – r1.

Задача описания случайного поля значительно облегчается, если, кроме стационарности, есть основания предполагать его эргодичность. Эргодичность означает одинаковость (в вероятностном смысле) результатов усреднения как по совокупности реализаций поля, так и по одной из них. Необходимым и достаточным условием эргодичности является затухание до нуля корреляционной функции на бесконечном интервале аргумента.

В общем случае корреляционная функция зависит от направления векторов r1, r2 в выбранной системе координат. Имеет место так называемая анизотропия поля. Если указанная зависимость не наблюдается, поле называется изотропным. Изотропность значительно упрощает описание объекта исследования.

Случайные поля часто описываются с помощью частотных представлений. Переход от корреляционной функции стационарного случайного поля к спектру дисперсий производится на основании формулы Винера–Хинчина

где ω – вектор пространственной циклической частоты, декартовы компоненты которого ωх, ωу определяют число волн (периодов), приходящихся на единицу длины, умноженное на 2π; ω r – «формальное»

скалярное произведение; Sr – область на плоскости радиуса-вектора r, имеющая бесконечную протяженность; dSr – элемент этой области.

Обратное преобразование

R( r) = (2π1)2 Э∫ωG(ω)exp( jω r)dЭω ,

где Эω – область пространственных частот, определяемая для изотропных полей формулой ωr = ωx2 + ω2y .

Известно множество аппроксимаций спектров дисперсий реальных изображений случайных полей. Одно из них характеризуется выражением вида

G(ωx,ωy ) = 4πxk ykσB2 [1+ xk2 ωx2 + yk2 ωy2 ]−3/ 2 ,

где xk, yk – интервалы корреляции случайного поля по соответствующим осям координат, определяющие радиус корреляции

rk = xk2 + yk2 – показателя снижения значения корреляционной функции до (1/l)σB2 ; σB2 – дисперсия флуктуаций исследуемого изображения.

При xk = yk = rk / 2 приведенное выражение G(ωx, ωy) принимает простой вид

G(ωr ) = 2πrk2σB2 (1+ωr2rk2 )−3/ 2 ,

по которому, используя обратное преобразование Ганкеля [заменяющее преобразование Винера–Хинчина в случае, когда пространственный спектр зависит только от модуля пространственной частоты (изотропное изображение)], находится выражение корреляционной функции

Знание функций R( r) или G(ω) позволяет промоделировать ра-

боту систем обнаружения целей на фоне помех, комплексов по оценке качества обработанных поверхностей, эффективность используемых и разрабатываемых методов стеганографии и др. Известные описания случайных полей не всегда соответствуют наблюдаемым в интересующей области исследований, а получение требуемого множества реализаций случайных полей сопряжено с большими издержками. Поэтому на практике получила распространение технология моделирования разрабатываемых систем с оценкой их параметров при разных статистических характеристиках фоновых образований. Для формирования таких образований предложен ряд алгоритмов. Наиболее распространенные из них рассматриваются ниже.

Наиболее просто моделируется случайное δ-поле – аналог дискретного «белого шума» двух переменных:

ξij = Ak ; i = 0, 1, … , N–1; j = 0, 1, … , N–1,

где Ak – значение случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами (0,1). Вид моделируемого поля показан на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Реализация двумерного случайного поля

Другой вариант случайных полей реализуется с использованием алгоритма Хабиби. Рекуррентная формула для его реализации имеет простой вид

Bij=r1, Bi-1, j + r2Bi, j-1 – r1r2Bi-1, j-1 + σB (1− r1 )2 (1− r2 )2 ξ i,j ,

где Bij – значение амплитуды поля в точке (i, j); σB – среднеквадратичное отклонение случайного поля; ξi, j – значение случайной величины, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим

ожиданием и дисперсией σВ2 ; r1, r2 – коэффициенты корреляции соседних элементов поля соответственно по осям х, у. Корреляционная

функция такого поля R(i, j) =σB2 r1|i| r2| j| .

На рис. 5.2 показана реализация случайного поля, смоделированного в соответствии с алгоритмом Хабиби.

Рис. 5.2. Случайное поле с корреляционной функцией

R(i, j) = σВ2 r1|i|r2| j| , r1= r2 = 0,5

Для начала работы алгоритма необходимо знать значения отсчетов поля в точке (0;0), в первом столбце и первой строке. Эта задача решается следующим образом. Первый отсчет принимается равным В(0,0) = σB·ξ(0;0), значения отсчетов в первом столбце вычисляются по формуле

Bi,0 = r1Bi-1, 0 + σB 1− r1 ξi, 0 ,

а в первой строке –

B0,j = r2B0, j-1 + σB 1− r2 ξ0, i .

На рис. 5.2 показана реализация двумерного случайного поля, полученная с использованием алгоритма Хабиби.

Существуют и другие подходы в построении случайных полей, основанные для их описания на спектральных моделях [4]. Продуктивность этого направления иллюстрирует рис. 5.3.

Рис. 5.3. Изображение случайного поля

с корреляционной функцией R(x, y) = exp(−0,15x2 + y2 )

Задание

1.Изучите алгоритмы формирования изотропных случайныхполей.

2.Ознакомьтесь с программой моделирования случайных полей.

3.Проведите моделирование случайных полей с использованием алгоритма Хабиби и параметров корреляционной функции, заданных преподавателем в начале проведения исследований.

4.Оцените параметры полученных полей и сравните их с заданными. Сделайте выводы.

5.Подготовьте и защитите отчет по результатам выполнения лабораторной работы.

Содержание отчета

1.Краткие сведения из теории моделирования случайных полей.

2.Последовательность проведенных исследований и выводы на основании полученных результатов.

3.Ответы на контрольные вопросы.

Порядок выполнения работы

1. Используя программный продукт по моделированию случайных полей (установлен на ПЭВМ), получить их модельные изображе-

ния, характеризующиеся различными корреляционными функциями и интервалами корреляции. С этой целью

-перейти на вкладку «Моделирование изображений»;

-выбрать алгоритм работы продукта, например, «Алгоритм Ха-

биби» (рис. 5.4);

Рис. 5.4. Вкладка «Моделирование случайного поля»

- на следующей вкладке (рис. 5.5) выбрать вид корреляционной функции;

Рис. 5.5. Выбор вида корреляционной функции поля и параметров алгоритма

-построить 5 реализаций случайного поля с различными интерва-

лами корреляции rk (0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9);

-повторить процесс построения случайных полей, выбрав в качестве характеристики экспоненциальную корреляционную функцию;

-сравнить полученные изображения, сделать выводы.

2. Найти корреляционные функции построенных изображений полей Вх,у, сравнить их с заданными при построении этих полей.

Контрольные вопросы

1.Какими характеристиками описываются стационарные и изотропные случайные поля?

2.Как сформулировать основную идею, положенную в основу моделирования однородных изотропных случайных полей на плоскости?

3.Каким образом можно записать корреляционную функцию случайного поля, полученную по алгоритму Хабиби?