Лабораторная работа № 7

ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА В ШУМЕ

Цель работы: оценить эффективность методов повышения отношения сигнал/шум в задачах обнаружения сигналов на фоне маскирующих шумов.

Краткие сведения из теории

Пусть ξ(t) представляет собой случайный процесс. В некоторый момент времени к нему прибавляется сигнал Bc(t). Будем считать, что плотность распределения флуктуаций шума Р(ξ) и суммы сигнал плюс шум Р[ξ(t) + Bc(t)] известны. Неизвестен факт наличия или отсутствия сигнала в анализируемой реализации η(t). Отношение Λ = [ Р(ξ(t) + +Bc(t)]/Рξ(t), называемое отношением правдоподобия, показывает, насколько правдоподобнее предположение о наличии сигнала, чем альтернативное предположение об его отсутствии.

Если на сигнал приходится п некоррелированных отсчетов, взятых через интервал t, и процесс ξ(t) стационарный, для нормального процесса указанное отношение правдоподобия имеет вид

где σξ – среднеквадратическое отклонение распределения Р(ξ).

Так как в рассматриваемом случае сигнал считается известным, отношение правдоподобия Λп зависит только от величины Rn =

n

= ∑η(tµ ) Bc (tµ ) , представляющей собой значение функции взаимной

µ=1

корреляции регистрируемого процесса η(t) и ожидаемого сигнала Bc(t), и характеризует степень их сходства. Обнаружитель должен вычислять текущее значение взаимной корреляции Rn и сравнивать ее с принятым порогом степени сходства η(t) с Bc(t), т.е. Rnу. При Rn > Rnу принимается решение: «В регистрируемом процессе η(t) присутствует сигнал».

Алгоритмы, по которым выбирают порог, в упрощенном варианте можно пояснить с помощью рис. 7.1. Вместо принятого выше обозначения порога Rnу, отражающего описание сравниваемых функций п

отсчетами, ограничимся одним отсчетом – амплитудой в точке tμ. Если амплитуда η(tμ) превышает пороговое значение ηП, принимается решение «сигнал», в противном случае – «шум».

Рис. 7.1. Плотности распределения вероятностей Р (ξ) и Р (ξ + Вс)

Ошибка принятия решений названа средним риском, аналитически выражаемом в виде

где Р0 и (1 – Р0) – априорные вероятности присутствия в анализируемой реализации только шума или суммы сигнала и шума; С00 и С11 – цены ошибочных решений (штрафов, потерь и др.).

Первый интеграл в формуле (7.1) характеризует ошибку первого рода (вероятность ложной тревоги), второй – вероятность пропуска сигнала. Если продифференцировать формулу (7.1) по ηП и приравнять производную к нулю, можно получить выражение для ηП в виде

Правило выбора порога в соответствии с формулой (7.2) называется байесовым.

Если априорные вероятности и цены ошибочных решений неизвестны, используется правило (алгоритм) Неймана–Пирсона. Согласно этому правилу вероятность ложной тревоги заранее фиксируется. Поскольку она функционально связана с порогом ηП, то он также оказывается заданным. Если при этих условиях вероятность пропуска сигнала оказывается неприемлемой, предпринимают попытки увеличить от-

Описанный принцип увеличения отношения сигнал/шум применим и в случае сигнала произвольной формы, если его значения на интервале существования не одинаковы.

Действительно,

ηи = ∑(ξ + Bс )i = m m1 ∑Bсi + ∑ξi = mB с + ∑ξi ,

где Вс – среднее значение отсчетов сигнала. Тогда

(Bс /σζ )и = m Bс /σζ .

Если снять условие независимости величин ξi, то эффект от применения процедуры накопления снизится. В случае стопроцентной корреляции отсчетов помех какого-либо увеличения отношения сигнал/шум получить нельзя.

Если же просуммировать несколько телевизионных (рентгенотелевизионных) кадров одного и того же изображения объекта, отношение сигнал/помеха на итоговом изображении будет выше, чем на его составляющих – слагаемых. Это обусловлено, прежде всего, тем, что собственные шумы телевизионного канала характеризуются ограниченным интервалом корреляции и межкадровая корреляция помех будет меньше единицы. Таким образом, использование принципа накопления в телевизионных системах преследует цель борьбы с собственными аппаратурными шумами.

Изложенным качественным соображениям можно дать количественную оценку. В теории вероятностей доказывается, что дисперсия суммы зависимых случайных величин выражается в виде

где М – знак математического ожидания, вторая сумма берется по всем i ≠ k. Введение разности ν = |k – i| позволяет представить ее в более удобном для анализа виде

∑∑ξi ξk = 2 ∑∑ξi ξ(1+ν) = 2m∑−1(m −ν)ξ ξν , (7.5)

i k i ν ν−1

mm−1

=∑M (ξi ) + 2∑(m −ν)M (ξ ξi ) =

где χн(ν) – коэффициент корреляции.

С учетом формулы (7.6) выражение для отношения сигнал/шум приводится к следующему виду:

где

∆g = m2 m∑−1(m − r) r(ν).

ν−1

Пусть корреляционные связи существуют только между сосед-

ними отсчетами, т.е. r(1) = r, r(2) = r(3) = … r(m – 1)=0. Тогда

∆k = 2 mm−1 r 2r;

(Bс /σξ )и = 0,59m(Bс /σξ ).

То есть при наличии корреляции между отсчетами ξ выигрыш в отношении сигнал/шум при накоплении всегда меньше, чем в случае независимых отсчетов.

Для непрерывных функций времени или координат необходимые соотношения выводятся аналогично при замене сумм интегралами. Не приводя здесь промежуточных выкладок, запишем окончательный результат

суммирования независимых значений помехи интегрированием не дает дополнительного выигрыша. По поводу метода накопления целесообразно сделать еще одно замечание. Метод накопления позволяет увеличить надежность обнаружения сигналов. Однако за этот выигрыш приходится расплачиваться увеличением времени контроля и усложнением аппаратуры.

Задание

1.Познакомьтесь с «краткими сведениями из теории» и сформулируйте ответы на контрольные вопросы.

2.Сгенерируйте 10 реализаций стационарных случайных процессов с экспоненциальной корреляционной функцией, нулевым мате-

матическим ожиданием, дисперсией σξ2 =1, интервалом корреляции τk.

3. В середине каждой реализации сформируйте участок, соответствующий сумме сигнала и текущих значений случайного процесса. Параметры сигнала: форма – прямоугольный импульс; амплитуда – Bc= σξ, 2 σξ, 3 σξ; длительность – τс = τk.

4.Установите уровни σξ, 2 σξ, 3 σξ и оцените длительности выбросов исследуемой реализации с сигналом rв за установленный уровень. Постройте функции «Число выбросов за установленный уровень

взависимости от отношения τс /τk» при разных значениях уровней.

5.Проделайте аналогичные операции с процессами, полученными из исходных реализаций, после фильтрации согласованным фильтром (корреляционным обнаружителем). Очевидно, пороги возрастут до

Bc= σс.

6.Проделайте аналогичные операции с суммой реализаций, увеличив пороги относительно одной реализации в 10 раз.

7.Постройте графики полученных функций KЛВ = f(rc /τk, Bc / σξ ).

Содержание отчета

1.Задание.

2.Краткие сведения из теории вопроса.

3.Описание выполняемой операций задания. Результаты.

4.Анализ результатов. Выводы.

Порядок выполнения работы

1.Изучить теоретический материал.

2.Ознакомиться с руководством пользователя программы.

3.Сгенерировать 10 реализаций стационарных случайных процессов с корреляционной функцией R(τ)=exp(–ατ2), математическим

ожиданием т=0 и дисперсией σξ2 =1; α = 1.

4. Построить графики R(τ) и спектральной плотности процессов G(ω), описываемых формулой π /α exp(−ω2 / 4α) и характеризуемых энергетической шириной спектра ∆fЭ = α /π. При генерации реализаций использовать результаты лабораторной работы № 4.

5.Сформировать процессы исследуемых сигналов путем наложения прямоугольного сигнала на каждую реализацию случайного процесса в соответствии с п. 2 задания.

6.Построить графики числа выбросов за установленный уровень

взависимости от отношения τв /τk для трех уровней, выбранных в соответствии с п. 3 задания, τв – длительности выбросов; τk ≈1/ΔfЭ.

7.Получить аналогичные графики для процессов на выходе корреляционного обнаружителя с учетом изменения порогов до Bc·τc.

8.Проделать аналогичные операции с суммой десяти исследуемых реализаций с учетом увеличения порогов в 10 раз.

9.Оформить отчет по результатам исследования и презентацию для защиты лабораторной работы.

Контрольные вопросы

1.Для какой цели используется согласованный фильтр?

2.Какими параметрами характеризуют согласованный фильтр?

3.Какую форму имеет распределение длительностей выбросов случайного стационарного процесса над заданным уровнем? Каков физический смысл понятия «интервал корреляции процесса»?

4.Каким показателем можно охарактеризовать эффективность метода накопления?