Лабораторная работа № 4

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Цели работы: ознакомиться с алгоритмами генерирования случайных процессов на ПЭВМ с заданными корреляционными функциями и оценить различие заданной и расчетной корреляционных функций в зависимости от длины, используемой для расчета реализации.

Краткие сведения из теории моделирования случайных процессов

Алгоритмы моделирования случайных процессов включают этап получения реализаций псевдослучайных величин с заданными законами распределения. Для этого используются стандартные независимые случайные величины с равномерным на отрезке [0;1] распределением (генераторы случайных полей). Распространение получили следующие методы генерирования: квадратов, произведений, мультипликативный конгруэнтный и смешанный конгруэнтный.

Вметодике квадратов текущее случайное поле возводится в квадрат и из результата средних разрядов выделяется следующее случайное число.

Вметодике произведений два следующих друг за другом случайных числа умножают и из средних разрядов произведения формируют следующее случайное число.

Вмультипликативном конгруэнтном методе для получения последовательности случайных чисел с равномерным законом распределения

0 в противном случае

используется рекуррентное соотношение xi-1=bxi(mod M), где xi-1 – остаток от деления bxi на число М; b – постоянная; М – число, ограничивающее диапазон случайных чисел.

Алгоритм генерации случайной последовательности по изложенному методу:

•по разрядности сетки ПЭВМ (т.е. К) выбирают число М. Для

К=32 М=232 – 1;

•выбор b: любое целое положительное число меньше М;

•x0 – произвольное число меньше М;

•вычисляются bx0, п меньших разрядов и используются в качестве первого члена последовательности, остальные разряды отбрасываются;

•производится нормализация bx0 путем деления его на М;

•переход к вычислению следующего члена последовательности. Существуют и другие способы получения случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0;1], методы проверки алгоритма генерации приведены в работе [1].

Программы для получения псевдослучайных величин с указанным законом распределения входят в математическое обеспечение современных компьютеров. Основными статистическими пакетами на российском рынке программного обеспечения являются:

- пакет SPSS для различных платформ: Windows, Macintosh, Unix; - пакет STATISTICA;

- пакет STATGRAPHICS;

- пакет STADIA, разработан НПО «Информатика и компьютеры». Пакеты содержат широкий набор методов анализа из всех облас-

тей статистики.

Для получения последовательностей чисел с другими законами распределения вероятностей при наличии последовательности чисел, равномерно распределенных в интервале [a;b], предложено много алгоритмов [2]. Простейший из них основан на разбиении отрезка [0;1]

на последовательные отрезки 1,…, п, длины которых равны соответственно вероятностям реализуемого закона распределения плотности

n

вероятностей р1,…, рп∑pk . Далее разыгрывается значение величины х

k=1

ипринимается х = ξk, если х k. Дискретная последовательность ξk будет иметь заданное распределение рk.

Для установления границ желаемого диапазона ξk [a;b] используется соотношение

ξk = a + (b – a)x.

Следующий этап: сгенерированной последовательностью случайных чисел строится реализация случайного процесса. Последовательность случайных чисел в определенном диапазоне частот имеет постоянную спектральную плотность («белый шум»). Фильтры изменяют спектральную плотность (и, следовательно, корреляционную

функцию процесса). Простейший вариант фильтра – апериодическое звено первого порядка, описываемое уравнением

dy/dt = T -1(y – ξ),

где Т – постоянная времени. Решение уравнения имеет вид

уп+1 = уп (Т(Т/ / t)t−) 1 + (Тξ/T t) ,

а корреляционная функция процесса на выходе фильтра

Ry(τ) = σу2e−|τ| /T.

Существует большое число моделей фильтров, позволяющих получить случайный процесс с заданной корреляционной функцией [3].

Сгенерированный процесс на интервале t (0;∞) характеризуется заданным законом распределения и корреляционной функцией (с погрешностью, определяемой параметрами фильтра). Реализации конечной длительности не полностью отражают изучаемый процесс, что обуславливает появление дополнительной погрешности.

В данном учебном пособии используется упрощенный вариант генерации с корреляционной функцией

R(τ) = Dexp (–ατ),

здесь D – дисперсия процесса; коэффициент α определяет корреляцию (статистическую зависимость) соседних отсчетов (считаем α>0).

Для моделирования гауссовского случайного процесса с экспоненциальной функцией корреляции часто используется следующий алгоритм:

x(n) = k1e(n) + k2x(n – 1);

k1 = D(1−k22 ); k2 = exp(–α),

где e(n) – значения дискретного «белого» гауссовского шума с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией в точке п. Параметрами модели в данном случае являются дисперсия выходного

моделируемого процесса D и параметр α, который определяет статистическую связь соседних случайных отсчетов. При моделировании нормированный коэффициент корреляции exp(–α) определяет нормированную корреляцию соседних отсчетов случайного процесса и практически задается из интервала от 0,9 до 0,9999. Когда этот коэффициент равен 1, то все значения случайного процесса становятся одинаковыми, а когда этот коэффициент стремится к 0, то получается рассмотренная ранее модель – дискретный «белый» гауссовский шум.

Задание

1. Ознакомьтесь с текстовым материалом раздела «Краткие сведения из теории моделирования случайных процессов».

2.Пройдите тестирование и после допуска к работе выполните предлагаемые задания.

3.Изучите программу генерации случайного процесса.

4.Исследуйте погрешности вычисления функции корреляции в зависимости от длины выборки случайного процесса.

Содержание отчета

1.Задание.

2.Моделирование случайных процессов с различными корреляционными функциями.

3.Графики корреляционных функций (и соответствующих им спектральных плотностей на одном листе вместе с графиком сгенерированного процесса).

4.Выводы.

5.Список литературы, использованной при подготовке к выполнению работы.

Порядок выполнения работы

1.Ознакомиться с текстовым материалом настоящей работы (программа позволяет вывести текст на экран монитора).

2.Пройти тестирование на знание теоретического материала в режиме взаимодействия с ПЭВМ «тест–ответ» (программу взять у преподавателя).

3. С помощью программы сгенерировать нормальный случайный процесс (2000 отсчетов) с корреляционной функцией K(τ) = σ2e-ατ . Для генерации случайного процесса необходимо:

-задать коэффициент корреляции;

-задать необходимое количество отсчетов;

-нажать на кнопку «Построить»;

-для сохранения выборки необходимо нажать на изображение блокнота.

Рис. 4.1. Изображение сгенерированного процесса

4.Построить функцию корреляции сгенерированного случайного процесса, используя 100 отсчетов, 200 отсчетов и т.д. (до 2000 отсчетов).

5.Вычислить относительное уклонение полученных функций корреляции от заданной при генерировании процесса:

где τi = i τ; п – число используемых отсчетов реализации.

6.Построить графики σ(n) = f(n) для различных коэффициентов

α: 0,1; 0,2; … ; 0,9.

7.Вычислить спектральные плотности функций, используемых для построения корреляционных функций.

8.Сделать выводы.

Контрольные вопросы

1.Что характеризуют плотность распределения случайного процесса и его корреляционная функция?

2.Какой функцией корреляции характеризуется «белый шум»?

3.При каком коэффициенте корреляции между сечениями случайного процесса можно сделать вывод об их независимости?