3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ (МКР)

Идея метода конечных разностей (МКР) известна давно, с соответствующих трудов Эйлера. Однако практическое применение этого метода было тогда весьма ограничено из-за огромного объема ручных вычислений, связанных с размерностью получаемых систем алгебраических уравнений, на решение которых требовалось огромное количество времени. В настоящее время с появлением быстродействующих компьютеров этот метод стал удобен для практического использования и является одним из наиболее эффективных при решении различных задач по расчету и проектированию строительных конструкций.

Основная идея МКР для приближенного численного решения краевой задачи дифференциального уравнения состоит в том, что:

-элемент разбивается сеткой с определенным шагом s, строится сеточная область, которая является приближением элемента;

-дифференциальное уравнение изогнутой поверхности элемента заменяется соответствующим конечно-разностным уравнением;

-с учетом граничных условий устанавливаются значения искомых решений в граничных узлах элемента.

Выбор сеточной области зависит от конкретной задачи, но всегда надо стремиться к тому, чтобы контур сеточной области наилучшим образом аппроксимировал решаемый элемент.

В данном учебном пособии рассмотрим способ решения пластин и стержней методом конечных разностей.

3.1.Расчет прямоугольных пластин методом конечных разностей

Пластиной называется тело призматической формы, у которой толщина мала по сравнению с двумя другими размерами.

Плоскость, равноудаленная от оснований пластины (делящая толщину пластины пополам), называется серединной плоскостью

(рис. 3.1).

По конфигурации основания пластины различают прямоугольные, трапециевидные, секториальные, круглые и т.д.

40

где v – прогиб произвольной точки серединной поверхности пластины,

q – распределенная нагрузка, перпендикулярная к серединной плоскости пластины,

D – цилиндрическая жесткость пластины, определяемая по формуле

где E – модуль упругости материала пластины (кгс/м2), h – толщина пластины (м),

μ – коэффициент Пуассона.

Для того чтобы уравнение (3.1) представить в конечноразностном виде на прямоугольной пластине, построим сетку (рис.3.2), состоящую из одинаковых ячеек размерами x и y

y – шаг сетки по оси y; x – шаг сетки по оси x.

Рис.3.2. Нумерация точек сетки пластины

42

Тогда уравнение (3.1) принимает вид

где α= y2/ x2.

Графически уравнение (3.3) может быть изложено в виде оператора (рис.3.3).

Выделяя из уравнения (3.3) значение прогиба в точке (x:y) и применяя это выражение для всех точек пластины, можно получить систему взаимосвязанных уравнений, которые легко решить в систе-

ме MS Excel.

Рис.3.3. Графическое изображение уравнения 3.3

3.1.1. Определение внутренних усилий

Если решение дифференциального уравнения (3.1) в виде v=f(x:y), то изгибающие моменты, приходящиеся на единицу длины сторон пластины, (рис.3.4) параллельных оси (Y) Mx, оси (X) My, а так же крутящий момент Mxy определяется по формулам

43

Рис.3.4. Расчетная схема для определения внутренних усилий в пластине

Поперечные усилия (параллельные оси Z), отнесенные к единице длины сторон, параллельных осям X и Y, определяются по формулам

44