Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1944

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Раздел 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Неопределённый интеграл и его свойства

f x dx F x C,

где F x f x ; C − произвольная постоянная; F(x) C − семейство первообразных.

1.dF x F x C;

2.d f x dx f x dx;

3.kf x dx k f x dx;

4.f x g x dx f x dx g x dx;

5.Инвариантность формулы интегрирования: f (u)du F(u) C,

где u (x) − произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Таблица простейших интегралов

0dx C

sin xdx cosx C

dx x C

cosxdx sin x C

xndx

xn 1

n 1

t g x C

n 1

cos2 x

ctg x C

sin2 x

axdx

exdx ex C

lna

arcsin

C, a 0

arctg

C, a 0

x a

x2 a

x2 a2

x a

sin x

cos x

Методы интегрирования

Метод интегрирования

П р и м е р

1. Непосредственное интегрирование

4dx 2xdx 4

1 dx

– интегрирование с использованием

свойств неопределенного интеграла и

4ln x C

тождественных преобразований над

f (x)

2. Замена переменной

x t

2 (t 1)dt

1 случай

x (t 1)2

Замена

dx 2(t 1)dt

f (x)dx

f (t) (t)dt

x (t)

2 dt 2 dt 2t 2lnt C

случай

(подведение

под

знак

2(1

x) 2ln(1

x) C

ln x

дифференциала)

Замена

f t dt

ln x ln x dx ln xd(ln x)

f ( (x)) (x)dx t (x)

ln x t

tdt t2

ln2 x C

Формулы для наиболее часто

встречающихся дифференциалов

Почти табличные интегралы:

f (ax b)dx 1

dx 1 d ax b ;

1 dx 2d x ;

f (ax b)d(ax b)

cosxdx d sin x; sin xdx d cosx

F(ax b) C

exdx dex;

xdx 1 dx2 ;

dx d 1

;

d(3x 1)

3x 1

ln3x 1 C

1 dx d ln x;

dx d tgx

3x 1

cos2

3. Интегрирование по частям

u x 5

udv uv vdu

du dx

Рекомендации по использованию

(x 5)sin 2xdx dv sin 2xdx

метода

v 1 cos2x

coskxdx

arccos x

sinkxdx

arcsin x

Pndx

arctgx

(x 5)cos2x

cos2xdx

akxdx

loga x

1 (x 5)cos2x 1 cos2xd(2x)

1 (x 5) 1 sin 2x C

Интегрирование различных функций

Интегрирование рациональных дробей

Основные

Формулы

понятия

Многочлен

P (x) a

a x a

xn − многочлен степени n,

простейшая рациональная функция

Рациональная

Pn x

− отношение многочленов

Qm x

дробь

Виды

Pn x

правильная,

если n m и неправильная, если n m

рациональных

Qm x

дробей

Представление

С помощью деления числителя на знаменатель приводится к

Pn x

r x

, где M x − многочлен (целая

неправильной

виду:

M x

рациональной

Qm x

дроби

часть при делении); r x − остаток от деления

;

II.

n 1;

Типы

x a

x a n

простейших

III.

M x N

; IV.

M x N

, n 1

рациональных

дробей

px q

x2 px q

x2 px q − не имеет действительных корней

dx Aln

x a

C ;

x a

C ;

x a n

n 1

x a n 1

При интегрировании дробей III и IV типов пользуются

подстановкой x

t, приводящей знаменатель

Интегрирование

простейших

p 2

виду t

где

дробей

px q x

Формула приведения

2n 3

x2 k2 n

x2 k2

2 n 1 k2 x2 k2 n

n 1

Правило разложения дроби Pn (x) (n<m) на сумму простейших

Qm (x)
дробей. Если Qm (x) (x a) (x b)k	(x2	px q) (x2	gx l)s , то

каждому сомножителю соответствует сумма простейших дробей вида:

			A
(x a)
			x a

...

(x b)k

(x b)2

(x b)3

(x b)k

x b

Mx N

x2 px q

2 px q

M1x N1

Ms x Ns

(x2 gx l)s

...

x2 gx l

(x2 gx l)s

Схема вычисления

П р и м е р

Pn (x)

dx ,

x2 x 13

(x 1)2(x2 4)

Qm (x)

где n m

Разложить

дробь

на

x2 x 13

Cx D

простейшие

(x 1)2(x2 4)

x 1

(x 1)2

x2 4

Найти

методом

1) x

x 13 A(x 1)(x

4) B(x

неопределенных

(Cx D)(x 1)2

x3(A C) x2( A B D 2C)

коэффициентов

коэффициенты

x(4A C 2D) x

( 4A 4B D);

разложения:

привести

дробь

A C 0,

правой части к общему

знаменателю;

; B 3;

A B D 2C 1,

приравнять

4A C 2D 1,

коэффициенты

при

; D

одинаковых степенях х

4A 4B D 13

(

3/5х 7 /5

)dx

Проинтегрировать

5(x 1)

(x 1)2

х2

простейшие дроби

x 1

x2 4

arctg

x 1

Интегралы от тригонометрических функций

1. Интегралы вида sinn xcosm xdx.

Случай

Подстановка

П р и м е р

sin3 xcos2

xdx

n − нечётное

t cosx

1 cos2

x sinxcos2 xdx

1 cos2 x cos2

xdcosx

cos4

x cos2

x dcosx

m − нечётное

t sinx

cos

1 cos2x

sin

n и m − чётные

cos2

xdx

1 cos2x dx

1 cos2x

неотрицательные

cos

числа

sin2x C

sinxcosx

sin2x

n и m − либо

sin2 x

cos6

cos2 x

cos2

оба чётные, либо

= tg2x1 tg2x d tgx

оба нечётные,

t tgx илиt ctgx

причём хотя бы

tg2x tg4x d(tgx)

один из них

tg3x

tg5x

отрицателен

2. Интегралы

вида

R sin x,cos x dx,

где

− рациональная

функция.

Используется

универсальная

подстановка:

t tg

1 t2

2dt

где sin x

cos x

, dx

1 t2

2dt

П р и м е р .

t tg

3 sin x cosx

1 t2

(1 t2)(3

)

1 t2

d(t

)

1 2tg

arctg

t2 t 2

)

3.	Интегралы	вида	sinmxcosnxdx,	cosmxcosnxdx,
sinmxsinnxdx интегрируются			на основании тригонометрических

формул:			sinmxcosnx 1 sin m n x sin m n x ,
			sinmxcosnx 1 sin m n x sin m n x ,
					2
			cosmxcosnx 1 cos m n x cos m n x ,
					2
			sinmxsinnx 1 cos m n x cos m n x ,
					2	sin x sin x.
				cos x cos x,		sin x sin x.
			Интегрирование иррациональных функций
	Случай								Подстановка
R x,n xm ,q xp ,...,g xs dx					x tk , где k				− наименьшее общее кратное
R x,n ax b dx					показателей корней, т.е. чисел n, q,...,g
R x,n ax b dx					ax b tn
		n	ax b		ax b		n
		n	ax b		ax b	t	n
R x,			cx d	dx	cx d	t
			cx d		cx d
R x,			a2 x2 dx		x asint			x acost
R x,			x2 a2	dx	x atgt	x actgt
R x,			x2 a2	dx	x a/cost				x a/sint
					Подстановки Эйлера:
R x,	ax2 bx c dx				1) a 0 ax2 bx c t x a
R x,	ax2 bx c dx				2) c 0 ax2 bx c tx c
					3) x1,x2 действительные корни уравнения
					ax2 bx c 0					ax2 bx c x x t
										1
					p − целое число x tq , q − общий
					знаменатель дробей m и n
Биноминальные выражения					m 1 − целое число a bxn tr , r −
Биноминальные выражения					n
xm a bxn pdx					n
xm a bxn pdx					знаменатель дроби p
					m 1 p − целое число a x n b tr ,
					n
					r − знаменатель дроби p
					30

Определённый интеграл, его свойства и вычисление

Определение

Пусть функция y f (x) определена и непрерывна на отрезке a,b .

Разобьём отрезок a,b на n частей точками a x0 x1 x2 ... xn b.

Выберем на каждом элементарном отрезке xi 1,xi произвольную точку i

и обозначим через xi xi xi 1 длину каждого такого отрезка.

Интегральной

суммой для

функции

y f (x)

на

отрезке

a,b

) x

f ( ) x

f (

) x

... f (

) x

называется сумма вида f (

i 1

y f (x)

отрезке a,b

Определённым интегралом

от

функции

на

называется предел

интегральной

суммы

при xi

0, не

зависящий от

способа разбиения отрезка a,b на части, ни от выбора точек i в них.

b	n
Обозначение: f (x)dx	lim f ( i ) xi , где x − переменная
a	max xi 0i 1

интегрирования, a и b − нижний и верхний пределы интегрирования.

Теорема существования определённого интеграла: Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a,b , то она интегрируема на нем.

Свойства

Аддитивность по области	b	c	b
Аддитивность по области	f x dx f x dx f x dx
интегрирования	f x dx f x dx f x dx
интегрирования	a	a	c
	a	a	c
Аддитивность	b	b	b
Аддитивность	f x g x dx f x dx g x dx
по функции	a	a	a
	a	a	a
	b	b	f x dx
Однородность	k f x dx k		f x dx
	a	a
Интегрирование		b	b
Интегрирование	f x g x f x dx g x dx
неравенств		a	a
		b
Теорема «о среднем»	c a;b : f (x)dx f (c)(b a)
		a
Перестановка пределов	b	a
Перестановка пределов	f	x dx f x dx
интегрирования	f	x dx f x dx
	a	b
Производная от интеграла с	x
переменным верхним пределом			f (x)
интегрирования		f (t)dt	f (x)
интегрирования	0

Методы вычисления определенного интеграла

Название метода

Формула

П р и м е р

Формула

f (x)dx F(x)

ln xdx

(ln x)2

Ньютона–

Лейбница

ln xd(ln x)

F(b) F(a);

(lne2 )

(lne)

где F (x)

f (x)

Интегрирование

по частям

udv uv

vdu

xcosxdx xsin x

sin xdx

sin cosx|0 cos cos0 2

Интегрирование

x (t)

x 1

подстановкой

f (x)dx ( ) a

xdx

2tdt dx

2tdt

( ) b

x 1

x 3 t 2

x 8 t 3

f ( (t)) (t)dt

2 t2 1dt

Несобственные интегралы

I род Интеграл с бесконечным

II род

пределом

Интеграл от функции, имеющей разрыв

	f x dx	b	f x dx,
	f x dx	lim	f x dx,	b	c	b
a		b a			f x dx lim	f x dx lim f x dx
b		b		a	0 a	0 c
f x dx		lim f x dx		где x c − точка разрыва II рода, a c b
		a a

Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится. При наличии конечного предела говорят, что интеграл

сходится.

П р и м е р

lim

b dx

1 x2

lim

Интеграл сходится.

4	dx	4		dx		2		4
			lim		lim

0	x x			x x			x
0	x x			x x			x
			0		0

lim 1 .

Интеграл расходится

Геометрические приложения определённого интеграла

Площадь плоской области

Площадь криволинейной трапеции

1-й случай

x a;b : f (x) 0

y f (x)

S f (x)dx

2-й случай

y c;d : (y) 0

S (y)dy

x (y)

3-й случай

Кривая задана параметрическими

уравнениями:

x x t ,

t ;

S y t x t dt

y(t) 0;

y y t ,

Площадь плоской области в декартовых координатах

1-й случай

b X

x a;b : f (x) 0

f x

y f (x)

2-й случай

y f2(x)

x a;b ; f2 (x) f1(x)

f2 x f1 x dx

y f1(x)

Окончание таблицы

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

r r( )

r2 d

Длина дуги кривой

Способ задания кривой

Формула

y f x

1 f 2 x dx

r r( )

r2 r 2d

x x t ,

t ;

x 2 t y 2 t dt

y y t ,

Объемы и площади тел вращения

Вращение криволинейной

тра-

пеции,

ограниченной непрерывной

y f (x)

кривой

y f (x),

осью абсцисс и

прямыми

x a

x b вокруг

2 x dx ,

оси ОХ: VOX f

оси ОY: V 2 x f x dx.

SOX 2 f x 1 f 2 x dx

Вращение

криволинейной

трапеции, ограниченной непре-

рывной

кривой

x (y),

осью

x (y)

ординат и прямыми

y c и

y d

вокруг

оси ОУ: V

2 y dy

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021341.93 Кб13194.pdf
#
07.01.20212.25 Mб21940.pdf
#
07.01.20212.25 Mб71941.pdf
#
07.01.20212.25 Mб241942.pdf
#
07.01.20212.26 Mб661943.pdf
#
07.01.20212.26 Mб141944.pdf
#
07.01.20212.27 Mб81945.pdf
#
07.01.20212.27 Mб91946.pdf
#
07.01.20212.27 Mб41947.pdf
#
07.01.20212.27 Mб201948.pdf
#
07.01.20212.28 Mб181949.pdf