1944
.pdf
Взаимное расположение прямых в пространстве |
||||||||
|
Условия расположения прямых: |
|||||||
Расположение прямых |
x x1 y y1 z z1 ; |
|
||||||
m1 |
|
n1 |
|
|
p1 |
|
|
|
в пространстве |
x x2 y y2 z z2 |
|
||||||
|
|
|||||||
Параллельность |
m2 |
|
n2 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
s1 || s2 |
|
m1 |
|
n1 |
|
p1 |
|
|
m2 |
n2 |
p2 |
|
||||
s2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перпендикулярность |
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
s1 s2 m1m2 n1n2 p1p2 0 |
|||||||
s1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пересечение |
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
cos S1 S2 |
|
m1m2 n1n2 |
p1 p2 |
||||
|
|
|||||||
S1 S2 |
m12 n12 p12 |
m22 n22 p22 |
||||||
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Скрещивание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1(x1,y1,z1), M2(x2, y2,z2 ) |
|||||||
|
|
_______ |
|
|
|
|
|
|
M1 s1 |
M1M2,s1,s2 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|
||||
s2 |
m1 |
|
n1 |
|
|
p1 |
0 |
|
M2 |
m2 |
|
n2 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
Взаимное расположение прямой и плоскости |
||||||
|
Условия расположения |
|||||
Расположение прямой и |
прямой x x0 y y0 z z0 |
|||||
плоскости |
|
m |
|
n |
p |
|
|
и плоскости Ax By Cz D 0 |
|||||
Параллельность |
|
|
|
|
|
|
s |
N s N s 0 |
|
||||
|
|
|||||
N |
|
Am Bn Cp 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Перпендикулярность |
|
|
|
|
|
|
s |
N s 0 A B C |
|||||
|
m |
n |
p |
|||
N |
|
|
|
|
|
|
Пересечение |
|
|
|
|
|
|
N |
sin |
Am Bn Cp |
||||
|
||||||
|
|
m2 n2 p2 |
||||
|
A2 B2 C2 |
|||||
Условие принадлежности |
|
Am Bn Cp 0, |
||||
прямой плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
Ax0 By0 Cz0 D 0 |
|||||
|
Ax By Cz D 0, |
|||||
|
|
x x0 |
mt, |
|
||
|
|
|
||||
Точка пересечения прямой |
|
y y0 |
nt, |
|
||
|
|
|||||
с плоскостью |
|
z z0 pt. |
|
|||
|
|
|||||
|
Если прямая и плоскость не |
|||||
|
параллельны, то находят значение |
|||||
|
параметра t |
и затем определяют искомые |
||||
|
координаты |
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат уравнением второй степени относительно текущих координат x, y и z.
|
Эллипсоид |
|
|
Конус |
|
|||||||
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1. |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
0. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
a2 |
b2 |
c2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Однополостный гиперболоид |
Двуполостный гиперболоид |
||||||||||||
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||||
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
||||||
32
Эллиптический параболоид
x2 |
|
y2 |
2z. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
Эллиптический цилиндр
x2 y2
a2 b2 1.
Гиперболический цилиндр
x2 y2
a2 b2 1.
Гиперболический параболоид
x2 |
|
y2 |
2z. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
Параболический цилиндр y2 2px.
33
Раздел 8. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Числовые множества
N 1,2,3,... – множество натуральных чисел; Z 0, 1, 2, 3,...
m
– множество целых чисел; Q – множество рациональных
n
чисел, где m Z, n N ; R X – множество действительных чисел (множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей), где
X .
x |
|
x, |
|
если |
х 0, |
|
|
|
|
– абсолютная величина действительного |
|
|
|
|
х, |
если |
х 0 |
|
|
числа х (модуль числа х). х а означает расстояние между точками х
и а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
– окрестность |
|
точки а есть интервал вида (а , а ), где |
||||||
0 задает радиус окрестности. Если |
x (а , а ) (или |
x O (a)), |
||||||
то a x a (или |
|
х а |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
a |
|
x |
X |
|
|
|
|
|
а |
|
|||
Функция, способы ее задания и свойства |
|
|||||||
Если каждому |
|
элементу |
множества Х (х Х ) ставится в |
|||||
соответствие вполне определенный элемент y (y Y), то говорят, что на множестве Х задана функция y f (x). Переменная х – независимая переменная или аргумент. Множество Х – область определения функции (D( f )), множество Y – область значений функции (E( f )).
Способы задания |
Определение |
П р и м е р |
|
функции |
|||
|
|
Аналитический |
|
В виде формулы |
|
|
y lg(x 3), |
|
|
|
||||||
|
|
|
D(f ) x : x 3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Табличный |
х |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
х |
|
1 |
2 |
|
… |
|
|
y |
y1 |
y2 |
… |
yn |
|
y |
|
4 |
9 |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
25
Окончание таблицы
|
|
|
|
В виде |
графика – |
|
Y |
|
|
|
|
множества |
точек (х, y) |
|
|
||
|
|
|
плоскости, абсциссы которых |
|
y=f(x) |
|
||
|
Графический |
|
|
|
|
|||
|
|
есть значения аргумента х, а |
|
M(x,f(x)) |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ординаты – соответствующие |
|
X |
|
||
|
|
|
им значения функции y f(x) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Пусть |
для |
х1,х2 D( f ) f (x1) f (x2 ). Тогда для |
|||||
y E( f ) |
одно |
значение |
x g(y) D( f ) : y f (x). Функция |
|||||
|
x f 1(y) g(y), |
определенная на E( f ), |
называется обратной для |
|||||
функции y f (x). |
|
|
|
|
|
|||
Y |
y x |
|
y x2 |
y 
x
X
0
Обозначим аргумент обратной
функции |
через х, а |
функцию |
через y: |
y g(x). |
Графики |
взаимно-обратных |
|
функций |
y f (x) |
и |
y g(x) |
симметричны относительно прямой y x.
П р и м е р. |
y x2 имеет обратную |
|
функцию y |
|
при x 0. |
x |
||
Свойства |
|
|
|
|
Определение |
|
|||||
|
Если |
x X f ( x) f (x), |
то f (x) четная |
и ее |
|||||||
Четность |
график симметричен относительно оси OY, |
если |
|||||||||
f ( x) f (x), |
то |
f (x) нечетная и ее график |
|||||||||
|
|||||||||||
|
симметричен относительно О(0,0) |
|
|
|
|
|
|||||
Монотонность |
Если |
x1 |
x2 |
X |
f (x1) f (x2 )(f (x1) f (x2 )), |
||||||
то f (x) строго возрастает (строго убывает) на Х |
|
||||||||||
|
|
||||||||||
Ограниченность |
Если |
|
М 0: |
x X |
|
f (x) |
|
M , то |
f (x) |
||
|
|
||||||||||
ограничена на Х. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Периодичность |
Если x X f (x T) f (x), |
|
то f (x) периодическая |
||||||||
с периодом Т |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
26
Графики основных элементарных функций
Линейная функция y kx b
k 0 |
Y |
Y |
k 0 |
|
k 0 |
|
|
|
b |
|
y b |
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
0 |
0 |
|
Степенная функция y xn
а) n – натуральное число
Y |
y x3 |
Y |
y x2 |
X
0
X
0
б) n – целое отрицательное число
Y |
1 |
Y |
|
|
y |
|
|
x
1 y x2
X
0
X
0
27
в) дробно-рациональные значения n
Y |
|
|
|
|
y 3 x |
Y |
y x |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
X |
X |
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
Показательная функция |
Логарифмическая функция |
|
y ax |
|
y loga x |
Y |
Y |
a 1 |
|
||
X
0 a 1 |
a 1 |
X |
0 a 1 |
0
Тригонометрические функции и обратные к ним функции
Y
y=sinx
y=cosx
1
X
2
2
28
Y |
y=arcsinx |
Y |
y=arccosx |
2
2
X
X
1
1
y=ctgx
y=tgx
Y
1
X
2
|
Y |
|
|
Y |
|||
y=arctgx |
|
|
|
y=arcctgx |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
0 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
X
29
Правила построения графиков функций сдвигами и деформациями графиков известных функций
|
|
Правила построения |
|
|
П р и м е р |
||||||||||||||
y f (x a) |
|
|
– |
сдвиг |
графика |
Y |
|
y x2 |
y (x 2)2 |
||||||||||
y f (x) на |
|
a |
|
|
|
единиц |
вдоль оси |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
ОХ (вправо, если a 0, и влево, если |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y f (x) b |
|
|
– |
сдвиг |
графика |
|
|
|
|
y x2 |
2 |
||||||||
y f (x) на |
|
|
b |
|
единиц вдоль оси |
Y |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ОY (вверх, если b 0, и вниз, если |
y x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
f (x) |
|
|
|
|
− |
зеркальное |
Y |
|
y | x3 | |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
отражение графика y f (x) от |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
оси ОХ для x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y kf (x) |
– |
растяжение |
(сжатие) |
|
y=2cos(x) |
||||||||
графика y f (x) вдоль оси OY в k |
|
||||||||||||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
y=cos(x) |
||||||
раз ( |
раз )при k 1 (при |
0 k 1) |
2 |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
k |
|
|
|
1 |
|
X |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
y f (mx)– |
сжатие (растяжение) |
Y |
|
|
y=cos(2x) |
||||||||
графика по оси ОХ в m раз (1/m раз) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
y=cos(x) |
||||||||||
при m 1 |
(при 0 m 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
30